考察題型一 黃金分割的概念辨析
1．神奇的自然界處處隱含著數(shù)學美！生物學家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺線狀排列，螺線的發(fā)散角是．我們知道圓盤一周為，，．這體現(xiàn)了
A．軸對稱B．旋轉C．平移D．黃金分割
【詳解】解：0.618是黃金分割數(shù)，
體現(xiàn)了黃金分割．
故本題選：．
2．已知點把線段分成兩條線段，，下列說法錯誤的是
A．如果，那么線段被點黃金分割
B．如果，那么線段被點黃金分割
C．如果線段被點黃金分割，那么與的比叫做黃金比
D．0.618是黃金比的近似值
【詳解】解：根據黃金分割的定義可知：、、正確；
、如果線段被點黃金分割，那么與的比叫做黃金比，故錯誤．
故本題選：．
3．人類既能欣賞美，更能創(chuàng)造美，即使是五角星，也蘊含著“黃金分割”．如圖，為的黃金分割點，則下列結論中正確的是
A．B．C．D．
【詳解】解：為的黃金分割點，
．
故本題選：．
考察題型二 與黃金分割有關的計算
1．兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長25米，主持人從舞臺一側進入，設他至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則滿足的方程是
A．B．C．D．
【詳解】解：由題意可得：，
．
故本題選：．
2．（1）如圖，這是一個鸚鵡螺外殼．經研究發(fā)現(xiàn)，點是線段的黃金分割點．若線段長為，則長的近似值約為 （精確到0.01）．
（2）點在線段上，且，若，那么線段的值是
A．B．C．D．
【詳解】解：（1）點是線段的黃金分割點，
．
故本題答案為：1.24．
（2）點在線段上，且，
點是線段的黃金分割點，
，
，
．
故本題選：．
3．在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即腳底到肚臍的長度與身高的比值越接近0.618越給人以美感．小明的媽媽腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為，她應該穿多高的高跟鞋看起來會更美？
A．B．C．D．
【詳解】解：設她應該穿高的高跟鞋看起來會更美，
小明的媽媽腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為，
小明的媽媽腳底到肚臍的長度為，
由題意可得：，解得：，
經檢驗：是原方程的根，
她應該穿高的高跟鞋看起來會更美．
故本題選：．
4．（1）大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是
A．B．C．D．
（2）已知線段的長度為2，點是線段的黃金分割點，則的長度為
A．B．C．或D．或
（3）點，點是線段的黃金分割點，若，則長度是
A．1B．C．D．
【詳解】解：（1）為的黃金分割點，，
，
．
故本題選：．
（2）線段，點是線段的黃金分割點，
當時，；
當時，，
；
綜上，的長度為或．
故本題選：．
（3）如圖，
點，點是線段的黃金分割點，，
，
，
．
故本題選：．
5．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點．如圖（2），點、、分別是線段、、的黃金分割點，，，，若，則的長是
A．B．C．D．
【詳解】解：如圖（1），
點是線段的黃金分割點，
令，則，
如圖（2），
同理：，
．
故本題選：．
6．（1）已知是線段的黃金分割點，且，那么的值為
A．B．C．D．
（2）如圖，點是線段的黃金分割點，且，下列選項錯誤的是
A．B．C．D．
【詳解】解：是線段的黃金分割點，且，
，
，
．
故本題選：．
（2）點是線段的黃金分割點，且，
，
，，，
故選項、、不合題意，選項符合題意．
故本題選：．
7．（1）如圖，已知點是線段的黃金分割點，且．若表示以為邊的正方形的面積，表示長為、寬為的矩形的面積，則與的大小關系為 ．
（2）如圖，在四邊形中，，為邊的黃金分割點，，，、將四邊形分為四個部分，它們的面積分別用、、、表示，則下列判斷正確的是
A．B．C．D．
【詳解】解：（1）是線段的黃金分割點，且，
，
表示以為邊的正方形面積，表示長為、寬為的矩形面積，
，，
．
故本題答案為：．
（2）設，
是的黃金分割點，，
，，
，，
，即，
．
故本題選：．
考察題型三 黃金三角形與黃金矩形
1．我們把頂角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為．如圖，在中，，，平分交于點，若，則的長為
A．B．C．D．
【詳解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
是“黃金三角形”，
，
，
．
故本題選：．
2．頂角為的等腰三角形我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為黃金比．如圖，在中，，，平分交于點，若，則的長為 ．
【詳解】解：，，
