了解兩條線段的比的概念
理解成比例線段與比例的概念
掌握比例的基本性質(zhì)以及比例的其他性質(zhì)
Q1：兩組圖中A、B之間有何關(guān)系？
A B
A、B之間形狀相同（圖案相同）、大小相等——全等
Q2：兩組圖中A、B之間有何關(guān)系？
A、B之間形狀相同（圖形相同）、但是大小不等
Q3：怎樣通過具體數(shù)值描述出它們的大小關(guān)系呢？
在琮琮A上取兩點(diǎn)C、D，連接CD，測量其長度，記為a；在琮琮B上取相應(yīng)的兩點(diǎn)C1、D1，連接C1D1，測量其長度，記為b。
因此，要研究形狀相同、大小不同的圖形，要先研究對應(yīng)線段（長度）的比。
兩個(gè)琮琮圖形大小的比，即CD:C1D1，即a:b，
兩條線段長度的比，叫做兩條線段的比，若兩條線段的比為a:b，那么a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。
注意：兩條線段的比具有順序性，要明確前項(xiàng)與后項(xiàng)。
探究：已知AB長為1dm，CD長為2cm，則：(1)AB與CD的比為________，AB與CD的比值為________；(3)“比”與“比值”一樣嗎？
求線段的比或比值，需確保單位長度統(tǒng)一
(2)不一樣，兩數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比，兩數(shù)相除所得的商叫做兩個(gè)數(shù)的比值。
注意：(1)求兩條線段的比，要先統(tǒng)一線段的單位，而比是沒有單位的；(2)區(qū)分“比”與“比值”，“比值”是“比”的結(jié)果。
例、如圖，畫線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，在這條垂直平分線上截取OC=OA，以A為圓心，AC為半徑畫弧于AB與點(diǎn)P，則線段AP與AB的比是_________。
在上面兩幅比例尺不同的江蘇省地圖中，設(shè)連接南京與徐州的線段長分別為a、b，連接南京與連云港的線段長分別為c、d，問：(1)比例尺1:8000000與比例尺1:16000000的含義是什么？(2)a:b與c:d的比值是否相等？
比例尺也是兩條線段的比的一種
(1)比例尺1:8000000與比例尺1:16000000的含義是什么？
(2)a:b與c:d的比值是否相等？
1、在四條線段中，如果兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。
符號語言：在四條線段a、b、c、d中，如果a:b=c:d，那么a、b、c、d這四條線段叫做成比例線段。
注意：成比例線段是有順序的，若a、b、c、d這四條線段成比例，則a:b=c:d。
2、兩個(gè)比相等的式子叫做比例，eg： a:b=c:d。
(2)其中，a和d又叫做比例外項(xiàng)，b和c又叫做比例內(nèi)項(xiàng)；
(1)比例的四個(gè)項(xiàng)a、b、c、d分別叫做第一、二、三、四比例項(xiàng)；
(3)在比例式a:b=b:c中，b叫做a和c的比例中項(xiàng)?。
探究1：下圖中，哪兩個(gè)矩形的長和寬是成比例線段？
(1) (2) (3)
【分析】∵(1)長:寬=9:6=3:2；(2)長:寬=8:4=2:1；(3)長:寬=6:4=3:2；∴第1個(gè)矩形和第3個(gè)矩形的長和寬是成比例線段。
探究2：如下圖，線段A1B1、B1C1、A2B2、B2C2的端點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上，問：這四條線段是成比例線段嗎？
例1、(1)在比例尺是1:10000的地圖上，圖距25mm，則實(shí)距是________m；如果實(shí)距為500m，其圖距為________cm。
250 5
例1、(2)在比例尺為1:10000的地圖上，一塊面積為2cm2的區(qū)域表示的實(shí)際面積是___________m2。
例2、下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（　?。〢．4cm,5cm,6cm,7cm B．3cm,4cm,5cm,8cmC．5cm,15cm,3cm,9cm D．8cm,4cm,1cm,3cm
