1.數(shù)列及其相關概念(1)定義:按___________排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(2)項:數(shù)列中的_________叫做這個數(shù)列的項. (3)形式:a1,a2,a3,…,an,…,簡記為{an},其中an是數(shù)列的第__項,第1項也叫做首項.
第1課時　數(shù)列的概念與簡單表示法
【思考】 (1)如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同但排列次序不同,那么它們是相同的數(shù)列嗎?提示:從數(shù)列的定義可以看出,組成數(shù)列的數(shù)是按一定順序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同但排列次序不同,那么它們就不是同一數(shù)列.(2)同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)嗎?提示:在數(shù)列的定義中,并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
3.函數(shù)與數(shù)列的關系數(shù)列{an}是從________(或它的有限子集{1,2,…,n})到實數(shù)集R的函數(shù),自變量是序號n,對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an,記為an=f(n).
【思考】函數(shù)y=2x與數(shù)列{an}的通項公式an=2n有什么區(qū)別?提示:函數(shù)y=2x的自變量是連續(xù)變化的,圖象是連續(xù)的直線.an=2n的自變量是離散的,圖象是由離散的點構成.　
4.數(shù)列的通項公式:如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用_________來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.
【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的數(shù)列.(　　)(2){an}與an是一樣的,都表示數(shù)列.(　　)(3)所有數(shù)列都能寫出其通項公式且一個數(shù)列的通項公式是唯一的.(　　)(4)數(shù)列3,1,-1,-3,-5,-10的通項公式為an=5-2n.(　　)
提示:(1)×.兩個數(shù)列相同,每一項都必須相同,而且數(shù)列具有順序性.(2)×.因為{an}代表一個數(shù)列,而an只是這個數(shù)列中的第n項,故{an}與an是不一樣的.(3)×.有的數(shù)列就沒有通項公式,而且有的數(shù)列的通項公式不唯一.(4)×. 第六項為-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此數(shù)列的通項公式.
2.數(shù)列3,4,5,6,…的一個通項公式為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.an=n,n∈N*B.an=n+1,n∈N*C.an=n+2,n∈N*D.an=2n,n∈N*【解析】選C.這個數(shù)列的前4項都比序號大2,所以,它的一個通項公式為an=n+2,n∈N*.
3.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+1,則122是該數(shù)列的(　　)A.第9項B.第10項C.第11項D.第12項【解析】選C.令n2+1=122,則n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).
4.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n-1,則a8=________.?【解析】a8=2×8-1=15.答案:15
類型一　數(shù)列的概念以及分類【典例】1.下列說法錯誤的是(　　)A.數(shù)列4,7,3,4的首項是4B.數(shù)列{an}中,若a1=3,則從第2項起,各項均不等于3C.數(shù)列1,2,3,…就是數(shù)列{n}D.數(shù)列中的項不能是三角形
2.已知下列數(shù)列:①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;②1, , ,…, ,…;③1,- , ,…, ,…;④1,0,-1,…,sin ,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有窮數(shù)列是________,無窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,遞減數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動數(shù)列是________(填序號).?【思維·引】1.依據(jù)數(shù)列的定義逐項判斷.2.依據(jù)數(shù)列分類中有關數(shù)列的定義,逐個判斷.
【解析】1.選B.由數(shù)列的相關概念可知,數(shù)列4,7,3,4的首項是4,故A正確.同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn),故B錯誤.按一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,所以數(shù)列1,2,3,…就是數(shù)列{n},故C正確.數(shù)列中的項必須是數(shù),不能是其他形式,故D正確.2.①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列;②為無窮數(shù)列、遞減數(shù)列;③為無窮數(shù)列、擺動數(shù)列;④是擺動數(shù)列,也是無窮數(shù)列;⑤為遞增數(shù)列,也是無窮數(shù)列;⑥為有窮數(shù)列,也是常數(shù)列.答案:①⑥　②③④⑤?、佗荨、凇、蕖、邰?br/>【內化·悟】1.與集合中元素的性質相比較,數(shù)列中的項的性質具有哪些特點?提示:(1)確定性:一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的,集合中的元素也具有確定性;(2)可重復性:數(shù)列中的數(shù)可以重復,而集合中的元素不能重復出現(xiàn)(即互異性);(3)有序性:一個數(shù)列不僅與構成數(shù)列的“數(shù)”有關,而且與這些數(shù)的排列順序有關,而集合中的元素沒有順序(即無序性);(4)數(shù)列中的每一項都是數(shù),而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.
2.如何判斷兩個數(shù)列是相同數(shù)列?提示:組成數(shù)列的數(shù)相同,且排列次序也相同的兩個數(shù)列才是相同的數(shù)列.
