2023-2024學(xué)年四川省成都市石室中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卷上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上的無效．
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1. 直線的傾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方程得出其斜率，即可根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系得出答案.
【詳解】直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，,
則，則，
故選：A.
2. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）
A. B. 16C. 18D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于，列出方程，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得，所以準(zhǔn)線方程為，
如圖所示，設(shè)點(diǎn)其中，且
過點(diǎn)作，垂足，
由拋物線的定義得，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于，即，
所以，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
故選：C.
3. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上一點(diǎn)，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合焦半徑的范圍，即可求解．
【詳解】由已知，又，所以，
故選：D．
4. 已知橢圓中，，則橢圓的離心率的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓離心率的定義和的大小關(guān)系求解離心率的取值范圍即可.
【詳解】由橢圓，
則橢圓的離心率，
又因?yàn)椋瑒t，
所以.
故選：B
5. 已知直線，雙曲線，則（）
A. 直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
B. 直線與雙曲線的左支有兩個(gè)公共點(diǎn)
C. 直線與雙曲線的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)
D. 直線與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)的右邊，聯(lián)立直線與雙曲線方程并畫出圖形即可得到答案.
【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖象如圖所示：
由圖可知直線過點(diǎn)，它在雙曲線的右頂點(diǎn)的右邊，
聯(lián)立直線與雙曲線方程得，解得或，
則直線與雙曲線的右支有兩個(gè)公共點(diǎn).
故選：C.
6. 已知點(diǎn)，，直線的斜率為，直線的斜率為，若，則點(diǎn)的軌跡為不包含，兩點(diǎn)的（）
A. 直線B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件列方程，化簡后求得正確答案.
【詳解】設(shè)，其中，
則，即，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡為不包含，兩點(diǎn)的拋物線.
故選：D
7. 已知斜率為的兩條直線都與橢圓相切，則這兩條直線間的距離等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程根據(jù)得到，再計(jì)算平行直線的距離得到答案.
【詳解】設(shè)切線方程為，則，則，
，解得，
切線方程為，故這兩條直線間的距離等于.
故選：B.
8. 已知，，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示點(diǎn)兩點(diǎn)間距離的平方，點(diǎn)P軌跡是直線，點(diǎn)Q軌跡是圓，求出直線與圓上點(diǎn)的最小距離的平方即可.
【詳解】表示點(diǎn)兩點(diǎn)間距離的平方；
點(diǎn)P軌跡是直線
點(diǎn)Q軌跡是圓；
圓心到直線的距離是；
所以直線和圓的最近距離是．
故的最小值是
故選：B
二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知直線，，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為
B. 若與相互平行，則或
C. 若，則
D. 若不經(jīng)過第二象限，則
【答案】CD
【解析】
【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將直線方程化簡可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，斜率為，則其一個(gè)方向向量為，
，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若與相互平行，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，與重合，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若，則，解得，故C正確；
對(duì)D，若不經(jīng)過第二象限，，即，
則，解得，D正確.
故選：CD
10. 已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），圓的圓心為點(diǎn)，則（）
A. 圓與圓共有條公切線
B. 在圓上，，與圓切于，，當(dāng)最大時(shí)，，，共線
C. 在直線上，直線與圓相切于，直線與圓相切于，則
D. 圓與圓和圓均外切，則圓的圓心的軌跡為雙曲線
【答案】ABC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，判斷出兩圓外切，得到A正確；B選項(xiàng)，得到三角形全等，設(shè)，故，，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到最大，只需最大，從而得到B正確；C選項(xiàng)，設(shè)出，表達(dá)出；D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線定義得到點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則圓心距為，又，
由可知，故兩圓相離，故圓與圓共有條公切線，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，與圓切于，，所以⊥，⊥，
由對(duì)稱性可知，≌，
連接交于點(diǎn)，則⊥，且，
設(shè)，則，，
要想最大只需最大，而在上單調(diào)遞增，故只需最大，
其中，而在上單調(diào)遞減，
故只需最大，
顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線，如圖所示時(shí)，最大，B正確；
C選項(xiàng)，設(shè)，
則，
，
，
，
故，C正確；
D選項(xiàng)，由題意得，，
故，則點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點(diǎn)法，交軌法，定義法，其中定義法往往考察橢圓，雙曲線和拋物線的定義，利用三者的定義求出軌跡或軌跡方程，注意舍去或添加一些點(diǎn).
