【考點(diǎn)清單】專題03+隨機(jī)變量的分布列-高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講試卷（人教B版2019選擇性必修第二冊）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點(diǎn)題型一】隨機(jī)變量的判斷
1、隨機(jī)變量的有關(guān)概念
（1）隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
（2）離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．
2、理解離散型隨機(jī)變量的切入點(diǎn)
（1）判斷一個隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵是判斷隨機(jī)變量的所有可能取值是否可以一一列出，具體方法如下：①明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.②將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化.③確定試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可以一一列出，若能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量；若不能一一列出，則該隨機(jī)變量不是離散型隨機(jī)變量.
（2）明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及取每一個值所對應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，同時也要明確一個隨機(jī)變量的取值可能對應(yīng)一個或多個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果.
【例1】（23-24高二下·重慶·期中）下面給出的四個隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是（）
①某食堂在中午半小時內(nèi)進(jìn)的人數(shù)； ②某元件的測量誤差；
③小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁的時間； ④高一2班參加運(yùn)動會的人數(shù)；
A．①②B．③④C．①③D．①④
【變式1-1】（22-23高二下·河南周口·期中）下面給出四個隨機(jī)變量：
①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；
②一個沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；
③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)；
④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．
其中是離散型隨機(jī)變量的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【變式1-2】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）（多選）給出下列四個命題正確的是（）
A．某次數(shù)學(xué)期中考試前，其中一個考場30名考生中做對選擇題第12題的人數(shù)是隨機(jī)變量
B．黃河每年的最大流量是隨機(jī)變量
C．某體育館共有6個出口，散場后從某一出口退場的人數(shù)是隨機(jī)變量
D．方程根的個數(shù)是隨機(jī)變量
【變式1-3】（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）（多選）下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是（）
A．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)
B．某林場的樹木最高達(dá)30 m，則此林場中樹木的高度
C．某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差
D．某高中每年參加高考的人數(shù)
【考點(diǎn)題型二】分布列的性質(zhì)的應(yīng)用
1、離散型隨機(jī)變量分布列
（1）離散型隨機(jī)變量分布列的表示：一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
（2）分布列的性質(zhì)：（1），；（2）．
2、隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用技巧
（1）利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù).
（2）求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.
【例2】（23-24高二下·吉林·期中）隨機(jī)變量的分布列為
則（）
A．B．C．D．
【變式2-1】（23-24高二下·湖北黃岡·月考）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則的值為（）
A．B．C．D．
【變式2-2】（23-24高二下·河北石家莊·期中）已知隨機(jī)變量X的分布列為，其中a是常數(shù)，則下列說法不正確的是（）
A．B．
C．D．
【變式2-3】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)題型三】求離散型隨機(jī)變量的分布列
求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先弄清楚隨機(jī)變量的含義及其取值情況，并確定出隨機(jī)變量對應(yīng)取值的概率，然后檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否滿足.
【例3】（23-24高二下·重慶渝北·期中）已知袋中有個不同的小球，紅球、黃球、藍(lán)球各個（除顏色外完全相同），現(xiàn)從中任取個球
（1）求取出的球中紅球數(shù)多于黃球數(shù)的概率；
（2）設(shè)表示取出的個球中紅色球的個數(shù)，求的分布列．
【變式3-1】（23-24高二下·重慶·月考）某考試分為筆試和面試兩個部分，每個部分的成績分為A，B，C三個等級，其中A等級得3分、B等級得2分、C等級得1分.甲在筆試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，在面試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，甲筆試的結(jié)果和面試的結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）求甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級的概率；
（2）求甲筆試和面試的得分之和X的分布列與期望.
【變式3-2】（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒有支教經(jīng)驗(yàn)．
（1）求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在第一批次支教活動中就被抽選到的概率；
（2）求第一次抽取到無支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；
（3）求第二次抽選時，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請說明理由．
【變式3-3】（23-24高二下·湖北武漢·期中）ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動的自然語言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來生成回答，但它的回答可能會受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某一類問題進(jìn)行測試時發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為；如果出現(xiàn)語法錯誤，它回答正確的概率為.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的個問題中隨機(jī)抽取個作答，已知在這個問題中，小張能正確作答其中的個.