【類題·通】數(shù)列概念的三個注意點(1)數(shù)列{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一個集合,與集合表示有本質的區(qū)別.(2)從數(shù)列的定義可以看出,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列;在定義中,并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).(3)數(shù)列中各項的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性,是理解、把握數(shù)列的關鍵.
【習練·破】下列數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是(　　)A.1, , ,…B.sin ,sin ,sin ,sin ,…C.-1,- ,- ,- ,…D.1,2,3,4,…,30
【解析】選C.數(shù)列1, , ,…是無窮數(shù)列,但它不是遞增數(shù)列,而是遞減數(shù)列;數(shù)列sin ,sin ,sin ,sin ,…是無窮數(shù)列,但它既不是遞增數(shù)列,又不是遞減數(shù)列;數(shù)列-1,- ,- ,- ,…是無窮數(shù)列,也是遞增數(shù)列;數(shù)列1,2,3,4,…,30是遞增數(shù)列,但不是無窮數(shù)列.
【加練·固】下列數(shù)列(1)1,2,22,23,…,263;(2)0,10,20,30,…,1 000;(3)2,4,6,8,10,…;(4)-1,1,-1,1,-1,…;(5)7,7,7,7,…;(6)
其中有窮數(shù)列是________,無窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,遞減數(shù)列是________,擺動數(shù)列是________,常數(shù)列是________.(填序號)?【解析】根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是(1)(2),無窮數(shù)列是 (3)(4)(5)(6),遞增數(shù)列是(1)(2)(3),遞減數(shù)列是(6),擺動數(shù)列是 (4),常數(shù)列是(5).答案:(1)(2)　(3)(4)(5)(6)　(1)(2)(3)　(6)　(4)　(5)
類型二　觀察法寫出數(shù)列的通項公式【典例】1.(2020·徐州高一檢測)數(shù)列3,6,11,20,…的一個通項公式為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.an=3nB.an=n(n+2)C.an=n+2nD.an=2n+1
2.寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1) ,2, ,8, ,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9 999,…;(4) …;(5) …;(6)4,0,4,0,4,0,….
【思維·引】1.根據(jù)特點,觀察、分析,尋找數(shù)列的每一項與其所在項的序號之間的關系,歸納出一個通項公式即可.2.首先要熟悉一些常見數(shù)列的通項公式,然后對于復雜數(shù)列的通項公式,其項與序號之間的關系不容易發(fā)現(xiàn),要將數(shù)列各項的結構形式加以變形,將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應項的“和”“差”“積”“商”后再進行歸納.
【解析】1.選C.依題意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,所以an=n+2n.2.(1)數(shù)列的項有的是分數(shù),有的是整數(shù),可先將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察: …,所以,它的一個通項公式為an= .(2)數(shù)列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉換符號的作用,所以數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各項加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,…此數(shù)列的通項公式為10n,可得原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,分子的后一部分是減去一個從1開始的自然數(shù),綜合得原數(shù)列的一個通項公式為an=(5)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式是an=(-1)n·
(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項全部都是4,偶數(shù)項全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項公式,即an= 又因為數(shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式又可表示為an=2+2×(-1)n+1.
【素養(yǎng)·探】在與觀察法寫出數(shù)列的通項公式有關的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過研究數(shù)列的前幾項與項的序號之間的關系,歸納出數(shù)列的通項公式.將本例2(6)的數(shù)列改為“3,5,3,5,3,5,…”,如何寫出其通項公式?
【解析】此數(shù)列的奇數(shù)項為3,偶數(shù)項為5,故通項公式可寫為an= 此數(shù)列兩項3與5的平均數(shù)為 =4,奇數(shù)項為4-1,偶數(shù)項為4+1,故通項公式還可寫為an=4+(-1)n.
【類題·通】(1)用觀察法求數(shù)列通項公式的策略
(2)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號問題.(3)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等.
【習練·破】寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1)0,3,8,15,24,…;(2)1 ,2 ,3 ,4 ,…;(3)1,11,111,1 111,….
【解析】(1)觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一個通項公式是an=n2-1(n∈N*).(2)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,…恰好是序號n,分數(shù)部分與序號n的關系為 故所求的數(shù)列的一個通項公式為an=n+ = (n∈N*).(3)原數(shù)列的各項可變?yōu)? ×9, ×99, ×999, ×9 999,…,易知數(shù)列9,99,999,9 999,…的一個通項公式為an=10n-1,所以原數(shù)列的一個通項公式為an= (10n-1)(n∈N*).