【分析】A．4:5≠6:7（或4×7≠5×6），∴四條線段不成比例；B．3:4≠5:8（或3×8≠4×5），∴四條線段不成比例；C．排序：3cm,5cm,9cm,15cm，3:5=9:15（或3×15=5×9），∴四條線段成比例；D．排序：1cm,3cm,4cm,8cm，1:3≠4:8（或1×8≠3×4），∴四條線段不成比例。
【總結(jié)】已知四條線段的長，判斷這四條線段能否成比例的一般步驟：(1)統(tǒng)一單位——統(tǒng)一四條線段的單位；(2)排序——將線段的長按照從小到大的順序排列；(3)計(jì)算——分別計(jì)算排序后，前兩條線段的比、后兩條線段的比（或分別計(jì)算排序后，首末兩條線段的積、中間兩條線段的積）；(4)看——看比是否相等（或看積是否相等）。
例3、(1)線段a=2cm，b=3cm，c=lcm，那么a、b、c的第四比例項(xiàng)d=________；(2)線段a=6cm，b=2cm，則a、b、a+b的第四比例項(xiàng)是________cm。
例4、(1)若a=4cm，b=9cm，則線段a,b的比例中項(xiàng)是________cm。
【分析】設(shè)比例中項(xiàng)為c，∵ab=c2，∴(4cm)×(9cm)=c2，∵c>0，∴c=6cm。
例4、(2)已知三個(gè)數(shù)3、6、x，要使其中一個(gè)數(shù)是其他兩數(shù)的比例中項(xiàng)，則x的取值是___________________。
小學(xué)里，我們已經(jīng)學(xué)過了比例的基本性質(zhì)：
進(jìn)一步推廣：(1)特別地，如果a:b=c:d，那么________；(2)如果ad=bc(a、b、c、d均不為0)，那么____，____，____，____。
(1)如果a:b=c:d，那么ad=bc；(2)反過來，如果ad=bc(b≠0,d≠0)，那么a:b=c:d。
“設(shè)k法”是解決比例題的一種常用方法
例1、若a:b=3:4，b:c=1:2，則a:c=________。
【分析】∵a:b=3:4，b:c=1:2=4:8，∴a:b:c=3:4:8，∴a:c=3:8。
把b轉(zhuǎn)化成同一個(gè)數(shù)，進(jìn)行連比
例4、已知a:b:c=9:11:14，且a+b+c=68，則3a-2b+c=________。
【分析】∵a:b:c=9:11:14，且a+b+c=68，∴設(shè)a=9k，b=11k，c=14k，∴9k+11k+14k=68，解得：k=2，∴a=18，b=22，c=28，∴3a-2b+c=38。
可以直接用設(shè)“k”法推導(dǎo)出的等比定理
兩條線段長度的比，叫做兩條線段的比，若兩條線段的比為a:b，那么a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。注意：(1)兩條線段的比具有順序性，要明確前項(xiàng)與后項(xiàng)；(2)求兩條線段的比，要先統(tǒng)一線段的單位，而比是沒有單位的；(3)區(qū)分“比”與“比值”，“比值”是“比”的結(jié)果。
在四條線段中，如果兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。符號語言：在四條線段a、b、c、d中，如果a:b=c:d，那么a、b、c、d這四條線段叫做成比例線段。注意：成比例線段是有順序的，若a、b、c、d這四條線段成比例，則a:b=c:d。
兩個(gè)比相等的式子叫做比例，eg： a:b=c:d。(1)比例的四個(gè)項(xiàng)a、b、c、d分別叫做第一、二、三、四比例項(xiàng)；(2)其中，a和d又叫做比例外項(xiàng)，b和c又叫做比例內(nèi)項(xiàng)；(3)在比例式a:b=b:c中，b叫做a和c的比例中項(xiàng)?。

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初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）九年級下冊電子課本 舊教材

6.1 圖上距離與實(shí)際距離

版本： 蘇科版（2024）

年級： 九年級下冊

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