11. 設(shè)雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，，左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線的一條漸近線，過作，垂足為，為雙曲線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，則（）
A.
B.
C. 若，則的面積為
D. 若平行于軸，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，直線斜率、三角形的面積、雙曲線上的點(diǎn)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】雙曲線，即，
所以，不妨設(shè)，
而，
到的距離為，
所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，設(shè)，其中，則，
所以，
則，
，
由圖可知為鈍角，為銳角，
所以，則，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，若，，
兩式相減得，
所以的面積為，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，直線的方程為，
由解得，則，所以，
由，所以，
，
所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
12. 已知正方體中，為正方形的中心．為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）
A. 若，則的軌跡是圓
B. 若，則的軌跡是橢圓
C. 若到直線，距離相等，則的軌跡是拋物線
D. 若到直線，距離相等，則的軌跡是雙曲線
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別表示四個(gè)選項(xiàng)，利用定義和數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷.
【詳解】
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，
對(duì)于A，，，，
，則，即
即，所以的軌跡是點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，所以可以看成為以為高線圓錐的母線，
當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為拋物線；
當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一條直線；
當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為橢圓；
當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐的對(duì)稱軸垂直，結(jié)果為圓；
當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為一點(diǎn)；
當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為雙曲線；
如圖所示，
根據(jù)題意，平面不過圓錐的頂點(diǎn),且與圓錐面的一側(cè)相交，所以所形成的軌跡為橢圓,
故B正確；
對(duì)于C，若到直線，距離相等，面，面，
所以，所以到直線的距離為到點(diǎn)的距離，
則到直線，點(diǎn)距離相等，由拋物線定義可得，的軌跡是拋物線，故C正確；
對(duì)于D，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足為，
過向作垂線，垂足為，此時(shí)，
若到直線，距離相等，即，則，
即，則的軌跡是雙曲線，故D正確，
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查立體幾何中的軌跡問題，關(guān)鍵在于對(duì)于對(duì)圓錐曲線定義的理解.
第II卷
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．
13. 已知直線與交于點(diǎn)，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)后可得．
【詳解】由得，所以，
，
故答案為：3.
14. 如圖，弓形中，弦，為的中點(diǎn)，且到的距離為，則所在的圓的半徑為______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用圓的性質(zhì)，借助勾股定理列式求解即得.
【詳解】令線段的中點(diǎn)為，由圓的性質(zhì)知，，且所在圓的圓心在直線上，
設(shè)所在圓的半徑為r，則有，解得，
所以所在圓的半徑為5.
故答案為：5
15. 設(shè)點(diǎn)，在軸上，在直線上，則的周長的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出關(guān)于軸和直線的對(duì)稱點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出最小值.
【詳解】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，故，
連接交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，
則，
此時(shí)的周長最小，最小值為.

故答案為：
16. 已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，則橢圓的離心率為_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，確定，中，根據(jù)余弦定理得到，得到離心率.
【詳解】不妨取為上頂點(diǎn)，如圖所示：
則，設(shè)，則，則，
整理得到，，
中，根據(jù)余弦定理：，
整理得到，即.
故答案為：.
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為和．
（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求的最小值，并求出當(dāng)最小時(shí)直線的方程．
【答案】（1）
（2）最小值為，的方程為
【解析】
【分析】（1）先求得線段AB的中點(diǎn)即圓心，從而求得半徑，寫出方程；
（2）由時(shí)最小，再利用弦長公式求解.
