一、單選題：本題共12小題，每小題2分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若直線l：x+my+1=0的傾斜角為2π3，則實數(shù)m值為( )
A. 3B. ? 3C. 33D. ? 33
2.直線l1：(3a+1)x+2ay?1=0和直線l2：ax?3y+3=0，則“a=53”是“l(fā)1⊥l2”的( )
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3.已知點A(?4,2)，B(?4,?2)，C(?2,2)，則△ABC外接圓的方程是( )
A. x2+(y?3)2=5B. (x+3)2+y2=5
C. x2+(y+3)2=5D. (x?3)2+y2=5
4.已知在四面體O?ABC中，a=OA,b=OB,c=OC,OM=13MA，N為BC的中點，若MN=xa+yb+zc，則x+y+z=( )
A. 3 B. 34
C. 12 D. 13
5.如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，則FG?ED=( )
A. 18 B. 38
C. ?18 D. ?38
6.已知空間中三點A(1,0,0)，B(2,1,?1)，C(0,?1,2)，則點C到直線AB的距離為( )
A. 63B. 62C. 33D. 32
7.設x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)且a⊥b，b/?/c，則|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 10D. 4
8.過直線y=2x?3上的點作圓C：x2+y2?4x+6y+12=0的切線，則切線長的最小值為( )
A. 555B. 19C. 2 5D. 21
9.已知直線mx?y+2m+1=0與圓(x+1)2+(y?2)2=16相交于M，N兩點，則|MN|的最小值為( )
A. 4B. 2 14C. 2 7D. 4 2
10.已知曲線x2+y2?4x?2y+1=0關于直線ax+by?1=0(a>0,b>0)對稱，則1a+2b的最小值為( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 8
11.已知A(?2,0)，B(2,0)，動點P滿足|PA||PB|= 2，則點P的軌跡與圓x2+y2=8相交的弦長等于( )
A. 2 7B. 2 6C. 4 2D. 2 5
12.正四面體ABCD棱長為6，AP=xAB+yAC+zAD，且x+y+z=1，以A為球心且半徑為1的球面上有兩點M，N，MA=AN，則PM2+PN2的最小值為( )
A. 24B. 25C. 48D. 50
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
13.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的是( )
A. 兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a=(2,3,?1)，b=(?2,?3,1)，則l1//l2
B. 直線l的方向向量a=(1,?1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,?1)，則l⊥α
C. 兩個不同的平面α，β的法向量分別是u=(2,2,?1)，v=(?3,4,2)，則α⊥β
D. 直線l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量是u=(0,?5,0)，則l//α
14.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，AB⊥AD，∠A1AD=∠A1AB=60°，P為A1D與AD1的交點，設AB=a,AD=b,AA1=c，則( )
A. AC1=a+b?c
B. BD1=?a+b+c
C. |PC|=34
D. AC1?PC=54
15.已知直線l：x+ 3y+c=0(c≠0)，O為坐標原點，則( )
A. 直線l的傾斜角為120°
B. 過O且與直線l平行的直線方程為x+ 3y=0
C. 過點(2, 3)且與直線l垂直的直線方程為 3x?y? 3=0
D. 若O到直線l的距離為1，則c=2
16.已知圓C：(x?2)2+y2=1，點P是直線l：x?y=0上一動點，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別是A和B，則下列說法正確的有( )
A. 圓C上恰有兩個點到直線l的距離為12
B. 切線長|PA|的最小值為 2
C. 當四邊形PACB面積最小時，直線AB方程為y=x?1
D. 直線AB恒過定點(32,?12)
三、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。
17.過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為______．
18.已知O為坐標原點，點P在圓C：x2+y2?8x?10y+21=0上運動，則線段OP的中點M的軌跡方程為______．
19.已知向量a=(1,1, 2)，b=(?3,2,0)，則a+b在a上的投影向量為______．
20.如果直線3x+4y?10=0被圓x2+y2?2ax+a2?4=0截得的弦長為2 3，那么實數(shù)a= ______．
21.如圖，在四面體OABC中，BM=12BC，MN=12NO，AP=34AN，用向量OA,OB,OC表示OP，則OP= ______.若OQ=λOB，且PQ/?/平面ABC，則實數(shù)λ= ______．
22.曲線 1?y2=|x|?1與直線y=x+b有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是______．
四、解答題：本題共4小題，共46分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
23.(本小題8分)
在平面直角坐標系xy中，已知△ABC的頂點坐標為A(2,4)，B(1,?2)，C(?2,3)．
(1)求直線BC的方程；
(2)求邊BC上高AD所在的直線方程．
24.(本小題10分)
求滿足下列條件的曲線方程．
(1)求過點A(3,5)且與圓O：x2+y2?2x?4y+1=0相切的直線方程；
(2)求圓心在直線3x?y=0上，與x軸相切，且被直線x?y=0截得的弦長為2 7的圓的方程．
25.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，PA=4，AB=AD=12BC=2，E為棱BC上的點，且BE=14BC．
(Ⅰ)求證：DE⊥平面PAC；
(Ⅱ)求平面APC與平面PCD夾角的余弦值；
(Ⅲ)求點E到平面PCD的距離．
26.(本小題16分)
如圖：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2 2，∠ACB=90°，M是AA1的中點，N是BC1的中點．
(1)求證：MN//平面A1B1C1；
(2)求直線AB與直線CM所成角的余弦值；
(3)求直線AB與平面MBC夾角的正弦值；
(4)在線段BC1上是否存在點P，使得點P到平面MBC的距離為 33，若存在求此時BPBC1的值，若不存在請說明理由．
參考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.A
6.A
7.B
8.A
9.B
10.D
11.A
12.D
13.AC
14.BD
15.BC
16.AC
17.2x?y=0或x?y+1=0
18.(x?2)2+(y?52)2=5
19.(34,34,3 24)
20.5或53
21.14OA+14OB+14OC， 34
22.(?1? 2,?2]∪{0}∪[2,1+ 2)
23.解：(1)因為B(1,?2)，C(?2,3)．
所以直線BC的方程：y+23+2=x?1?2?1
整理得5x+3y+1=0；
(2)因為邊BC上高為AD，所以AD的斜率為35，
又A(2,4)，所以AD的方程為y?4=35(x?2)，
整理得所求方程：3x?5y+14=0．
24.解：(1)設方程為y?5=k(x+3)，圓(x?1)2+(y?2)2=4，圓心坐標是(1,2)，半徑r=2，
由直線與圓相切可得，|k?2+3k+5| 1+k2=2，
∴k=512，
當直線的斜率不存在時，此時直線的方程為x=3也滿足題意，
綜上可得，所求的切線方程為x=3和5x?12y+45=0．
(2)由已知設圓心為(a,3a)，與x軸相切則r=|3a|．
圓心到直線的距離d=|2a| 2，弦長為2 7，得：7+4a22=9a2，解得a=±1．
圓心為(1,3)或(?1,?3)，r=3，
所求圓的方程為(x?1)2+(y?3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9．
25.解：(Ⅰ)證明：以A為坐標原點，AB所成直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，

