1．（3分）下列四個圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，11
3．（3分）若a＜b，則下列各式中一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+1＞b+1B．a(chǎn)﹣1＞b﹣1C．﹣3a＞﹣3bD．＞
4．（3分）若等腰三角形的一個內(nèi)角是40°，則它的頂角是（ ）
A．100°B．40°C．100°或40°D．60°
5．（3分）在數(shù)軸上表示不等式3x﹣2＞7的解，正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
7．（3分）如圖，用尺規(guī)作出了∠NCB＝∠AOC，作圖痕跡中弧FG是（ ）
A．以點C為圓心，OD為半徑的弧
B．以點C為圓心，DM為半徑的弧
C．以點E為圓心，OD為半徑的弧
D．以點E為圓心，DM為半徑的弧
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，則CD的長是（ ）
A．5B．7C．D．
9．（3分）如圖，三角形紙片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形紙片沿直線AD折疊，點B落在AC邊上的E處，那么下列等式成立的是（ ）
A．AC＝AD+BDB．AC＝AB+BDC．AC＝AD+CDD．AC＝AB+CD
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（ ）
A．3B．C．D．
二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）請用不等式表示“x的4倍與y的差大于5”： ．
12．（3分）在Rt△ABC中，一個銳角為25°，則另一個銳角為 度．
13．（3分）命題“兩個全等三角形面積相等”的逆命題是 命題（填“真”或“假”）．
14．（3分）不等式3x+6≥0的負(fù)整數(shù)解是 ．
15．（3分）如圖，已知O為△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點，且∠A＝50°，則∠BOC的度數(shù)為 °．
16．（3分）如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝8，射線CD⊥BC于點C，P是射線CD上一動點，F(xiàn)是線段AB上一動點，當(dāng)EP+PF的值最小時，BF＝9，則AC的長為 ．
三、解答題（本題有8小題，共72分，各小題都必須寫出解答過程）
17．（6分）解下列不等式：
（1）﹣x≤2；
（2）4x+5＞2（x+1）．
18．（6分）如圖，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝40°．求∠C的度數(shù)．
19．（8分）下面是小明解一元一次不等式的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
解：去分母，得3x≥1﹣2（8+x）……第一步
去括號，得3x≥1﹣16﹣2x……第二步
移項，得3x+2x≤1﹣16……第三步
合并同類項，得5x≤﹣15……第四步
兩邊都除以5，得x≤﹣3……第五步
（1）小明的解答過程是從第 步開始出錯的，這一步正確的結(jié)果為 ，此步驟的依據(jù)是 ．
（2）請你寫出此題正確的解答過程，并將解表示在數(shù)軸上．
20．（8分）如圖，在△ABC中，點D是BC中點，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．求證：△ABC是等腰三角形．
21．（10分）某校暑假準(zhǔn)備組織該校的“三好學(xué)生”參加夏令營，由1名老師帶隊．
甲旅行社說：“若老師買全票一張，則學(xué)生可享受半價優(yōu)惠．”
乙旅行社說：“包括老師在內(nèi)都6折優(yōu)惠”
若全票價是1200元，則：
（1）設(shè)三好學(xué)生人數(shù)為x人，則參加甲旅行社的費用是 元；參加乙旅行社的費用是 元．
（2）當(dāng)學(xué)生人數(shù)取何值時，選擇參加甲旅行社比較合算？
22．（10分）如圖，在△ABC中，AD是高線，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于點G．
（1）求證：G是CE的中點．
（2）若∠B＝70°，求∠BCE的度數(shù)．
23．（12分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．
（1）在圖1中以格點為頂點畫一個面積為9的等腰直角三角形；
（2）在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、、；
（3）如圖3，點A、B、C是格點，求∠ABC的度數(shù)．
24．（12分）（1）如圖1，已知點B、A、D在同一條直線上，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連結(jié)BE、CD交于點O，且分別交AC、AE于點F、G．求證：△BAE≌△CAD；
（2）若將圖1中的△EAD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到圖2，使得點B、A、D不在同一條直線上，△ABC和△ADE都是等邊三角形，∠BOC的度數(shù)變化嗎？若不變，請求出∠BOC的度數(shù)，若變化，請說明理由；
（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝7，以AC為邊向外作等邊△ACD，直接寫出BD的長．
2024-2025學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)西溪中學(xué)、吉鴻中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列四個圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【考點】軸對稱圖形．
【答案】A
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，對選項進(jìn)行分析即可．
【解答】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，故不符合題意；
A選項中的圖形能找到一條（或多條）直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故符合題意．
故選：A．
2．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，11
【考點】三角形三邊關(guān)系．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系對各選項進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3＜4，∴不能構(gòu)成三角形，故本選項錯誤；
B、∵4+5＝9，∴不能構(gòu)成三角形，故本選項錯誤；
