注意事項：
1．本試卷考試時間為 120 分鐘，試卷滿分 150 分，考試形式閉卷．
2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．
3．答題前，務必將自己的姓名、準考證號用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡
上．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項
中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合 A＝{x| x2－2x－8＜0}，B＝{x| x≤4 }，則“x∈A”是“x∈B”
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．甲、乙、丙、丁去聽同時舉行的3個講座，每人可自由選擇聽其中一個講座，則恰好
只有甲、乙兩人聽同一個講座的種數(shù)為
A．6 B．12 C． 18 D． 24
4．已知等比數(shù)列{an}滿足 a4a5a6＝64，則 a2a4＋a6a8 的最小值為
A．48 B．32 C．24 D．8
?－1 ?
3＋ax2－a－4(x≥0)
3x
5．已知函數(shù) f(x)＝ 在 R 上單調，則實數(shù) a 的取值范圍為
?
??
ax－sinx(x＜0)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．[－4，－1) D．[－4，－1]
x2 y2
6．已知圓(x－2)2＋y2＝1 與雙曲線
a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線交于 A，B 兩點，且
|AB|＝1，則該雙曲線的離心率為
2 13 4 13
A．2 B． 13 C． 13 D．
13
7．已知函數(shù) f(x)＝(x－4)3 csωx(ω＞0)，存在常數(shù) a∈R，使 f(x＋a)為偶函數(shù)，則 ω 的最小
值為
8．已知 2024m＝2025，2023m＝x＋2024 ，2025m＝y(tǒng)＋2026，則
1
}2．若復數(shù) z 滿足－z ＝2－i
3＋i
，則|z|＝
5
A．
10 B．
10
2 C．
2 1
2 D．
2
π π π
A．12 B．
8 C．4 D．
π
2
二.多項選擇題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分.在每小題給出的選項中，
有多項符合題目要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0
分.
9．下列說法中正確的是
A．若隨機變量 X~B(10，p)，且 E(X)＝3，則 D(X)＝2.1
B．某射擊運動員在一次訓練中 10 次射擊成績（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，
7，9，5，這組數(shù)據(jù)的 75 百分位數(shù)為 7
1
C．若隨機變量 ξ～N(μ，σ2)，且 P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)＝p，則 P(1≤ξ≤3)＝
－p
2
D．若變量 y 關于變量 x 的線性回歸方程為^y＝x＋t，且－x ＝4，－y ＝2t，則 t＝4
3
10．已知棱長為 4 的正方體 ABCD－A1B1C1D1，球 O 是該正方體的內切球，E，F(xiàn)，P 分別
是棱 AA1，BC，C1D1 的中點，M 是正方形 BCC1B1 的中心，則
π
A．球 O 與該正方體的表面積之比為
6
B．直線 EF 與 OM 所成的角的正切值為 2
C．直線 EP 被球 O 截得的線段的長度為 2 2
D．球 O 的球面與平面 APM 的交線長為 4π
11．已知函數(shù) f(x)＝x3＋mx＋1，則
A．當 m＝－1 時，過點(2，2)可作 3 條直線與函數(shù) f(x)的圖象相切
B．對任意實數(shù) m，函數(shù) f(x)的圖象都關于(0，1)對稱
3
C．若 f(x)存在極值點 x0，當 f(x1)＝f(x0)且 x1≠x0，則 x1＋2x0＝0
D．若有唯一正方形使其 4 個頂點都在函數(shù) f(x)的圖象上，則 m＝－2 2
三?填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分.
12．已知向量 a，b 滿足 a＋b＝(2，1)，a－b＝(－2，4)，則|a|－|b|＝_______．
13．某個軟件公司對軟件進行升級， 將序列 A＝(a1，a2，a3，···)升級為新序列 A*＝(a2－
a1，a3－a2，a4－a3，···)， A*中的第 n 項為 an+1－an， 若(A*)*的所有項都是 3，且 a4＝11，
a5＝18，則 a1＝_______．
14．已知拋物線 C：y2＝4x 的焦點為 F，過點 D(－1，0)的直線 l 在第一象限與 C 交于 A，B
2
}四?解答題：本題共 5小題，共 77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步
驟.
15．（本題滿分 13 分）
如圖，在四棱錐 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA＝PD，
AB＝2，AD＝8，AC＝CD＝5
(1)求證：平面 PCD⊥平面 PAB；
(2)求直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值．
16．（本題滿分 15 分）
已知△ABC 的角 A，B，C 對的邊分別為 a，b，c，2bcsA＝2c－ 3a
(1)求 B；
→ →
(2)若 csA＝sinC－1，CA＝4CD，BD＝ 37，求△ABC 的面積．
17．（本題滿分 15 分）
某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人，它能夠通過學習和理解人類的語言來進
行對話．聊天機器人的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果
輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為 80%，當出現(xiàn)語法錯誤時，它的回
答被采納的概率為 40%．
(1)在某次測試中輸入了 8 個問題，聊天機器人的回答有 5 個被采納，現(xiàn)從這 8 個問題中抽
取 4 個，以 X 表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學期望；
(2)設輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為 p，若聊天機器人的回答被采納的概率為 70%，求 p
3
}18．（本題滿分 17 分）
已知 f(x)＝ln(x＋1)
(1) 設 h(x)＝x f(x－1)，求 h(x)的極值．
(2) 若 f(x)≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求 a 的取值范圍．
(3) 若存在常數(shù) M，使得對任意 x∈I，f(x)≤M 恒成立，則稱 f(x)在 I 上有上界 M，函數(shù) f(x)
稱為有上界函數(shù)．如 y＝ex 是在 R 上沒有上界的函數(shù)， y＝lnx 是在(0，＋∞)上沒有上界的
1 1 1
函數(shù)；y＝－ex，y＝－x2 都是在 R 上有上界的函數(shù)．若 g(n)＝1＋ *)，則
＋ ＋ ···＋
2 3
n(n∈N
g(n)是否在 N *上有上界? 若有，求出上界；若沒有，給出證明．
19．（本題滿分 17 分）
x2
2
已知橢圓 C： ＝1(a＞b＞0)，C 的上頂點為 B，左右頂點分別為 A1、A2，左焦點為 F1，
＋y
a2 b2
離心率為1
．過 F1 作垂直于 x 軸的直線與 C 交于 D，E 兩點，且| DE |＝3．
2
(1)求 C 的方程；
(2)若 M，N 是 C 上任意兩點
3
①若點 M(1， )，點 N 位于 x 軸下方，直線 MN 交 x 軸于點 G，設△ MA1G 和△ NA2G
2
的面積分別為 S1，S2，若 2S1－2S2＝3，求線段 MN 的長度；
②若直線 MN 與坐標軸不垂直，H 為線段 MN 的中點，直線 OH 與 C 交于 P，Q 兩點，
4
}

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