一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知向量a=(1,1,2)，b=(x,1,2x?3)，若a⊥b，則x=( )
A. ?2B. ?1C. 0D. 1
2.直線x+ 3y?2=0的傾斜角為( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π6
3.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，空間向量OA=(1,1,2)，OB=(?1,3,4)，OC=(2,4,4)，若線段AB的中點(diǎn)為D，則|CD|=( )
A. 9B. 8C. 3D. 2 2
4.直線l1：(3a+1)x+2ay?1=0和直線l2：ax?3y+3=0，則“a=53”是“l(fā)1⊥l2”的( )
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P?ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zAP，則x+y+z=( )
A. 1B. 2C. 13D. 53
6.O為空間任意一點(diǎn)，若AP=?14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四點(diǎn)共面，則t=( )
A. 1B. 12C. 18D. 14
7.已知點(diǎn)M(?3,1)，N(3,2)，P(1,?1)，設(shè)過點(diǎn)P的直線為l，取線段MN上一點(diǎn)Q.若Q?l.則直線l斜率的取值范圍是( )
A. (?∞,32]B. (?12,32)
C. [?12,+∞)D. (?∞,?12]∪[32,+∞)
8.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EF是正方體ABCD?A1B1C1D1外接球的直徑，點(diǎn)P是正方體ABCD?A1B1C1D1表面上的一點(diǎn)，則PE?PF的取值范圍是( )
A. [?2,0]B. [?1,0]C. [0,1]D. [0,2]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說法中，正確的是( )
A. 直線 3x?y+1=0的一個(gè)方向向量為( 3,1)
B. A(1,3)，B(2,5)，C(?2,?3)三點(diǎn)共線
C. 直線2(m+1)x+(m?3)y+7?5m=0必過定點(diǎn)(1,3)
D. 經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為y?1=tanθ(x?1)
10.如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是( )
A. SA+SB+SC+SD=0
B. SA+SB?SC?SD=0
C. SA?SB+SC?SD=0
D. SA?SB=SC?SD
11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB1，DD1交于M，N.設(shè)BM=x，x∈[0,1]，以下正確的是( )
A. 平面MENF⊥平面BDD1B1
B. 當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)，四邊形MENF的面積最小
C. 四邊形MENF的周長L=f(x)，x∈[0,1]是單調(diào)函數(shù)
D. 四棱錐C1?MENF的體積V保持不變
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.點(diǎn)(1,2,3)關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為______．
13.若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為______．
14.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為______，點(diǎn)S與P距離的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4)，B(?2,6)，C(?8,0)．
(1)求邊AC和AB所在直線的方程；
(2)求AC邊上的中線BD所在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
16.(本小題12分)
如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)D為棱BC上一點(diǎn)，且CD=2BD，點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)．
(1)以{AB、AC、AP}為一組基底表示向量PM；
(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60°，求PM?AC．
17.(本小題12分)
如圖，在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1E=2EB1，點(diǎn)F是棱A1D1上的一點(diǎn)，且A1F=2FD1．
(1)求異面直線AD1與CF所成角的余弦值；
(2)求直線BD到平面CEF的距離．
18.(本小題12分)
如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD是邊長為 2的正方形，且D1O⊥底面ABCD．
(1)證明：AC⊥CC1；
(2)若二面角D1?AB?D的正切值為 2，求直線A1C與平面ABCD所成角的余弦值．
19.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFPC=13，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．
(1)求證：CD⊥平面PAD；
(2)若PGPB=23.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