C、∵6﹣4＜8＜6+4，∴能構(gòu)成三角形，故本選項正確；
D、∵5+5＝10＜11，∴不能構(gòu)成三角形，故本選項錯誤．
故選：C．
3．（3分）若a＜b，則下列各式中一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+1＞b+1B．a(chǎn)﹣1＞b﹣1C．﹣3a＞﹣3bD．＞
【考點】不等式的性質(zhì)．
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．可得答案．
【解答】解：A、兩邊都加1，不等號的方向不變，故A不符合題意；
B、兩邊都減1，不等號的方向不變，故B不符合題意；
C、兩邊都乘以﹣3，不等號的方向改變，故C符合題意；
D、兩邊都除以2，不等號的方向不變，故D不符合題意；
故選：C．
4．（3分）若等腰三角形的一個內(nèi)角是40°，則它的頂角是（ ）
A．100°B．40°C．100°或40°D．60°
【考點】等腰三角形的性質(zhì)．
【答案】C
【分析】已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分情況解答：當(dāng)40°是頂角或者40°是底角兩種情況．
【解答】解：此題要分情況考慮：
①40°是它的頂角；
②40°是它的底角，則頂角是180°﹣40°×2＝100°．
所以這個等腰三角形的頂角為40°或100°．
故選：C．
5．（3分）在數(shù)軸上表示不等式3x﹣2＞7的解，正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考點】在數(shù)軸上表示不等式的解集．
【答案】C
【分析】先解不等式，再根據(jù)解集的表示方法判定即可．
【解答】解：不等式3x﹣2＞7的解集為：x＞3．
在數(shù)軸上表示為：
故選：C．
6．（3分）如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
【考點】全等三角形的判定．
【答案】B
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A為公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件；
C、如添BD＝CE，等量關(guān)系可得AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；
D、如添AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD．
故選：B．
7．（3分）如圖，用尺規(guī)作出了∠NCB＝∠AOC，作圖痕跡中弧FG是（ ）
A．以點C為圓心，OD為半徑的弧
B．以點C為圓心，DM為半徑的弧
C．以點E為圓心，OD為半徑的弧
D．以點E為圓心，DM為半徑的弧
【考點】作圖—基本作圖．
【答案】D
【分析】運用作一個角等于已知角的方法可得答案．
【解答】解：根據(jù)作一個角等于已知角可得弧FG是以點E為圓心，DM為半徑的?。?br>故選：D．
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，則CD的長是（ ）
A．5B．7C．D．
【考點】勾股定理．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理計算出AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式計算出CD的長即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵×AC×BC＝×CD×AB，
∴×3×4＝×5×CD，
解得CD＝．
故選：C．
9．（3分）如圖，三角形紙片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形紙片沿直線AD折疊，點B落在AC邊上的E處，那么下列等式成立的是（ ）
A．AC＝AD+BDB．AC＝AB+BDC．AC＝AD+CDD．AC＝AB+CD
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意證得AB＝AE，BD＝DE，DE＝EC．據(jù)此可以對以下選項進(jìn)行一一判定．
【解答】解：∵△ADE是由△ADB沿直線AD折疊而成，
∴AB＝AE，BD＝DE，∠B＝∠AED．
又∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC（三角形外角定理），
∴∠EDC＝∠C（等量代換），
∴DE＝EC（等角對等邊）．
A、根據(jù)圖示知：AC＝AE+EC＝AE+BD，則當(dāng)AD≠AE時，AC≠AD+BD；故本選項錯誤；
B、根據(jù)圖示知：AC＝AE+EC，因為AE+EC＝AB+BD，所以AC＝AB+BD；故本選項正確；
C、在△ADC中，由三角形的三邊關(guān)系知AC＜AD+CD；故本選項錯誤；
D、根據(jù)圖示知：AC＝AE+EC，因為AB+CD＝AE+CD，所以當(dāng)EC≠CD時，AC≠AB+CD；故本選項錯誤；
故選：B．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（ ）
A．3B．C．D．
【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質(zhì)；勾股定理．
【答案】A
【分析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過D點作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到則DE＝DC，再利用勾股定理計算出AC＝8，然后利用面積法得到?DE×10+?CD×6＝×6×8，最后解方程即可．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
過D點作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴?DE×10+?CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故選：A．
二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）請用不等式表示“x的4倍與y的差大于5”： 4x﹣y＞5 ．
【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】x的4倍為4x，與y的差為4x﹣y，差大于5即4x﹣y＞5，據(jù)此可得．
【解答】解：不等式表示“x的4倍與y的差大于5”為4x﹣y＞5．
故答案為：4x﹣y＞5．
12．（3分）在Rt△ABC中，一個銳角為25°，則另一個銳角為 65 度．
【考點】三角形內(nèi)角和定理．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)在直角三角形中兩個銳角互余．
【解答】解：另一個銳角＝90°﹣25°＝65°．
13．（3分）命題“兩個全等三角形面積相等”的逆命題是 假 命題（填“真”或“假”）．
