一、單選題
1．設(shè)，，與垂直，則等于（ ）
A．6B．14C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知向量坐標(biāo)求的坐標(biāo)，再由空間向量垂直的坐標(biāo)表示求.
【詳解】由題設(shè)，，
∴，
∴.
故選：C
2．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（ ）
A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離
【答案】B
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系.
【詳解】由題設(shè)，：，：，
∴，半徑；，半徑；
∴，即兩圓相交.
故選：B
3．若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．z的虛部為-1B．
C．為純虛數(shù)D．z的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，逐項(xiàng)分析計(jì)算即可得解.
【詳解】由，
對(duì)A，虛部為，正確；
對(duì)B，，正確；
對(duì)C，為純虛數(shù)，正確；
對(duì)D，z的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.
故選：D
4．在四面體中，，，，，，用向量，，表示，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)易知為中點(diǎn)，連接，根據(jù)空間向量加法、數(shù)乘的幾何意義可得、，再由即可確定答案.
【詳解】∵，
∴為中點(diǎn)，連接，如下圖，
∴，而，
∴.
故選：B
5．直線l過(guò)圓C：的圓心，并且與直線垂直，則直線l的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由圓的方程寫(xiě)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線相互垂直可得，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.
【詳解】由圓C：，則，又直線l與直線垂直，即，
∴直線l的方程為，即.
故選：D
6．直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若（O是原點(diǎn)），則m等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題設(shè)易知圓心到直線的距離為，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求m即可.
【詳解】∵，且的圓心，半徑為2，
∴圓心到直線的距離為，
∴，可得.
故選：D
7．一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點(diǎn)，再根據(jù)反射光線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)求得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可得解.
【詳解】入射光線所在的直線方程為，即，
聯(lián)立方程組解得即入射點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)P關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，
則解得即．
因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)和點(diǎn)，
所以反射光線所在直線的斜率為，
所以反射光線所在的直線方程為，
即．
故選：D
8．已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】設(shè)直線：，半圓：，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線的距離大于或等于，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到不等式，解得即可.
【詳解】解：設(shè)直線：，半圓：，
則表示半圓弧上任意一點(diǎn)到直線的距離大于或等于，即原點(diǎn)到直線的距離大于或等于．
由，解得，即實(shí)數(shù)的最大值是．
故選：A
二、多選題
9．已知雙曲線C：，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
C．C的離心率為D．C的虛軸長(zhǎng)為
【答案】BCD
【分析】由題意可得，，，根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上，逐一判斷即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，，．
因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，
所以C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；
頂點(diǎn)為，故B正確；
離心率為，故C正確，
虛軸長(zhǎng)為，故D正確．
故選：BCD.
10．已知，，，，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．與夾角的余弦為B．的面積為
C．平面的一個(gè)法向量D．四面體的體積為
【答案】ACD
【分析】A由空間向量夾角坐標(biāo)表示求夾角余弦值；B由即可求三角形面積；C利用求一個(gè)法向量，即可判斷是否為面的一個(gè)法向量；D向量法求到面的距離，再由棱錐的體積公式求體積即可.
【詳解】A：，，則，正確；
B：由A知：，錯(cuò)誤；
C：若是面的一個(gè)法向量，則，令，有，正確；
D：，則到面的距離，所以四面體的體積為，正確.
故選：ACD
11．已知直線l：和圓C：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線l過(guò)定點(diǎn)
B．對(duì)任意λ，直線l與圓C相交
C．若，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為
D．對(duì)任意λ，圓C上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1
【答案】AB
【分析】對(duì)A：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)運(yùn)算求解；對(duì)B：先判斷定點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系，進(jìn)而確定直線l與圓C的位置關(guān)系；對(duì)C：先求圓心到直線l的距離，再根據(jù)垂徑定理結(jié)合基本不等式求弦長(zhǎng)的取值范圍；對(duì)D：根據(jù)圓心到直線l的距離的取值范圍，分析判斷.
【詳解】對(duì)A：整理直線l的方程，得，令，解得，
可知l過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)B：將代入圓C的方程，得到，可知點(diǎn)在圓C內(nèi)，
所以對(duì)任意λ，直線l與圓C相交，故B正確；
對(duì)C：圓C：的圓心，半徑，
因?yàn)閳A心到直線l的距離，
所以，
∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
∴，則，
所以的最大值為4，故C不正確；
對(duì)D：因?yàn)閳A心與點(diǎn)之間的距離為，則圓心到直線l的距離，
當(dāng)時(shí)，即，則圓C上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)時(shí)，即，則圓C上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)時(shí)，即，則圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
故D不正確.
故選：AB.
12．已知左、右焦點(diǎn)分別是，的橢圓C：的離心率為e，過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．的周長(zhǎng)為4a
B．若直線OP的斜率為，AB的斜率為，則
C．若，則e的最小值為
D．若，則e的最大值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)橢圓的定義即可判斷A；設(shè)，，利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而判斷B；根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合選項(xiàng)計(jì)算即可判斷CD.
【詳解】A:根據(jù)橢圓的定義，的周長(zhǎng)為，故A正確；
B:設(shè)，，則，
所以，，由得，
所以，即，故B不正確；
C:，
因?yàn)椋?br>所以，
由，得，故C正確；
D:由，得，故D正確．
故選：ACD.
三、填空題
13．已知橢圓方程為+y2=1,則過(guò)點(diǎn)且被P平分的弦所在直線的方程為 .
【答案】
【分析】用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，從而可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)這條弦與橢圓交于點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知,
把代入,
作差整理得，
這條弦所在的直線方程為，
即，故答案為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程及“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于有弦關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題常用“ 點(diǎn)差法”，其解題步驟為：①設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.
14．正方體的棱長(zhǎng)為1，P點(diǎn)滿(mǎn)足，則P到的距離為
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)向量的線性關(guān)系，結(jié)合正方體的性質(zhì)易知為底面中心，進(jìn)而求P到的距離即可.
【詳解】若分別是上下底面中心，如下圖示，
∴，即與為同一點(diǎn)，
∴P到的距離.
故答案為：
15．直線l過(guò)點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為
【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1
【詳解】當(dāng)直線l為x=﹣1時(shí)，滿(mǎn)足條件，因此直線l方程可以為x=﹣1．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y﹣2=k（x+1），化為：kx﹣y+k+2=0，
則，化為：3k﹣1=±（3k+3），解得k=﹣．
∴直線l的方程為：y﹣2=﹣(x+1），化為：x+3y﹣5=0．
綜上可得：直線l的方程為：x+3y﹣5=0或x=﹣1．
故答案為x+3y﹣5=0或x=﹣1．
四、雙空題
16．在長(zhǎng)方體中，，，，則 ；點(diǎn)C到平面的距離為 ．
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求解出答案.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)椋?，?br>所以，，，，．
因?yàn)?，?br>所以．
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，?br>所以,令，得．
因?yàn)?，所以點(diǎn)C到平面的距離．
故答案為：，.
五、解答題
17．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：z2＝3＋4i，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）設(shè)a∈R，且，求實(shí)數(shù)a的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)z＝c＋di(c

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