（1）在小張和ChatGPT的這次挑戰(zhàn)中，求小張答對的題數(shù)的分布列；
（2）給ChatGPT輸入一個問題，求該問題能被ChatGPT回答正確的概率；
【考點(diǎn)題型四】兩點(diǎn)分布
兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．
【例4】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（）
A．0.6B．0.3C．0.2D．0.4
【變式4-1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么（）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
【變式4-2】（23-24高二下·全國·單元測試）（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（）
A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)
B．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)
C．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球?3個白球的袋中任取1個球，設(shè)
D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)
【變式4-3】（23-24高二下·全國·課堂例題）從裝有個白球和個紅球的口袋中任取個球，用表示“取到的白球個數(shù)”，則的取值為或，即，求隨機(jī)變量的概率分布．
【考點(diǎn)題型五】n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率
1、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
【注意】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：如果一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是．
【例5】（23-24高二下·河南·期中）小明騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校需要經(jīng)過三個十字路口，已知在十字路口遇到紅燈的概率均為，每次紅燈需要等待一分鐘且在每個路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，則紅燈等待時間不少于兩分鐘的概率為（）
A．B．C．D．
【變式5-1】（23-24高二下·重慶·期中）若某射擊手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為（），每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.在他連續(xù)8次射擊中，“恰有3次擊中目標(biāo)”的概率是“恰有5次擊中目標(biāo)”的概率的，則的值為（）
A．B．C．D．
【變式5-2】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙兩隊(duì)要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制．已知甲隊(duì)每局獲勝的概率為，乙隊(duì)每局獲勝的概率為．
（1）求乙隊(duì)以的比分獲勝的概率；
（2）設(shè)確定比賽結(jié)果需要比賽局，求的分布列．
【變式5-3】（23-24高二下·河北張家口·月考）RbMaster機(jī)甲大師高校系列賽（RMU，RbMasterUniversitySeries），作為全國大學(xué)生機(jī)器人大賽旗下賽事之一，是專為全球科技愛好者打造的機(jī)器人競技與學(xué)術(shù)交流平臺，在“3V3”對抗賽中，甲、乙、丙三支高校隊(duì)在每輪對抗賽中，乙勝丙的概率為，甲勝丙的概率為，每輪對抗賽沒有平局且成績互不影響．
（1）若乙與丙進(jìn)行3輪對抗賽，求丙在對抗賽中至少有2輪勝出的概率；
（2）若甲與丙進(jìn)行對抗，甲勝2輪就停止，否則開始新一輪對抗，但對抗不超過5輪，求對抗賽輪數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)題型六】服從二項(xiàng)分布的概率最值
1、二項(xiàng)分布的表示：一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列
【例6】（23-24高三上·湖北荊州·月考）已知隨機(jī)變量，則概率最大時，的取值為（）
A．B．C．或D．或
【變式6-1】（22-23高二下·河南周口·期中）某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：
以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨(dú)立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛好者進(jìn)行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（）
A．3B．4C．5D．6
【變式6-2】（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·月考）若~，則取得最大值時， .
【變式6-3】（23-24高二下·吉林長春·月考）某中學(xué)招聘教師分筆試和面試兩個環(huán)節(jié)，主考官要求應(yīng)聘者從筆試備選題和面試備選題中分別隨機(jī)抽取各10道題，并獨(dú)立完成所抽取的20道題，每道題答對得10分，答錯扣1分.甲答對筆試每道題的概率為，答對面試每道題的概率為，且每道題答對與否互不影響.則甲得分的概率最大.
【考點(diǎn)題型七】二項(xiàng)分布綜合應(yīng)用
1、定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．
2、定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．
3、列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對應(yīng)的概率，列出分布列．
【例7】（22-23高二·全國·課堂例題）為了增加系統(tǒng)的可靠性，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備），已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)器采用的是“一用兩備”（即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備）的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉，如果三臺設(shè)備各自能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為X．
（1）寫出X的分布列；
（2）求出計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)不會斷掉的概率．
【變式7-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者得0分，且比賽中沒有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.