【小問1詳解】
解：由題意可知圓的圓心為，半徑為．
所以圓的方程為．
【小問2詳解】
易知當(dāng)時(shí)最小，此時(shí)的斜率為，
所以直線的方程為，即，
所以．
18. 已知過點(diǎn)的直線與拋物線（）交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，恰為中點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直線方程后設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解；
（2）給出直線方程后和拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理結(jié)合面積公式即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)斜率為時(shí)，由得，恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
不妨設(shè)，則為拋物線上的點(diǎn)．
代入拋物線的方程得，解得．
（2）由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)．當(dāng)經(jīng)過時(shí)，其方程為．
將其與拋物線的方程聯(lián)立得．
設(shè)，，則，．
因此的面積．
19. 拋擲一枚均勻的骰子次，將第次擲出的點(diǎn)數(shù)記為，第次擲出的點(diǎn)數(shù)記為．
（1）求的概率；
（2）記事件為“”，事件為“”，若且事件和事件為相互獨(dú)立事件，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）列舉出兩次擲出的點(diǎn)數(shù)的所有結(jié)果，再利用古典概率結(jié)合對(duì)立事件概率公式計(jì)算即得.
（2）求出，并確定事件的結(jié)果數(shù)，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出，再逐一驗(yàn)證即得.
【小問1詳解】
將次擲出的點(diǎn)數(shù)記為，則所有的樣本點(diǎn)為：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
共個(gè)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，
使得的樣本點(diǎn)有，，，，，，，，，共個(gè)，
因此，顯然與為對(duì)立事件，
所以．
【小問2詳解】
由（1）知，，由和相互獨(dú)立，即知，
此時(shí)等價(jià)于事件“且”，因此中僅有一個(gè)樣本點(diǎn)，即，則，
而，，，，，
因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，且，所以所求的值為.
20. 如圖，長方體中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱，為棱的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成的角．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)長方體性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理得出，即可根據(jù)線面垂直的判定得出平面，即可根據(jù)面面垂直的判定得出答案；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得出相關(guān)向量，即可求出平面法向量，即可根據(jù)線面角的向量求法，得出答案.
【小問1詳解】
是長方體，平面,
平面,,
是邊長為的正方形，側(cè)棱，且為棱的中點(diǎn)，
,,,
,,
平面，平面，且，
平面，
平面，
平面平面.
【小問2詳解】
以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,,,,，
則,,,
設(shè)平面的法向量為，
則，解得：，
取，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
線面角范圍為，
，即直線與平面所成角為.
21. 已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，直線和為雙曲線的兩條漸近線．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若與的斜率互為相反數(shù)，求直線的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得答案；
（2）解法一：設(shè)直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立消去，設(shè)，
則與的橫坐標(biāo)為此方程的兩個(gè)根，可得、，設(shè)，的斜率為，類似的可得、，再由可得答案．
解法二：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立消去，設(shè)，，由直線的斜率與的斜率和為0、韋達(dá)定理可得答案.
【小問1詳解】
由題意，可設(shè)雙曲線方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
因此雙曲線的方程為；
【小問2詳解】
解法一：設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
即，與雙曲線聯(lián)立消去，
得．設(shè)，
則與的橫坐標(biāo)為此方程的兩個(gè)根，即，
因此，
從而，
設(shè)，由題意，的斜率為，
類似的可得，，
因此直線的斜率，即直線的斜率為．
解法二：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立消去得．設(shè)，，則，．由于直線的斜率為，
的斜率為，因此，整理得，
所以，整理得，
即．由于當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)不符合題意，
所以．綜上所述，直線的斜率為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.
22. 已知點(diǎn)，點(diǎn)分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，的中點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線與，若與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，，，根據(jù)可得關(guān)系即得點(diǎn)的軌跡方程.
（2）化簡，先計(jì)算當(dāng)與一條與軸垂直時(shí)值，再設(shè)直線、方程聯(lián)立，計(jì)算，換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域即可.
【小問1詳解】
設(shè)，，，
則，．
由得，
從而，即曲線的方程為．
【小問2詳解】
由于，所以．
當(dāng)與一條與軸垂直，另一條與軸垂直時(shí)，不妨設(shè)，
可得
．
當(dāng)與都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，不妨設(shè)，，其中．
將的方程與曲線的方程聯(lián)立消去得，
顯然對(duì)都有．設(shè)，，
則，，
因此．
類似的可得．
所以．
令，有．
由于，因此，
從而．
綜上所述，的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

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