【考點】命題與定理．
【答案】假．
【分析】寫出這個命題的逆命題，根據(jù)全等三角形的判定判斷即可．
【解答】解：命題“兩個全等三角形面積相等”的逆命題是如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等，是假命題；
故答案為：假．
14．（3分）不等式3x+6≥0的負(fù)整數(shù)解是 ﹣2，﹣1 ．
【考點】一元一次不等式的整數(shù)解．
【答案】﹣2，﹣1．
【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的負(fù)整數(shù)即可．
【解答】解：不等式的解集是x≥﹣2，
故不等式3x+6≥0的負(fù)整數(shù)解為﹣2，﹣1．
故答案為：﹣2，﹣1．
15．（3分）如圖，已知O為△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點，且∠A＝50°，則∠BOC的度數(shù)為 100 °．
【考點】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
【答案】100．
【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解答】解：如圖，連接OA，
∵O為△ABC三邊垂直平分線的交點，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝50°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°，
∴∠OBC+∠OCB＝130°﹣50°＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
故答案為：100．
16．（3分）如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝8，射線CD⊥BC于點C，P是射線CD上一動點，F(xiàn)是線段AB上一動點，當(dāng)EP+PF的值最小時，BF＝9，則AC的長為 13 ．
【考點】軸對稱﹣最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝BC，∠B＝60°，作點E關(guān)于直線CD的對稱點G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時，EP+PF的值最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BG＝2BF＝18，求得EG＝10，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作點E關(guān)于直線CD的對稱點G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，
則此時，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝9，
∴BG＝2BF＝18，
∴EG＝10，
∵CE＝CG＝5，
∴AC＝BC＝CE+BE＝5+8＝13，
故答案為：13．
三、解答題（本題有8小題，共72分，各小題都必須寫出解答過程）
17．（6分）解下列不等式：
（1）﹣x≤2；
（2）4x+5＞2（x+1）．
【考點】解一元一次不等式．
【答案】（1）x≥﹣2；
（2）x＞﹣．
【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的方法解答即可；
（2）根據(jù)解一元一次不等式的方法解答即可．
【解答】解：（1）﹣x≤2，
系數(shù)化為1，得：x≥﹣2；
（2）4x+5＞2（x+1），
去括號，得：4x+5＞2x+2，
移項及合并同類項，得：2x＞﹣3，
系數(shù)化為1，得：x＞﹣．
18．（6分）如圖，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝40°．求∠C的度數(shù)．
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】證明△ABD≌△ACD（SAS），即可得出結(jié)論．
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°，
即∠C的度數(shù)為40°．
19．（8分）下面是小明解一元一次不等式的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
解：去分母，得3x≥1﹣2（8+x）……第一步
去括號，得3x≥1﹣16﹣2x……第二步
移項，得3x+2x≤1﹣16……第三步
合并同類項，得5x≤﹣15……第四步
兩邊都除以5，得x≤﹣3……第五步
（1）小明的解答過程是從第 一 步開始出錯的，這一步正確的結(jié)果為 3x≥6﹣2（8+x） ，此步驟的依據(jù)是 不等式的性質(zhì)2 ．
（2）請你寫出此題正確的解答過程，并將解表示在數(shù)軸上．
【考點】解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集．
【答案】（1）一；3x≥6﹣2（8+x）；不等式的性質(zhì)2；
（2）解一元一次不等式的過程見解析，數(shù)軸見解析．
【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟解答即可；
（2）求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
【解答】解：（1）小明的解答過程是從第一步開始出錯的，這一步正確的結(jié)果為3x≥6﹣2（8+x），此步驟的依據(jù)是不等式的性質(zhì)2，
故答案為：一；3x≥6﹣2（8+x）；不等式的性質(zhì)2；
（2），
3x≥6﹣2（8+x），
3x≥6﹣16﹣2x，
3x+2x≥6﹣16，
5x≥﹣10，
x≥﹣2，
在數(shù)軸上表示為：
．
20．（8分）如圖，在△ABC中，點D是BC中點，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．求證：△ABC是等腰三角形．
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)HL證明△BDE≌△CDF，進(jìn)而解答即可．
【解答】證明：∵點D是BC中點，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
在Rt△BDE與Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
21．（10分）某校暑假準(zhǔn)備組織該校的“三好學(xué)生”參加夏令營，由1名老師帶隊．
甲旅行社說：“若老師買全票一張，則學(xué)生可享受半價優(yōu)惠．”
乙旅行社說：“包括老師在內(nèi)都6折優(yōu)惠”
若全票價是1200元，則：
（1）設(shè)三好學(xué)生人數(shù)為x人，則參加甲旅行社的費用是 1200+600x 元；參加乙旅行社的費用是 720（x+1） 元．
