1．（5分）已知直線l的傾斜角為120°，則直線l的斜率為（ ）
A．B．﹣1C．0D．1
2．（5分）已知圓x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，則圓心坐標(biāo)、半徑的長(zhǎng)分別是（ ）
A．（2，﹣1），3B．（﹣2，1），3C．（﹣2，﹣1），3D．（2，﹣1），9
3．（5分）已知{an}為等差數(shù)列，a5＝4，則a4+a6＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（5分）已知直線l1：x﹣3y+2＝0，l2：3x﹣ay﹣1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．1B．C．D．﹣1
5．（5分）已知圓C1：x2+y2+4x﹣4y+7＝0與圓C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝16的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
6．（5分）四棱錐P﹣ABCD中，設(shè)，，，，則＝（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知a，b是異面直線，A、B∈a，AC⊥b，BD⊥b，CD＝1，則a與b所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2﹣＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PF1F2的面積為（ ）
A．B．3C．D．2
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．（5分）下列命題中，正確的命題有（ ）
A．||+||＝|﹣|是，共線的充要條件
B．若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得＝λ
C．對(duì)空間中任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
D．若{，，}為空間的一個(gè)基底，則{+，+2，+3}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
（多選）10．（5分）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的有（ ）
A．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2+bn+c（a，b，c為常數(shù)）則數(shù)列{an}為等差數(shù)列
B．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n+1﹣2，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍為等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍為等比數(shù)列
（多選）11．（5分）下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．＝2表示過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），且斜率為2的直線
B．a(chǎn)＝（2，1）是直線x﹣2y﹣4＝0的一個(gè)方向向量
C．以A（4，1），B（1，﹣2）為直徑的圓的方程為（x﹣4）（x﹣1）+（y﹣1）（y+2）＝0
D．直線（m+1）x+（2m﹣1）y﹣1﹣4m＝0（m∈R）恒過(guò)點(diǎn)（2，1）
（多選）12．（5分）已知曲線C的方程為＝1（m∈R），則（ ）
A．當(dāng)m＝1時(shí)，曲線C為圓
B．當(dāng)m＞1時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
C．當(dāng)m＝5時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為
D．存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知點(diǎn)M是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oyz內(nèi)的射影，則＝ ．
14．（5分）已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，＝+，則a10等于 ．
15．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（3，y0）在拋物線C上，則|PF|＝ ．
16．（5分）直線l與雙曲線的一條漸近線平行，l過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，則E的離心率為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知直線l：2x﹣y+4＝0與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：x2+y2＝r2（r＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，求弦長(zhǎng)|AB|．
18．（12分）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝5a2＝．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an+2n﹣1}的前n項(xiàng)和Sn．
19．（12分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為A1B的中點(diǎn)，AA1＝．
（1）證明：BC∥平面AC1D；
（2）求直線BC到平面AC1D的距離．
20．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1＝8，且滿足an+1＝5an﹣2?3n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an﹣3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn＝n（an﹣3n），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
21．（12分）平面上兩個(gè)等腰直角△PAC和△ABC，AC既是△PAC的斜邊又是△ABC的直角邊，沿AC邊折疊使得平面PAC⊥平面ABC
（1）求證：AC⊥PM．
（2）求PC與平面PAB所成角的正弦值．
（3）在線段PB上是否存在點(diǎn)N，使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．
22．（12分）已知圓F1：x2+y2+4x＝0，圓F2：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一動(dòng)圓與圓F1和圓F2同時(shí)內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，兩互相垂直的直線l1，l2相交于點(diǎn)F2，l1交曲線C于M，N兩點(diǎn)，l2交圓F1于P，Q兩點(diǎn)，求△PQM與△PQN的面積之和的取值范圍．