，
平分，
，
，，
，，
，
是“黃金三角形”，
，
，
，
，
．
故本題答案為：．
3．兩個底角為，頂角為的等腰三角形，叫做“黃金三角形”，這種三角形既美觀又標準．如圖，在中，，，，為的角平分線，則圖中“黃金三角形”的個數(shù)是
A．1B．4C．5D．6
【詳解】解：在等腰中，，，
，
，分別是的角平分線，
，，
，
，，
，
，，
圖中“黃金三角形”有：，，，，，共5個．
故本題選：．
4．黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點，以為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點，這樣就把正方形延伸為矩形，稱其為黃金矩形．若，則
A．B．C．D．
【詳解】解：設，
四邊形是正方形，
，
矩形是黃金矩形，
，
，解得：，
經檢驗：是原方程的根，
．
故本題選：．
5．寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，我們可以折疊出一個黃金矩形．第一步，在一張矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，折痕是；第三步，折出內側矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處，折痕為；第四步，如圖4，展平紙片，按照所得的點折出，使．則下列是黃金矩形的是
A．矩形B．矩形C．矩形D．矩形
【詳解】解：由題意可得：四邊形為正方形、四邊形、、、為長方形，且，，
令正方形為2，則，
、分別為、的中點，
，
，
，
，
矩形為黃金矩形．
故本題選：．
6．如果是我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如圖）
第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；
第二步：再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕和線段．
（1）求的度數(shù)：
（2）在第（1）題圖中，延長交于，過點作于點，得出一個以為寬的黃金矩形（黃金矩形就是符合黃金比例的矩形，即寬與長的比值為），若已知，求的長．
【詳解】解：（1）如圖，連接，
由折疊可得：，，垂直平分，
，
，
為等邊三角形，
，
．
四邊形為矩形，
，
；
（2）如圖，
是矩形紙片，，
，
黃金矩形以為寬，，
，
，
，
，
由勾股定理可得：，
．
1．一個籃球從一定高度自由下落到水平地面上，彈起后會到達一個低于初始高度的最高點位置，又落回地面，接著繼續(xù)彈起，整個過程中籃球的軌跡都在同一直線上，且籃球每次彈起達到最高點時，其具有的重力勢能都大于該籃球前一次彈起達到最高點時的一半．小英將該籃球從距離水平地面10米處的點處扔下，使之自由下落，落到水平地面上的點處后彈起，第一次彈起后到達最高點時，籃球位于點處，第二次位于點處，且，分別為，的黃金分割點，以此類推．同時，小英發(fā)現(xiàn)對于實數(shù)，，若，當越大，越接近0，則整個運動過程中，籃球的總路程最接近
A．B．C．D．
【詳解】解：籃球的總路程為：
．
故本題選：．
2．如果一個等腰三角形的頂角為，那么其底邊與腰之比等于，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在中，，，看作第一個黃金三角形；作的平分線，交于點，看作第二個黃金三角形；作的平分線，交于點，看作第三個黃金三角形；以此類推，第2023個黃金三角形的腰長是
A．B．C．D．
【詳解】解：，，是第一個黃金三角形，
底邊與腰之比等于，即，
，
同理：是第二個黃金三角形，是第三個黃金三角形，
則，
即第一個黃金三角形的腰長為，
第二個黃金三角形的腰長為第一個黃金三角形的腰長為，
第三個黃金三角形的腰長為，
，
第2023個黃金三角形的腰長是，即．
故本題選：．
3．如果1條線段將一個三角形分成2個等腰三角形，那么這1條線段稱為這個三角形的“分割線”；如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么這2條線段稱為這個三角形的“黃金分割線”．
（1）填空：等邊三角形 （填“存在”或“不存在” ） “分割線”；頂角為鈍角的等腰三角形 （填“存在”或“不存在” ） “黃金分割線”．
（2）在中，，為鈍角，若這個三角形存在“分割線”，直接寫出的所有可能 ．
【詳解】解：（1）等邊三角形不存在“分割線”；
頂角為鈍角的等腰三角形存在“黃金分割線”，如圖所示：
故本題答案為：不存在，存在；
（2）①如圖，，，
則，
，
；
②如圖，，，
，，
，
；
③如圖，，，
，，
，
，
；
綜上，所有可能的角度為：或或．
故本題答案為：或或．

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6.2 黃金分割

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