（2）當(dāng)學(xué)生人數(shù)取何值時，選擇參加甲旅行社比較合算？
【考點】一元一次不等式的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）假設(shè)三好學(xué)生人數(shù)為x人，
對甲旅行社：“若老師買全票一張，則學(xué)生可享受半價優(yōu)惠”．則參加甲旅行社的費用為1200+1200×0.5×x；
對乙旅行社：“包括老師在內(nèi)都6折優(yōu)惠”．則參加乙旅行社的費用為1200×0.6×（x+1）；
（2）若使參加甲旅行社比較合算，也就是說：甲旅行社的費用﹣乙旅行社的費用＜0，解不等式即可知學(xué)生人數(shù)取何值時合算．
【解答】解：（1）設(shè)三好學(xué)生人數(shù)為x人
由題意得，參加甲旅行社的費用是1200+1200×0.5×x＝1200+600x；
參加乙旅行社的費用是1200×0.6×（x+1）＝720（x+1）．
（2）由題意得 1200+600x﹣720（x+1）＜0
解不等式得 x＞4
答：（1）1200+600x，720（x+1）．
（2）當(dāng)學(xué)生人數(shù)多于4人時，選擇參加甲旅行社比較合算．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AD是高線，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于點G．
（1）求證：G是CE的中點．
（2）若∠B＝70°，求∠BCE的度數(shù)．
【考點】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝AB＝BE，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDE＝∠B＝70°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．
【解答】（1）證明：連接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵E是AB的中點，
∴DE＝AB＝BE，
∵DC＝BE，
∴DC＝DE，
∵DG⊥CE，
∴G是CE的中點．
（2）解：∵DE＝BE，∠B＝70°，
∴∠BDE＝∠B＝70°，
∵DE＝DC，
∴∠BCE＝∠DEC＝∠BDE＝35°．
23．（12分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．
（1）在圖1中以格點為頂點畫一個面積為9的等腰直角三角形；
（2）在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、、；
（3）如圖3，點A、B、C是格點，求∠ABC的度數(shù)．
【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
（3）45°．
【分析】（1）由題意知，面積為9的等腰直角三角形的邊長為3，由，構(gòu)造如圖1的等腰三角形即可；
（2）由題意知，，，構(gòu)造如圖2的三角形即可；
（3）如圖3，連接AC，由勾股定理得，，，由AC2+BC2＝20＝AB2，可知△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而可求∠ABC的度數(shù)．
【解答】解：（1）由題意知，面積為9的等腰直角三角形的邊長為3，
∵（3）2＝32+32，
∴構(gòu)造如圖1的等腰三角形；
（2）由題意知，，，
∴構(gòu)造如圖2的三角形；
（3）如圖3，連接AC，
由勾股定理得，，，
∵AC2+BC2＝20＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC的度數(shù)為45°．
24．（12分）（1）如圖1，已知點B、A、D在同一條直線上，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連結(jié)BE、CD交于點O，且分別交AC、AE于點F、G．求證：△BAE≌△CAD；
（2）若將圖1中的△EAD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到圖2，使得點B、A、D不在同一條直線上，△ABC和△ADE都是等邊三角形，∠BOC的度數(shù)變化嗎？若不變，請求出∠BOC的度數(shù)，若變化，請說明理由；
（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝7，以AC為邊向外作等邊△ACD，直接寫出BD的長．
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）∠BOC的度數(shù)不變，∠BOC＝60°；
（3）．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，求得∠BAE＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的判定定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，求得∠BAE＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠ACD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；
（3）以AB為邊在△ABC的外部作等邊三角形ABE，得到BE＝AB＝4，∠ABE＝60°，由（2）知，△AEC≌△ABD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝BD，過E作EF⊥BC交CB的延長線于F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF＝，EF＝BE＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE與△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∠BOC的度數(shù)不變，
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE與△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠AFB＝∠OFC，
∴∠BOC＝∠BAC＝60°；
（3）解：以AB為邊在△ABC的外部作等邊三角形ABE，
∴BE＝AB＝4，∠ABE＝60°，
由（2）知，△AEC≌△ABD，
∴CE＝BD，
過E作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝，EF＝BE＝2，
∵BC＝7，
∴CF＝9，
∴CE＝＝，
∴BD＝CE＝．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/24 0:07:03；用戶：15008208124；郵箱：15008208124；學(xué)號：60148633

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