一、單選題：本大題共8小題，共40分。
1.下列敘述中正確的是( )
A. 已知向量a，b，且a//b，則a與b的方向相同或相反
B. 若|a|=|b|，則a=b
C. 若a//b，b//c，則a//c
D. 對任一非零向量a，aa是一個單位向量
2.已知向量a=?1,1,b=2,x，若a//b，則a?b=( )
A. 3 2B. 3C. 2 2D. 2
3.在?ABC中，已知a=8,B=30°,C=105°，則b等于( )
A. 323B. 4 3C. 4 6D. 4 2
4.已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是( )
A. a+2bB. 2a+bC. a?2bD. 2a?b
5.如圖，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3CE，則DE=( )
A. 34b?13aB. 512b?34aC. 34a?13bD. 512a?34b
6.若e1，e2是夾角為60 °的兩個單位向量，且a=2e1+e2與b=?3e1+2e2的夾角為( )
A. 60 °B. 120 °C. 30 °D. 150 °
7.如圖，正方形ABCD的邊長為2,M,N分別為AB,BC邊上的動點(diǎn)，若E為MN的中點(diǎn)，且滿足BE=1，則DM?DN的最小值為( )
A. 8?4 2B. 4C. 16?8 2D. 8
8.在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a?b=ccsB?csA，則?ABC的形狀為( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
二、多選題：本大題共3小題，共18分。
9.已知向量a=2,1，b=?2,1，則( )
A. a=b
B. 與向量a共線的單位向量是2 55, 55
C. a+b⊥a?b
D. 向量a在向量b上的投影向量是35b
10.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列對三角形解的個數(shù)的判斷正確的是( )
A. a=7，b=14，A=30°，有兩解
B. a=30，b=25，A=150°，有一解
C. a= 3，b= 6，A=60°，無解
D. a=6，b=9，A=45°，有兩解
11.下列命題中，正確的是( )
A. 在?ABC中，若A>B，則sinA>sinB
B. 在銳角?ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在?ABC中，若acsA=bcsB，則?ABC必是等腰直角三角形
D. 在?ABC中，若B=60 °，b2=ac，則?ABC必是等邊三角形
三、填空題：本大題共3小題，共15分。
12.已知空間向量a和b的夾角為π3，|a|=2，|b|=3，則a?2b= ．
13.已知向量a，b的夾角為π3，且|a|=4,|b|=2，則向量a+2b在向量a上的投影向量為 ．(用a表示)
14.已知在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c， 2(a2+b2?c2)=absinC，c=2，則?ABC的面積的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.已知向量a=?3,1，b=1,?2，n=a?kbk∈R．
(1)若n與向量2a?b垂直，求實數(shù)k的值；
(2)若向量c=1,?1，且n與向量kb+c平行，求實數(shù)k的值．
16.已知向量a與b的夾角為θ=3π4，且a=3,b=2 2．
(1)求a?b,a+b；
(2)求a與a+b的夾角的余弦值；
(3)若ka+2b與3a+4b夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．
17.已知a,b,c分別為?ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且acsC+ 3asinC?b?c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，且?ABC的面積為 3，求b+c的值．
18.滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得閣頂端點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°.且AB=BC=75米，則滕王閣高度OP= 米.
19.在?ABC中，CA=a，CB=b，若D是AB的中點(diǎn)AD=12AB，則CD=12a+12b；若D是AB的一個三等分點(diǎn)AD=13AB，則CD=23a+13b；若D是AB的一個四等分點(diǎn)AD=14AB，則CD=34a+14b
(1)如圖①，若AD=λAB，用a，b表示CD，你能得出什么結(jié)論？并加以證明．
(2)如圖②，若CM=12MB，CN=NA，AM與BN交于O，過O點(diǎn)的直線l與CA，CB分別交于點(diǎn)P，Q．
①利用(1)的結(jié)論，用a，b表示CO；
②設(shè)CP=xCA，CQ=yCB(x>0,y>0)，求x+y的最小值．
參考答案
1.D
2.A
3.D
4.D
5.B
6.B
7.A
8.D
9.AC
10.BC
11.ABD
12.2 7
13.32a 或1.5a
14. 2
15.解：(1)∵向量a=?3,1，b=1,?2，n=a?kbk∈R．
∴n=a?kb=?3?k,1+2k，2a?b=?7,4，
∵n與向量2a?b垂直，
∴n?2a?b=?3?k×?7+1+2k×4=0，
解得k=?53．
(2)∵向量c=1,?1，∴kb+c=k+1,?2k?1，
∵n與向量kb+c平行，
∴?3?k??2k?1=1+2k?k+1，
解得k=?12．
16.解：(1)由題目條件知a?b=abcs3π4=3?2 2?? 22=?6，a+b= a+b?a+b= a2+b2+2a?b= 9+8?12= 5．
(2)csa,a+b=a?a+baa+b=a2+a?baa+b=9?63? 5= 55．
(3)由于ka+2b?3a+4b=3ka2+8b2+4k+6a?b=27k+64?64k+6=3k+28，
ka+2b= ka+2b2= k2a2+4ka?b+4b2= 9k2?24k+32，
3a+4b= 3a+4b2= 9a2+24a?b+16b2= 81?144+128= 65，
而ka+2b與3a+4b夾角為鈍角，這等價于ka+2b?3a+4b

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