2022-2023學(xué)年廣東省廣州市白云中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知直線l的傾斜角為120°，則直線l的斜率為（ ）
A．B．﹣1C．0D．1
【分析】利用斜率的定義式直接計(jì)算即可．
【解答】解：由已知得k＝tan120°＝﹣．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜率的定義和計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知圓x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，則圓心坐標(biāo)、半徑的長(zhǎng)分別是（ ）
A．（2，﹣1），3B．（﹣2，1），3C．（﹣2，﹣1），3D．（2，﹣1），9
【分析】把圓x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑．
【解答】解：把圓x2+y2﹣8x+2y﹣4＝7的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得 （x﹣2）2+（y+4）2＝3，表示以（3、以3為半徑的圓，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的一般方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，是解題的關(guān)鍵．
3．（5分）已知{an}為等差數(shù)列，a5＝4，則a4+a6＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求解．
【解答】解：∵{an}為等差數(shù)列，a5＝4，
∴a8+a6＝2a3＝8．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）已知直線l1：x﹣3y+2＝0，l2：3x﹣ay﹣1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．1B．C．D．﹣1
【分析】由已知結(jié)合直線的一般式方程垂直條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】解：因?yàn)橹本€l1：x﹣3y+7＝0，l2：7x﹣ay﹣1＝0，
若l4⊥l2，則1×4+（﹣3）（﹣a）＝0，
則a＝﹣5．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的一般式方程垂直條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）已知圓C1：x2+y2+4x﹣4y+7＝0與圓C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝16的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【分析】根據(jù)題意，分析兩圓的圓心與半徑，求出圓心距，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C1：x2+y5+4x﹣4y+3＝0，即（x+2）3+（y﹣2）2＝6，其圓心為（﹣2，半徑R＝1，
圓C7：（x﹣2）2+（y﹣8）2＝16，其圓心為（2，半徑r＝2，
兩圓的圓心距|C1C2|＝＝51C5|＝R+r，則兩圓外切，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，注意分析圓的圓心與半徑，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）四棱錐P﹣ABCD中，設(shè)，，，，則＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用空間向量的加法和減法運(yùn)算法則求解即可．
【解答】解：＝＝＝＝＝＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知a，b是異面直線，A、B∈a，AC⊥b，BD⊥b，CD＝1，則a與b所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】由題意可得?＝?＝0，進(jìn)而可得?，代入夾角公式可得cs＜，＞，可得向量的夾角，進(jìn)而可得結(jié)論．
【解答】解：由AC⊥b，BD⊥b可得AC⊥CD，
故可得?＝0，?，
∴?＝（++
＝?+||2+?
＝6+||2+0＝6，
∴cs＜，＞＝＝，
∵與夾角的取值范圍為[7，
故向量，的夾角為60°
∴a與b的夾角為60°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成的角，化為向量的夾角進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．
8．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2﹣＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PF1F2的面積為（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】先判斷△PF1F2為直角三角形，再根據(jù)雙曲線的定義和直角三角形的性質(zhì)即可求出．
【解答】解：由題意可得a＝1，b＝，
∴|F8F2|＝2c＝3，
∵|OP|＝2，
∴|OP|＝|F1F2|，
∴△PF3F2為直角三角形，
∴PF1⊥PF8，
∴|PF1|2+|PF5|2＝4c3＝16，
∵||PF1|﹣|PF2||＝3a＝2，
∴|PF1|3+|PF2|2﹣8|PF1|?|PF2|＝8，
∴|PF1|?|PF2|＝5，
∴△PF1F2的面積為S＝|PF1|?|PF4|＝3，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，雙曲線的定義，三角形的面積，屬于中檔題．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．（5分）下列命題中，正確的命題有（ ）
A．||+||＝|﹣|是，共線的充要條件
B．若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得＝λ
C．對(duì)空間中任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
D．若{，，}為空間的一個(gè)基底，則{+，+2，+3}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
【分析】利用向量的模相等關(guān)系，結(jié)合充要條件判斷A的正誤；利用平面向量的基本定理判斷B；利用共線向量定理判斷C；空間向量的基底，判斷D的正誤即可．
【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)||＝|﹣，，共線成立，同向共線時(shí)，||≠|(zhì)﹣|，
所以||+|﹣|是，，故A不正確．
對(duì)于B，當(dāng)＝時(shí)，∥，不存在唯一的實(shí)數(shù)λ＝λ．
對(duì)于C，由于，
根據(jù)共面向量定理知，P，A，B，C四點(diǎn)共面．