由已知得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，E(2,1,0)，
∴DE=(2,?1,0)，AC=(2,4,0)，AP=(0,0,4)，
∵DE?AC=0，DE?AP=0，∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∵AP∩AC=A，∴DE⊥平面PAC．
(Ⅱ)設平面PAC的法向量m，由(Ⅰ)知m=DE=(2,?1,0)，
設平面PCD的法向量n=(x,y,z)，
∵PD=(0,2,?4)，PC=(2,4,?4)，
∴n?PD=2y?4z=0n?PC=2x+4y?4z=0，設z=1，得n=(?2,2,1)，
cs=2×(?2)+(?1)×2+0 22+(?1)2+(?2)2? (?2)2+22+12=2 55，
∴二面角A?PC?D夾角的余弦值為2 55．
(Ⅲ)EC=(0，3，0)，平面PCD的法向量得n=(?2,2,1)，
∴點E到平面PCD的距離d=|EC?n||n|=63=2．
26.解：(1)證明：取B1C1中點D，連接DN、DA1，
∵D、N分別為C1B1、C1B，∴DN//B1B，且DN=12B1B，
∵B1B與A1A平行且相等，M為A1A中點，∴DN與A1M平行且相等，
∴四邊形DNMA1為平行四邊形，
∴MN/?/A1D，
∵A1D?平面A1B1C1，MN?平面A1B1C1，
∴MN/?/平面A1B1C1；

(2)∵直三棱柱ABC?A1B1C1，∴CC1⊥平面ABC又CB、CA?平面ABC，
∴CC1⊥CB、CC1⊥CA，
∵∠ACB=90°，即CB⊥CA，
∴CC1、CB、CA兩兩垂直，分別以CA，CB，CC1為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，A1(0,2,2 2)，C1(0,0,2 2)，
∴M(0,2, 2)，N(1,0,2 2)，
∴AB=(2,?2,0)，CM=(0,2, 2)，
∴|AB|=2 2，|CM|= 6，AB?CM=?4，
設直線AB與直線CM所成角為θ，所以csθ=|cs|=|AB?CM||AB||CM|= 33；
(3)設平面MBC的法向量為n=(x,y,z)，
結合(2)知：CB=(2,0,0)，CM=(0,2, 2)，
則n?CB=2x=0n?CM=2y+ 2z=0，令y=1，得n=(0,1,? 2)，
∴|n|= 3，AB?n=?2，
設直線AB與平面MBC夾角為α，
則sinα=|cs|=|AB?n||AB||n|= 66；
(4)設BP=λBC1，λ∈[0,1]，
∵BC1=(?2,0,2 2)，
∴P(2?2λ,0,2 2λ)，
∴CP=(2?2λ,0,2 2λ)，
由(3)知平面MBC的法向量為n=(0,1,? 2)，
∴P點到平面MBC的距離為d=|CP?n||n|=|4λ| 3= 33，
解得λ=±14，又λ∈[0,1]，
∴λ=14．

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