1．（3分）第19屆亞運(yùn)會(huì)在浙江杭州成功舉辦．下列圖形中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）若，則下列式子正確的是
A．B．
C．D．
3．（3分）下列語(yǔ)句是命題的是
A．作直線(xiàn)的垂線(xiàn)B．同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)
C．在線(xiàn)段上取點(diǎn)D．垂線(xiàn)段最短嗎？
4．（3分）根據(jù)下列已知條件，能唯一畫(huà)出△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，
5．（3分）如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．要根據(jù)“”證明，則還需要添加的條件
A．B．C．D．
6．（3分）如圖，在中，和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為
A．9B．6C．5D．4
7．（3分）如圖，中，，的中垂線(xiàn)交于，交于，若，，則的周長(zhǎng)為
A．16B．14C．20D．18
8．（3分）如圖，在中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），則的度數(shù)可能是
A．B．C．D．
9．（3分）如圖，在中，，下列尺規(guī)作圖，不能得到的是
A．B．
C．D．
10．（3分）如圖，中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，在上找一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值是 ．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）根據(jù)“的4倍小于3”，列不等式： ．
12．（4分）命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是 ，這個(gè)逆命題是 命題．
13．（4分）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中等于 ．
14．（4分）如圖，、和、、分別在的兩邊上，且，若，則的度數(shù)是 ．
15．（4分）在△中，，其中一腰上的高為3，求底邊 ．
16．（4分）如圖，折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．
（1）已知，，則 度；
（2）如果，，則 ．
三、解答題（本題有8個(gè)小題，共66分）
17．（6分）在下面三個(gè)的方格中，各作出一個(gè)與圖中三角形成軸對(duì)稱(chēng)的圖形，且所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)與方格中小正方形的頂點(diǎn)重合，并給所畫(huà)圖形涂上陰影（所畫(huà)的三個(gè)圖形不能重復(fù)）．
18．（6分）如圖，點(diǎn)，在上，，，，與交于點(diǎn)．
（1）試說(shuō)明：；
（2）試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
19．（6分）如圖，在△中，，．
（1）尺規(guī)作圖：作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于，交于；
（2）連結(jié)，求證：平分．
20．（6分）已知中，，，，．
（1）若，．求；
（2）若，．求．
21．（8分）如圖，已知平分，于，于，且，
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
22．（10分）△、△均為等腰直角三角形．
（1）連接，，如圖，若當(dāng)，，求 ； ．
（2）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到一定角度后，如圖．
①求證：△△；
②探究與的數(shù)量和位置關(guān)系．
23．（12分）勾股定理在幾何問(wèn)題中有著廣泛地應(yīng)用，大約公元222年，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書(shū)中介紹了勾股定理的證明方法．具體用用四個(gè)完全一樣直角三角形可以拼成圖1的大正方形，采用面積法證明．
（1）類(lèi)比證明：伽菲爾德年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）于1876年4月1日《新英格蘭教育日志》上證明勾股定理．在△和△中，，易證△△．
請(qǐng)你用兩種不同的方法表示梯形的面積（圖，并證明：．
（2）嘗試畫(huà)圖：正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形．
①畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；
②畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)都為無(wú)理數(shù)的直角三角形；
③畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，使它的面積為4．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在直線(xiàn)上依次擺放五個(gè)正方形．已知斜放兩個(gè)正方形的面積分別是2、3，正放三個(gè)正方形的面積依次是，，，則 （直接寫(xiě)出答案）．
24．（12分）如圖，在△中，，，，在射線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△為直角三角形時(shí)，求值；
（3）當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求值．
2023-2024學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)三墩中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）第19屆亞運(yùn)會(huì)在浙江杭州成功舉辦．下列圖形中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：、圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
、圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；
、圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
、圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義．如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸．
2．（3分）若，則下列式子正確的是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用不等式的基本性質(zhì)分別判斷得出答案．
【解答】解：、，
，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
、，
，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
、，
，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
、，
，故此選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，正確把握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（3分）下列語(yǔ)句是命題的是
A．作直線(xiàn)的垂線(xiàn)B．同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)
C．在線(xiàn)段上取點(diǎn)D．垂線(xiàn)段最短嗎？
【分析】根據(jù)命題的定義分別進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、作直線(xiàn)的垂線(xiàn)為描敘性語(yǔ)言，不是命題，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)為命題，所以選項(xiàng)正確；
、在線(xiàn)段上取點(diǎn)為描敘性語(yǔ)言，不是命題，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、垂線(xiàn)段最短嗎為疑問(wèn)句，不是命題，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱(chēng)為定理．
4．（3分）根據(jù)下列已知條件，能唯一畫(huà)出△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，
