2021-2022學(xué)年廣西桂林市第十八中學(xué)高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知，，則（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用集合的并運(yùn)算求即可.【詳解】由題設(shè)，.故選：C.2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（       ）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)模長公式求出.【詳解】.故選：C.3．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是（　　）A．支出最高值與支出最低值的比是8：1B．4至6月份的平均收入為50萬元C．利潤最高的月份是2月份D．2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同【答案】D【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖即可判斷各選項(xiàng),此類問題屬于容易題．【詳解】由圖可知，支出最高值為60萬元，支出最低值為10萬元，其比是5：1，故A錯誤，由圖可知，4至6月份的平均收入為萬元，故B錯誤，由圖可知，利潤最高的月份為3月份和10月份，故C錯誤，由圖可知2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同，故D正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計圖的識別和應(yīng)用，關(guān)鍵是認(rèn)清圖形，屬于基礎(chǔ)題．4．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和，且，，則的值為（       ）.A．63 B．81 C．99 D．108【答案】C【分析】先由為等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和，可得 也成等差數(shù)列，則，成等差數(shù)列，再將，代入運(yùn)算即可.【詳解】解：由為等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和，則, 也成等差數(shù)列，則，成等差數(shù)列，所以，由，，得，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及等差中項(xiàng)，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.5．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】畫出可行域，找到最優(yōu)解，得最值.【詳解】畫出不等式組對應(yīng)的可行域如下：平行移動直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時，.故選：B.6．如圖，函數(shù)的圖象在P點(diǎn)處的切線方程是,若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是5，則 (　　)A． B．1 C．2 D．0【答案】C【詳解】試題分析：函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，所以，在P處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，2，故選C．【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．點(diǎn)評：簡單題，切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值．7．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，則(       )A．5 B． C． D．10【答案】B【分析】向量垂直，它們數(shù)量積為零，求出λ即可計算.【詳解】依題意，即，解得，則＝(2，－6)，，故．故選：B.8．P是橢圓上一點(diǎn)，且，則（　　）A．1 B．3 C．5 D．9【答案】A【分析】利用橢圓的定義即可求出．【詳解】由橢圓的方程為，可化為，∴a＝4．∵P是橢圓上一點(diǎn)，∴根據(jù)橢圓的定義可得：，∴．故選：A．9．若第三象限角，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合求出即可得出.【詳解】因?yàn)?/span>第三象限角，所以，因?yàn)?/span>，且，解得或，則.故選：D.10．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，其漸近線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)滿足，則（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由題意可設(shè)，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設(shè)，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，故選：B11．已知，則當(dāng)時，與的大小關(guān)系是（       ）A．B．C．D．不確定【答案】B【分析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，得或，結(jié)合圖像可得，，三段和的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出與的大小關(guān)系.【詳解】解：由函數(shù)，得函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，作出函數(shù)和的圖像，如圖所示，令，得或，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，綜上所述，當(dāng)時，.故選：B.12．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，所以k的取值范圍是.故選：B 二、填空題13．沈陽市某高中有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生550人，現(xiàn)對學(xué)生關(guān)于消防安全知識了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則n的值等于________.【答案】33【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，所以有，故答案為：3314．已知，，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】由已知湊配出積為定值，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】因?yàn)?/span>，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故答案為：．15．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足且，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足且，，所以.所以，即的取值范圍是.故答案為：16．已知函數(shù)，，對任意的，總存在至少兩個不同的使得，則的范圍是______．【答案】【分析】由已知可得，令，則，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間在遞增，在遞減，要在至少兩個不同的使得，則要，而，從而可求出的范圍【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，令則，令，，得在遞增，在遞減，又時，，又時，，，因?yàn)閷θ我獾?/span>，總存在至少兩個不同的使得，所以當(dāng)，恒成立，故．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、值域等基礎(chǔ)知識；考查推理論證、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想；體現(xiàn)基綜合性、創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注，解題的關(guān)鍵是令則，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得方程要有兩個不同的交點(diǎn)時，只要，再結(jié)合可求出的范圍，屬于較難題 三、解答題17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的公差，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知，，可以求出公差，最后求出通項(xiàng)公式；這樣利用已知數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且．可以得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d．由，，得，解得．所以．即的通項(xiàng)公式為：，．由于是公比為3的等比數(shù)列，且，所以．從而．（Ⅱ）由（Ⅰ）．數(shù)列的前n項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量求法，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18．設(shè)函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)求的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).【答案】(1)；(2)極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)即可．【詳解】(1)函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．，，在處的切線方程：，即．(2)令，，解得，．當(dāng)時，可得，即的單調(diào)遞減區(qū)間，或，可得，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，，．的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)．19．已知鈍角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且___________，，，求c的值.從條件①，②中選擇一個填到橫線上，并解決問題.【答案】條件選擇見解析，【分析】結(jié)合正弦定理化簡已知條件，求得.若選①，則利用余弦定理求得；若選②，則結(jié)合正弦定理、余弦定理求得的值.【詳解】依題意，由正弦定理得,在三角形中，，所以，，由于，所以.若選①，則，由余弦定理得，即，解得或.當(dāng)時，符合題意.當(dāng)時，，則是直角三角形，不符合題意.若選②，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，所以.20．AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A?B的動點(diǎn)，過動點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn).（1）判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)△VAB為邊長為的正三角形時，求四面體V﹣DEB的體積.【答案】（1）⊥平面，理由見解析（2）【分析】（1）由已知可得AC⊥BC，AC⊥VC，可證AC⊥平面VBC，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，有DE∥AC，即可證明結(jié)論；（2）由已知可證△VBC≌△VAC，得到BC=AC，進(jìn)而求出BC，AC，VC值，利用等體積法有，即可求解.【詳解】（1）DE⊥平面VBC，證明如下:∵AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A?B的動點(diǎn)，∴AC⊥BC，∵過動點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，AC?平面ABC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC=C，∴AC⊥平面VBC，∵D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC.（2）∵△VAB為邊長為的正三角形，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A?B的動點(diǎn)，過動點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，∴△VBC≌△VAC，∴BC=AC，∴BC2+AC2=AB2=8.∴AC=BC=2，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，∴DE==1，∴四面體V﹣DEB的體積為: =.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，注意空間垂直間的轉(zhuǎn)換，考查用等體積法求體積，屬于中檔題.21．已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，且到軸的距離是．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線通過點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點(diǎn)、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)而求，由題設(shè)向量垂直的坐標(biāo)表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線的方程為，又到焦點(diǎn)的距離是1，∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是．（2）假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯(lián)立可得交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成立，∴直線的斜率存在．設(shè)直線為，整理得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或．當(dāng)時，直線的方程是，不滿足，舍去．當(dāng)時，直線的方程是，即，∴直線的方程是．22．函數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)a>0時，證明：恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）由題意可知，，再對分情況討論，分別分析函數(shù)的單調(diào)性；（2）要證，只需證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到在時取得極小值，所以，再令，利用導(dǎo)數(shù)得到在時取得極小值，所以最小值為，從而得出當(dāng)時，恒成立，即恒成立．【詳解】解：（1）由題意可知，，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，．當(dāng)時，，．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；（2）要證，所以只需證，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，在時取得極小值，即為最小值，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，在時取得極小值，即最小值為，當(dāng)時，恒成立，即恒成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．

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