(3)設(shè)CG與平面AEF所成角為θ，求sinθ的范圍．
參考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.A
6.C
7.B
8.A
9.BC
10.CD
11.ABD
12.(?1,2,3)
13.3
14. 72 574
15.解：(1)由截距式可得：邊AC所在直線的方程為x?8+y4=1，
即x?2y+8=0．
由兩點(diǎn)式可得：邊AB所在直線的方程為y?46?4=x?0?2?0，
即x+y?4=0．
(2)由題意，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?4,2)，
由兩點(diǎn)式，得邊BD所在直線的方程為y?26?2=x?(?4)?2?(?4)，
即2x?y+10=0，
所以x?5+y10=1．
所以直線BD與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=12×5×10=25．
16.解：(1)∵M(jìn)為線段AD的中點(diǎn)，∴AM=12AD，
∵CD=2BD，∴BD=13BC，
∴PM=PA+AM=PA+12AD=PA+12(AB +BD)
=PA+12(AB+13BC)=PA+12[AB+13(BA+AC)]
=PA+12(AB?13AB+13AC)=?AP+13AB+16AC；
(2)PM?AC=(?AP+13AB+16AC)?AC
=?AP?AC+13AB?AC+16AC2
=?|AP||AC|?cs∠PAC+13|AB||AC|cs∠BAC+16|AC|2
=?4×3×12+13×3×3×12+16×32
=?6+32+32=?3．
17.解：(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，F(xiàn)(1,0,3)，E(3,2,3)，
AD1=(?3,0,3)，CF=(1,?3,3)，
則cs=AD1?CF|AD1||CF|=?3+93 2× 19= 3819，
∴異面直線AD1與CF所成角的余弦值為 3819；
(2)連接B1D1，則BD//B1D1//EF，可得BD/?/平面CEF，
直線BD到平面CEF的距離等于D到平面CEF的距離，又CE=(3,?1,3)，
設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，
由n?CE=3x?y+3z=0n?CF=x?3y+3z=0，取z=1，可得n=(?34,34,1)，
又CD=(0,?3,0)，
∴直線BD到平面CEF的距離為|n?CD||n|=94 172 2=9 3434．
18.解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AC⊥BD，
因?yàn)镈1O⊥底面ABCD，AC?面ABCD，所以D1O⊥AC，
因?yàn)锳C⊥BD，D1O⊥AC，BD，D1O?面BDD1B1，BD∩D1O=O，
所以AC⊥面BDD1B1，
又因?yàn)镈D1?面BDD1B1，所以AC⊥DD1，
又平行六面體ABCD?A1B1C1D1，所以DD1/?/CC1，
所以AC⊥CC1；
(2)取AB中點(diǎn)H，連接D1H，OH，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)H⊥AB，
因?yàn)镈1O⊥底面ABCD，AB?面ABCD，所以D1O⊥AB，
因?yàn)锳B⊥OH，D1O⊥AB，OH，D1O?面D1OH，OH∩D1O=O，
所以AB⊥面D1OH，
又D1H?面D1OH，所以AB⊥D1H，
所以∠D1HO是二面角D1?AB?D的平面角，
又二面角D1?AB?D的正切值為 2，所以D1O=1，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D1(0,0,1)，D(0,?1,0)，A(1,0,0)，C(?1,0,0)，
所以A1C=A1A+AC=D1D+AC=(0,?1,?1)+(?2,0,0)=(?2,?1,?1)，
因?yàn)镈1O⊥底面ABCD，所以底面ABCD的一個(gè)法向量為OD1=(0,0,1)，
設(shè)直線A1C與平面ABCD所成角為θ,θ∈(0,π2),sinθ=|cs|= 66，
所以csθ= 1?sin2θ= 306，
所以直線A1C與平面ABCD所成角的余弦值為 306．
19.解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因?yàn)锳D⊥CD，PA、AD是平面PAD內(nèi)相交直線，故CD⊥平面PAD，
(2)以A為原點(diǎn)，DC、AD、AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，B(2,?1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(xiàn)(23,23,43)，G(43,?23,23)，
所以AE=(0,1,1)，AF=(23,23,43)，AG=(43,?23,23)，
設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，
則AE?n=y+z=0AF?n=23x+23y+43z=0，令y=1，得x=1，z=?1，故n=(1,1,?1)
因?yàn)锳G?n=43?23?23=0，且AE、AF、AG有公共點(diǎn)A，故直線AG在平面AEF內(nèi)；
(3)由(2)可知BP=(?2,1,2)，
設(shè)BG=kBP=(?2k,k,2k)(0≤k≤1)，
則CG=CB+BG=(?2k,k?3,2k)(0≤k≤1)，
故sinθ=|cs?CG,n?|=|CG?n||CG||n|=|?2k+k?3?2k| 4k2+(k?3)2+4k2? 3
=|3k+3| 9k2?6k+9? 3=|k+1| 3k2?2k+3= (k+1)23k2?2k+3，
令t=k+1∈[1,2]，
則sinθ= t23(t?1)2?2(t?1)+3= t23t2?8t+8= 18t2?8t+3= 18(1t?12)2+1，
而1t?12∈[0,12]，8(1t?12)2+1∈[1,3]，故sinθ∈[ 33,1]．

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