【分析】要滿(mǎn)足唯一畫(huà)出△，就要求選項(xiàng)給出的條件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的畫(huà)出的圖形不一樣，也就是三角形不唯一，而各選項(xiàng)中只有選項(xiàng)符合，是滿(mǎn)足題目要求的，于是答案可得．
【解答】解：、因?yàn)椋赃@三邊不能構(gòu)成三角形；
、因?yàn)椴皇且阎獌蛇叺膴A角，無(wú)法確定其他角的度數(shù)與邊的長(zhǎng)度；
、已知兩角可得到第三個(gè)角的度數(shù)，已知一邊，則可以根據(jù)來(lái)畫(huà)一個(gè)三角形；
、只有一個(gè)角和一個(gè)邊無(wú)法根據(jù)此作出一個(gè)三角形．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定及三角形的作圖方法等知識(shí)點(diǎn)；能畫(huà)出唯一三角形的條件一定要滿(mǎn)足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的畫(huà)出的三角形不確定，當(dāng)然不唯一．
5．（3分）如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．要根據(jù)“”證明，則還需要添加的條件
A．B．C．D．
【分析】由斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，即可得到答案．
【解答】解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，．要根據(jù)“”證明，還需要添加的條件是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形全等的判定方法：．
6．（3分）如圖，在中，和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為
A．9B．6C．5D．4
【分析】根據(jù)中，和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)．求證，，再利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等，求證出，，即，，然后利用等量代換即可求出線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【解答】解：和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，
，，
，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，，
，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線(xiàn)段性質(zhì)的理解和掌握，此題難度不大，是一道基礎(chǔ)題．
7．（3分）如圖，中，，的中垂線(xiàn)交于，交于，若，，則的周長(zhǎng)為
A．16B．14C．20D．18
【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，即，再由即可求出答案．
【解答】解：中，，，，
，
是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，
，
，即，
的周長(zhǎng)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，能根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求出是解答此題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，在中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），則的度數(shù)可能是
A．B．C．D．
【分析】只要證明即可解決問(wèn)題．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
9．（3分）如圖，在中，，下列尺規(guī)作圖，不能得到的是
A．B．
C．D．
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)一一判斷即可．
【解答】解：、由作圖可知，，
，本選項(xiàng)不符合題意；
、由作圖可知，，
，，
，本選項(xiàng)不符合題意；
、由作圖可知，點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，
，
，
，本選項(xiàng)不符合題意．
、無(wú)法判斷，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
10．（3分）如圖，中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，在上找一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值是 ．
【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化，的值，從而找出其最小值．
【解答】解：如圖，連接，，則，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，
中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
，
，
的最小值是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）根據(jù)“的4倍小于3”，列不等式： ．
【分析】根據(jù)題意和運(yùn)算順序列式即可．
【解答】解：由題意，不等式為：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查列不等式，理解題意，以及運(yùn)算順序，掌握列不等式的方法是解題關(guān)鍵．
12．（4分）命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是 相等的角是對(duì)頂角 ，這個(gè)逆命題是 命題．
【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．
【解答】解：“對(duì)頂角相等”的條件是：兩個(gè)角是對(duì)頂角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等，所以逆命題是：相等的角是對(duì)頂角，它是假命題．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題．
13．（4分）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中等于 75 ．
【分析】在圖中標(biāo)記，，利用三角形的外角性質(zhì)，可求出的度數(shù)，再結(jié)合，即可求出的度數(shù)．
【解答】解：在圖中標(biāo)記，，如圖所示
，
，
又，
．
故答案為：75．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，、和、、分別在的兩邊上，且，若，則的度數(shù)是 ．
【分析】由，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得，，，，又由三角形外角的性質(zhì)與，即可求得的度數(shù)．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
15．（4分）在△中，，其中一腰上的高為3，求底邊 或 ．
【分析】分兩種情況：①當(dāng)?shù)走呥吷系母邽?時(shí)；②當(dāng)腰上的高時(shí)，且在三角形內(nèi)部時(shí)；③當(dāng)高在△的外部時(shí)；根據(jù)勾股定理先求得，根據(jù)線(xiàn)段的和差求得，根據(jù)勾股定理求得底邊的長(zhǎng)．
【解答】解：分兩種情況：
①當(dāng)腰上的高，且在三角形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示：
則，
，
；
②當(dāng)高在△的外部時(shí)，如圖2所示：
在△中，，高，
，
，
；
綜上所述：底邊的長(zhǎng)是或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)．注意熟練運(yùn)用勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
16．（4分）如圖，折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．
（1）已知，，則 90 度；
（2）如果，，則 ．
【分析】（1）由，折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，可得，即得，而，故；
（2）根據(jù)，，得，設(shè)，則，在△中，可列方程，即可解得．
【解答】解：（1），
，
折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案為：90；
（2），，
，
設(shè)，則，
折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，
，
在△中，由勾股定理得，