【加練·固】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式:(1) 3,5,7,9,11,13,…; (2) , , , , , …;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,…;(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,….
【解析】(1)從3開始的奇數(shù)列,an=2n+1.(2)分子為偶數(shù),分母為相鄰兩奇數(shù)的積an=(4) 將數(shù)列變形為1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, …, 所以
(5) 將數(shù)列變形為1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,…,所以an=(-1)n+1n(n+1).
類型三　數(shù)列通項公式的簡單應用【典例】已知數(shù)列{an}的通項公式為an= .(1)求a10.(2)判斷 是否為該數(shù)列中的項.若是,它為第幾項?若不是,請說明理由.(3)求證:0S3a2B.S2a30,所以S2a3右邊,不等式成立.(2)假設當n=k(k≥2,k∈N*)時命題成立,即則當n=k+1時,
方法一　(分析法)下面證*式≥ ,即只需證(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)(3k+2)-3(3k+1)(3k+2)≥0,只需證(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)-(27k2+27k+6)≥0,只需證9k+5≥0,顯然成立.所以當n=k+1時,不等式也成立.
方法二　(放縮法)*式 所以當n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)可知,原不等式對一切n≥2,n∈N*均成立.
【內化·悟】1.在什么條件下適合應用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題?提示:當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時,應用其他辦法不容易證,則可考慮應用數(shù)學歸納法.
2.應用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題的關鍵是由n=k時成立得n=k+1時成立,這一步驟有哪些方法?提示:主要方法有①放縮法;②利用基本不等式法;③作差比較法等.
【類題·通】用數(shù)學歸納法證明不等式問題的四個關鍵點
【習練·破】用數(shù)學歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù),不等式均成立.
【證明】(1)當n=2時,左邊=1+ = ;右邊= .因為左邊>右邊,所以不等式成立.(2)假設當n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立,即 則當n=k+1時, 所以當n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)知,對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.
【加練·固】已知數(shù)列{an},an≥0,a1=0, 求證:當n∈N*時,an0)上點P處的切線垂直,則點P處的切線方程為________.?
【思維·引】1.求函數(shù)y= 在x= 處的導數(shù),即為切線的斜率.2.先求函數(shù)y=ex在x=0的導數(shù),依題意求出函數(shù)y= (x>0)上點P處的導數(shù),從而求出點P的坐標.
【解析】1.選B.由于y= ,所以y′= ,于是 =1,所以曲線在點（ ）處的切線的斜率等于1,切線方程為4x-4y+1=0.2.由題意知,y′=ex,曲線在點(0,1)處的斜率k1=e0=1,設P(m,n),y= (x>0)的導數(shù)為y′=- (x>0),曲線y= (x>0)在點P處的切線斜率k2=- (m>0),由題意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即點P的坐標為(1,1),k2=-1.點P處的切線方程為x+y-2=0.答案:x+y-2=0
【內化·悟】應用導數(shù)公式求切線方程的關鍵是什么?提示:確定切點,求函數(shù)在切點處的導數(shù),即切線的斜率.
【類題·通】利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點,則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù).(2)如果已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.
【習練·破】(2020·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為(　　)A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【解題指南】求得函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x),計算出f(1)和f′(1)的值,可得出所求切線的點斜式方程,化簡即可.【解析】選B.因為f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切線的方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
【加練·固】函數(shù)f(x)=x3的斜率等于1的切線有________條.(　　)?A.1　　　B.2　　　C.多于兩個　　　D.不能確定【解析】選B.因為f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=± .所以可得切點坐標為（ ）和（ ）.所以f(x)=x3有兩條斜率為1的切線.
1.下列結論不正確的是(　　)A.若y=3,則y′=0B.若y= ,則y′=- C.若y=- ,則y′=- D.若y=3x,則y′=3【解析】選B.y′= ′= ′=- =- .
2.若y=ln x,則其圖象在x=2處的切線斜率是(　　)A.1　　　　　B.0　　　　　C.2　　　　　D. 【解析】選D.因為y′= ,所以y′ ,故圖象在x=2處的切線斜率為 .
3.若y=sin x,則y′ =(　　)A. B.- C. D.- 【解析】選A.y′=cs x,y′ =cs = .4.曲線y=ln x與x軸交點處的切線方程是________.?【解析】因為曲線y=ln x與x軸的交點為(1,0),所以y′ =1,切線的斜率為1,所求切線方程為y=x-1.答案:y=x-1
5.2.2　導數(shù)的四則運算法則5.2.3　簡單復合函數(shù)的導數(shù)　
1.導數(shù)的四則運算法則
f′(x)±g′(x)
f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)
【思考】函數(shù)y=c·f(x)求導,是積的導數(shù)嗎?結果是什么?提示:函數(shù)y=c·f(x)求導,是積的導數(shù),其結果為:y′=[c·f(x)]′=c·f′(x).