（1）經(jīng)過3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；
（2）若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.
【變式7-2】（23-24高二下·湖北·月考）一個盒子里有大小相同的5個小球，其中2個白球和3個紅球．
（1）一次性從盒子中抽3個小球，抽出來的是1個白球和2個紅球的概率；
（2）有放回地抽3次小球，每次抽1個，求抽出白球次數(shù)的分布列和均值．
【變式7-3】（23-24高二下·天津·期中）甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定誰先贏3局誰就直接獲勝，并結(jié)束比賽.假設(shè)每局甲贏的概率為，和棋的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）記為3局比賽中甲贏的局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值
（2）求乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；
（3）求比賽6局結(jié)束，且甲贏得比賽的概率
【考點(diǎn)題型八】超幾何分布
1、超幾何分布的定義：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
2、求超幾何的分布列的步驟
第一步：驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)的值；
第二步：根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個值時的概率；
第三步：用表格的形式列出分布列。
【例8】（22-23高二下·重慶長壽·期末）某校高中數(shù)學(xué)興趣小組有名同學(xué)，其中名男生名女生，現(xiàn)從中選人去參加一項(xiàng)活動．
（1）求選出的人中，恰有名男生的概率；
（2）用表示選出的人中男生的個數(shù)，求的分布列．
【變式8-1】（22-23高二下·重慶·期中）某學(xué)校的高二年級有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人.
（1）如果任選3人參加校級技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人參加市級技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率.
【變式8-2】（23-24高三上·江蘇南通·月考）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.
（1）求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
（2）求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
【變式8-3】（23-24高二下·廣東梅州·月考）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.
（1）求三種粽子各取到1個的概率；
（2）設(shè)表示取到的豆沙粽個數(shù)，求的分布列；
（3）設(shè)表示取到的粽子的種類，求的分布列.
【考點(diǎn)題型九】正態(tài)曲線及其性質(zhì)
1、正態(tài)曲線：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．
2、正態(tài)曲線的性質(zhì)
= 1 \* GB3 ①曲線位于軸上方，與軸不相交；
= 2 \* GB3 ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；
= 3 \* GB3 ③曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；
= 4 \* GB3 ④曲線與軸之間的面積為1；
= 5 \* GB3 ⑤當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移；
= 6 \* GB3 ⑥當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，
【例9】（23-24高二下·山西陽泉·期中）已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（）
A．，B．，
C．，D．，
【變式9-1】（23-24高二下·廣東廣州·月考）設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，與之間的大小關(guān)系是（）
A．B．
C．D．
【變式9-2】（23-24高二下·全國·專題練習(xí)）（多選）某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值
B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值
C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性
D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性
【變式9-3】（22-23高二下·廣東廣州·月考）（多選）某質(zhì)量指標(biāo)的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則在一次測量中（）
A．該質(zhì)量指標(biāo)大于80的概率為0.5
B．越大，該質(zhì)量指標(biāo)落在的概率越大
C．該質(zhì)量指標(biāo)小于60與大于100的概率相等
D．該質(zhì)量指標(biāo)落在與落在的概率相等
【考點(diǎn)題型十】正態(tài)分布的概率計(jì)算
1、正態(tài)分布：一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．
其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．
2、原則：在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡稱之為原則．
；；．
【例10】（23-24高二下·福建三明·期中）紅外體溫計(jì)的工作原理是通過人體發(fā)出的紅外熱輻射來測量體溫的，有一定誤差.用一款紅外體溫計(jì)測量一位體溫為的人時，顯示體溫X服從正態(tài)分布，若的值在內(nèi)的概率約為，則n的值約為（）
（參考數(shù)據(jù)：若，則）.