解得，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形中的折疊問(wèn)題，涉及勾股定理、三角形內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練應(yīng)用勾股定理列方程解決問(wèn)題．
三、解答題（本題有8個(gè)小題，共66分）
17．（6分）在下面三個(gè)的方格中，各作出一個(gè)與圖中三角形成軸對(duì)稱(chēng)的圖形，且所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)與方格中小正方形的頂點(diǎn)重合，并給所畫(huà)圖形涂上陰影（所畫(huà)的三個(gè)圖形不能重復(fù)）．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：如圖，三角形即為所求作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
18．（6分）如圖，點(diǎn)，在上，，，，與交于點(diǎn)．
（1）試說(shuō)明：；
（2）試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用等式的性質(zhì)可以證得，則依據(jù)即可證得三角形全等；
（2）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證得，然后依據(jù)等角對(duì)等邊從而證得．
【解答】解：（1），
，
在和中，
，
；
（2），
，
，即是等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定于性質(zhì)，以及等腰三角形的判定定理：等角對(duì)等邊，正確證明兩個(gè)三角形全等是關(guān)鍵．
19．（6分）如圖，在△中，，．
（1）尺規(guī)作圖：作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于，交于；
（2）連結(jié)，求證：平分．
【分析】（1）直接作出的垂直平分線(xiàn)得出即可；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出即可．
【解答】（1）解：如圖，即為所求；
（2）證明：，，
，
垂直平分，
，
，
平分．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了作圖基本作圖，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法以及其性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．
20．（6分）已知中，，，，．
（1）若，．求；
（2）若，．求．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理，可以計(jì)算出的值；
（2）根據(jù)勾股定理，可以計(jì)算出的值．
【解答】解：（1），，，，，，
，
即的值是；
（2），，，，，，
，
即的值是8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的知識(shí)解答．
21．（8分）如圖，已知平分，于，于，且，
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得和，和都是直角三角形，然后利用即可證明；
（2）先證明，可得．進(jìn)而可以解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，，
和，和都是直角三角形．
在和中，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
．
由（1）知，，
．
，，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．
22．（10分）△、△均為等腰直角三角形．
（1）連接，，如圖，若當(dāng)，，求 2 ； ．
（2）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到一定角度后，如圖．
①求證：△△；
②探究與的數(shù)量和位置關(guān)系．
【分析】（1）證明△△，得出，，再利用直角三角形性質(zhì)求出長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；
（2）①先證明，即可證出全等；②根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出與的數(shù)量和位置關(guān)系．
【解答】解：（1）△、△均為等腰直角三角形，
，，，
，
△△，
在△中，，，
，
，，
，
故答案為：2，；
（2）①△、△均為等腰直角三角形，
，，，
，即，
△△；
②，，理由如下：
△△，
，，
，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）勾股定理在幾何問(wèn)題中有著廣泛地應(yīng)用，大約公元222年，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書(shū)中介紹了勾股定理的證明方法．具體用用四個(gè)完全一樣直角三角形可以拼成圖1的大正方形，采用面積法證明．
（1）類(lèi)比證明：伽菲爾德年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）于1876年4月1日《新英格蘭教育日志》上證明勾股定理．在△和△中，，易證△△．
請(qǐng)你用兩種不同的方法表示梯形的面積（圖，并證明：．
（2）嘗試畫(huà)圖：正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形．
①畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；
②畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)都為無(wú)理數(shù)的直角三角形；
③畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，使它的面積為4．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在直線(xiàn)上依次擺放五個(gè)正方形．已知斜放兩個(gè)正方形的面積分別是2、3，正放三個(gè)正方形的面積依次是，，，則 5 （直接寫(xiě)出答案）．
【分析】（1）見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析；（3）5
【分析】（1）先證△△，用兩種方法表示梯形面積，得出等式整理得到結(jié)論；
（2）①畫(huà)三邊分別為3，4，5的三角形即可；②畫(huà)三邊長(zhǎng)為的三角形；③根據(jù)面積畫(huà)鈍角三角形即可；
（3）先證，同理，整體代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）在△和△中，，
，
，
，，
△△，
，，，
，
，
整理，得：；
（2）如圖：①，，，△即為所求；
②，△即為所求；
③，△即為所求；
（3）解：，理由如下：
如圖，
圖中的四邊形均為正方形，
，，，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
同理，，
．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理的證明及勾股定理與無(wú)理數(shù)，熟練勾股定理及證明是解題關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，在△中，，，，在射線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△為直角三角形時(shí)，求值；
（3）當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求值．
【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為直角時(shí)，②當(dāng)為直角時(shí)，分別求出即可；
（3）當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，分別求出的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）在△中，，
；
（2）①當(dāng)為直角時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖1，；
②當(dāng)為直角時(shí)，如圖2，，
在△中，，
在△中，，
即：，
解得：，
故當(dāng)△為直角三角形時(shí)，或；
（3）①當(dāng)時(shí)，如圖3，；
②當(dāng)時(shí)，如圖4，；
③當(dāng)時(shí)，如圖5，，，
在△中，，
所以，
解得：，
綜上所述：當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，或或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．

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