2.復合函數(shù)及其導數(shù)(1)定義:一般地,對于兩個函數(shù)y=f（u）和u=g（x）,如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f （u）和u=g （x）的復合函數(shù),記作y=f（ g（x））.(2)求導法則:對于復合函數(shù)y=f （g （x））,y′x=__________,即y對x的導數(shù)等于_____的導數(shù)與_____的導數(shù)的乘積.
【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若y=x+ ,則y′=1+ .(　　)(2)若y=x2cs x,則y′=-2xsin x.(　　)(3)若y= ,則y′=-cs x.(　　)(4)若y=3x2-e2x,則y′=6x-2ex.(　　)
提示:(1)×.由y=x+ ,得y′=1- .(2)×.由y=x2 cs x,得y′=2x cs x-x2 sin x.(3)×.由y= ,得y′= (4)×.根據(jù)導數(shù)四則運算法則,y′=(3x2)′-(e2x)′=6x-2e2x.
2.已知函數(shù)f(x)= ,f′(m)=- ,則m=(　　)A.-4B.4C.±2D.-2【解析】選C.f′(x)=- ,所以f′(m)=- =- ,解得m=±2.
3.函數(shù)y=x2sin x的導數(shù)為(　　)A.y′=2xsin x+x2cs xB.y′=2xsin x-x2cs xC.y′=x2sin x+2xcs xD.y′=x2sin x-2xcs x【解析】選A.因為y=x2sin x,所以y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cs x.
類型一　利用運算法則求函數(shù)的導數(shù)　【典例】1.(2020·永州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=ax2+2 020,且f′(1)=4,則a的值為(　　)A.2 020B.2 015C.2D. 2.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y= -ln x.(2)y=(x2+1)(x-1).(3)y= .(4)y= .
【思維·引】1.先求f′(x),再解方程f′(1)=4,求a的值.2.運用導數(shù)的四則運算法則求導.【解析】1.選C.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=ax2+2 020,則f′(x)=2ax,若f′(1)=4,即2a=4,解得a=2.
2.(1)y′=( -ln x)′=( )′-(ln x)′= .(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.(3)y′= .(4)y′= .
【內化·悟】運用導數(shù)四則運算法則求導需要注意哪些問題?提示:(1)分清所求導函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)組成,是函數(shù)的和、差還是積、商.(2)準確運用法則求導.
【類題·通】利用導數(shù)運算法則的策略(1)分析待求導式子符合哪種求導法則,每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的,確定求導法則,基本公式.(2)如果待求導式子比較復雜,則需要對式子先變形再求導,常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?商式變乘積式求導,三角函數(shù)恒等變換后求導等.(3)利用導數(shù)運算法則求導的原則是盡可能化為和、差,能利用和差的求導法則求導的,盡量少用積、商的求導法則求導.
【習練·破】1.若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f′(1)=2,則f′(-1)等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.-1B.-2C.2D.0【解析】選B.因為f′(x)=4ax3+2bx,所以f′(1)=4a+2b=2,所以f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.
2.(2020·全國Ⅲ卷)設函數(shù)f(x)= .若f′(1)= ,則a=________.?【解析】由函數(shù)的解析式可得:f′（x） = ,則f′（1）= ,所以 ,所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1
【加練·固】1.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f′(1)等于(　　)A.-e　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.e【解析】選B.因為函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x(x>0),所以f′(x)=2f′(1)+ ,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=-1.
2.若函數(shù)f(x)= 在x=x0處的導數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù),則x0的值等于(　　)A.0B.1C. D.不存在【解析】選C.由于f(x)= ,得f(x0)= ,f′(x)= ,所以f′(x0)= .依題意知f(x0)+f′(x0)=0,得 + =0,即 =0,所以2x0-1=0,得x0= .
類型二　復合函數(shù)的導數(shù)【典例】求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=ln (6x+4).(2)y=sin .(3)y=5lg2(2x-1).
【思維·引】先把復合函數(shù)拆分成基本初等函數(shù),再運用復合函數(shù)求導法則進行求導.【解析】(1)設y=ln u,u=6x+4,則y′x=y′u·u′x= ·6= = .(2)設y=sin u,u=3x- ,則y′x=y′u·u′x=cs u·3=3cs（ ）.(3)設y=5lg2u,u=2x-1,則y′=5(lg2u)′·(2x-1)′= .