A．3B．4C．5D．6
【變式10-1】（23-24高二下·河北張家口·月考）富崗蘋果作為河北內(nèi)丘縣特產(chǎn)、中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，生產(chǎn)基地位于海拔500-1200米的太行山深處崗底村，是太行山上新愚公-李保國教授根據(jù)崗底村獨(dú)待的自然條件，培育出來的綠色食品、有機(jī)食品．據(jù)統(tǒng)計(jì)，富崗蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，則直徑在內(nèi)的概率為（）
附：若，則，
A．0.6827B．0.8413C．0.8186D．0.9545
【變式10-2】（23-24高二下·江西·月考）根據(jù)人口普查數(shù)據(jù)，某市30萬人的身高X（cm）近似服從正態(tài)分布，即，已知該市恰好有的人的身高在162cm以上（含162cm），身高在174cm以上（含174cm）的有6840人，則估計(jì)該市身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：若，則：，，.）
A．390B．780C．1710D．3420
【變式10-3】（2024·遼寧·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達(dá)公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達(dá)公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達(dá)公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)
參考數(shù)據(jù)：若則，，
【考點(diǎn)題型十一】正態(tài)分布的綜合應(yīng)用
利用正態(tài)分布的原則檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格的方法
（1）確定某種指標(biāo)服從正態(tài)分布，即；
（2）確定一次試驗(yàn)中的取值；
（3）做出判斷：若，則產(chǎn)品合格；若，則產(chǎn)品不合格.
【例11】（23-24高二下·吉林白山·期中）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學(xué)?外語三門為必選科目，“1”指的是要在物理?歷史里選一門，“2”指考生要在生物?化學(xué)?思想政治?地理4門中選擇2門．
（1）若按照“”模式選科，求甲?乙兩名學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；
（2）某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績，從當(dāng)?shù)夭煌膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試（滿分450分），假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布．
①估計(jì)4000名學(xué)生中成績介于190分到355分之間的有多少人（結(jié)果保留到個位）；
②該地某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有12名同學(xué)獲得425分以上的高分”，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識分析上述宣傳語是否可信．
附：．
【變式11-1】（23-24高二下·廣東惠州·月考）統(tǒng)計(jì)學(xué)中有如下結(jié)論：若，從的取值中隨機(jī)抽取個數(shù)據(jù)，記這個數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機(jī)變量．據(jù)傳德國數(shù)學(xué)家希爾伯特喜歡吃披薩．他每天都會到同一家披薩店購買一份披薩．該披薩店的老板聲稱自己所出售的披薩的平均質(zhì)量是500g，上下浮動不超過25g，這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個披薩的質(zhì)量服從期望為500g，標(biāo)準(zhǔn)差為25g的正態(tài)分布．
（1）假設(shè)老板的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買份披薩，記這份披薩的平均值為，利用上述結(jié)論求；
（2）希爾伯特每天都會將買來的披薩稱重并記錄，天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算得到份披薩質(zhì)量的平均值為，希爾伯特通過分析舉報了該老板．試從概率角度說明希爾伯特舉報該老板的理由．
附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；
②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生．
【變式11-2】（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：
（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；
（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，為監(jiān)控該產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量，每天抽取10個產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若出現(xiàn)了質(zhì)量指標(biāo)值在之外的產(chǎn)品，就認(rèn)為這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．
①假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的10個產(chǎn)品中尺寸在之外的產(chǎn)品數(shù)，求
②請說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性．
附：
【變式11-3】（23-24高二下·福建福州·期中）為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值．
（1）為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（表示相應(yīng)事件的頻率）；
①；②；③．
評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備的性能等級．
（2）將直徑小于或等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品．
①從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2個零件，計(jì)算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
②從樣本中隨意抽取2個零件，計(jì)算其中次品個數(shù)的分布列．（答案用分?jǐn)?shù)表示，要畫表格）1
3
P
m
X
0
1
2
3
P
a
5a
X
0
1
P
1－p
p
…
…
…
…
用時/秒
男性人數(shù)
17
21
13
9
女性人數(shù)
8
10
16
6
0
1
…
…
直徑
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合計(jì)
件數(shù)
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100

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