【類題·通】求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟
提醒:(1)內、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù).(2)求每層函數(shù)的導數(shù)時注意分清是對哪個變量求導,這是求復合函數(shù)導數(shù)時的易錯點.(3)逐層求導結束后對結果進行化簡整理,使導數(shù)式盡量簡潔.
【習練·破】1.(2020·大慶高二檢測)已知f(x)=sin 2x+e2x,則f′(x)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2cs 2x+2e2xB.cs 2x+e2xC.2sin 2x+2e2xD.sin 2x+e2x【解析】選A.根據(jù)題意,f(x)=sin 2x+e2x,則f′(x)=2cs 2x+2e2x.
2.(2020·泉州高二檢測)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f′(2)=-1,則a=(　　)A. B. C.- D.- 【解析】選A.f′(x)= -a,所以f′(2)= -a=-1,解得a= .
類型三　導數(shù)運算法則的綜合應用【典例】1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù),曲線y=aex+x在點(1,ae+1)處的切線與直線2ex-y-1=0平行,則實數(shù)a=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C. D. 2.已知拋物線y=f(x)=ax2+bx+c過點(1,1),且在點(2,-1)處與直線y=x-3相切,求a,b,c的值.
【思維·引】利用切點處的導數(shù)等于切線的斜率,切點坐標既滿足曲線方程,也滿足切線方程.
【解析】1.選B.函數(shù)y=aex+x的導數(shù)為y′=aex+1,可得曲線y=aex+x在點(1,ae+1)處的切線的斜率為y′=ae+1,所以ae+1=2e,解得a= .2.因為f(1)=1,所以a+b+c=1.①又f′(x)=2ax+b,f′(2)=1,所以4a+b=1.②又切點(2,-1)在拋物線上,所以4a+2b+c=-1.③把①②③聯(lián)立得方程組 解得 即a=3,b=-11,c=9.
【內化·悟】運用導數(shù)解有關切線問題應特別注意什么?提示:(1)導數(shù)的雙重性;(2)切點坐標的雙重性.
【類題·通】　關于求導法則的綜合應用(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數(shù)、切線方程三個主要元素.其他的條件可以進行轉化,從而轉化為這三個要素間的關系.(2)準確利用求導法則求出導函數(shù)是解決此類問題的第一步,也是解題的關鍵,務必做到準確.易錯警示:分清已知點是否在曲線上,若不在曲線上則要設出切點.
【習練·破】1.若函數(shù)f(x)=ex+2ax存在與直線y=5x+6平行的切線,則實數(shù)a的取值范圍是________.?【解析】由f(x)=ex+2ax得f′(x)=ex+2a,又函數(shù)f(x)=ex+2ax存在與直線y=5x+6平行的切線,即ex+2a=5有解,所以ex=5-2a,所以5-2a>0,所以a< .答案:a<
2.設曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lg xn,則a1+a2+…+a99的值為________.?【解析】因為當x=1時,y′=n+1,所以y=xn+1在點(1,1)處的切線方程為y=(n+1)(x-1)+1.令y=0,得x=xn= ,所以an=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+…+a99=lg 1-lg 100=-2.答案:-2
【加練·固】若曲線y=x2+aln x(a>0)上任意一點處的切線斜率為k,若k的最小值為4,則此時該切點的坐標為(　　)A.(1,1)　　　B.(2,3)　　　C.(3,1)　　　D.(1,4)【解析】選A.y=x2+aln x的定義域為(0,+∞),由導數(shù)的幾何意義知y′=2x+ ≥2 =4,得a=2,當且僅當x=1時等號成立,代入曲線方程得y=1,故所求的切點坐標是(1,1).
1.已知函數(shù)f(x)=sin 2x+ln x,則f′(1)的值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1-2sin 2B.1+2cs 2C.1+2sin 2D.1-2cs 2【解析】選B.因為f′(x)=2cs 2x+ ,所以f′(1)=2cs 2+1.
2.函數(shù)f(x)=ex+xsin x-7x在x=0處的導數(shù)等于(　　)A.-6B.6C.-4D.-5【解析】選A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′=ex+sin x+xcs x-7,所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐標系xOy中,點P在曲線C:y=x3-10x+3上,且在第二象限內.已知曲線C在點P處的切線的斜率為2,則點P的坐標為________.?【解析】設P(x0,y0)(x00,則f(x)在(a,b)上單調遞增”,反之,若f(x)在(a,b)上單調遞增,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0嗎?提示:不能,若f(x)在(a,b)上單調遞增,則在(a,b)上恒有f′(x)≥0.(2)“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有f′(x)

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