對(duì)于D，若{，，，則，，不共面，
由基底的定義可知，+，+2，不共面，
則{+，+5，}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底．
故選：CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的有（ ）
A．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2+bn+c（a，b，c為常數(shù)）則數(shù)列{an}為等差數(shù)列
B．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n+1﹣2，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍為等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍為等比數(shù)列
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，綜合即可得的答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2+bn+c，
若c＝0，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
若c≠4，則數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，故A不正確；
對(duì)于B，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n+1﹣3，
可得a1＝4﹣8＝2，a2＝S8﹣S1＝8﹣7﹣2＝4，a6＝S3﹣S2＝16﹣4﹣6＝8，
則a7，a2，a3成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}不為等差數(shù)列，故B不正確；
對(duì)于C，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S7n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，即為a6+a2+…+an，an+1+…+a3n，a2n+1+…+a4n，…，
即為S2n﹣Sn﹣Sn＝S3n﹣S4n﹣S2n﹣Sn＝n2d為常數(shù)，仍為等差數(shù)列，
故C正確；
對(duì)于D，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…不一定為等比數(shù)列，
比如公比q＝﹣6，n為偶數(shù)，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S4n，…，均為0．故D不正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式公式，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（5分）下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．＝2表示過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），且斜率為2的直線
B．a(chǎn)＝（2，1）是直線x﹣2y﹣4＝0的一個(gè)方向向量
C．以A（4，1），B（1，﹣2）為直徑的圓的方程為（x﹣4）（x﹣1）+（y﹣1）（y+2）＝0
D．直線（m+1）x+（2m﹣1）y﹣1﹣4m＝0（m∈R）恒過(guò)點(diǎn)（2，1）
【分析】由直線方程的點(diǎn)斜式判斷A；由方向向量的定義可判斷B，點(diǎn)P（2，3），Q（﹣4，1），設(shè)圓上任一點(diǎn)為P（x，y），可以判斷C；對(duì)于A，將直線變形m（x+2y）﹣x﹣y﹣3＝0，即可判斷D．
【解答】解：表示過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）且斜率為5的直線方程不正確，不含點(diǎn)P（x0，y0），選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
直線x﹣4y﹣4＝0的斜率為，則該直線的一個(gè)方向向量，1）；
設(shè)圓上任一點(diǎn)為P（x，y），
代人坐標(biāo)即可得以A（4，1），﹣7）為直徑的圓的方程為（x﹣4）（x﹣1）+（y﹣7）（y+2）＝0；
（m+3）x+（2m﹣1）y﹣3﹣4m＝0（m∈R）即m（x+6y﹣4）+x﹣y﹣1＝3，
令，解得x＝6，恒過(guò)定點(diǎn)（2，故D正確，
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線系過(guò)定點(diǎn)的求法，以及圓的方程的求法，直線的點(diǎn)斜式方程，直線的方向向量，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）12．（5分）已知曲線C的方程為＝1（m∈R），則（ ）
A．當(dāng)m＝1時(shí)，曲線C為圓
B．當(dāng)m＞1時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
C．當(dāng)m＝5時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為
D．存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為
【分析】把m＝1代入曲線方程判斷A；舉例說(shuō)明B錯(cuò)誤；把m＝5代入曲線C的方程判斷C；由曲線C為雙曲線，其離心率為，得到m滿足的條件，求解m值判斷D．
【解答】解：當(dāng)m＝1時(shí)，曲線C的方程為x2+y6＝2，軌跡是圓；
當(dāng)m＞1時(shí)，如m＝6，軌跡是雙曲線；
當(dāng)m＝5時(shí)，曲線C的方程為，，b＝，
其漸近線方程為，故C正確；
若曲線C為雙曲線，且離心率為，
需滿足，即，m值不存在．
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知點(diǎn)M是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oyz內(nèi)的射影，則＝ ．
【分析】先求出M（0，4，5），由此能求出||．
【解答】解：∵點(diǎn)M是點(diǎn)A（3，4，7）在坐標(biāo)平面Oyz內(nèi)的射影，
∴M（0，4，8），
則||＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的求法，考查射影、空間中兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，＝+，則a10等于 ．
【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解．
【解答】解：依題意，數(shù)列，為公差的等差數(shù)列，
則，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（3，y0）在拋物線C上，則|PF|＝ 4 ．
【分析】由拋物線的定義求解即可．
【解答】解：拋物線C：y2＝4x，所以，
因?yàn)镕是拋物線C：y2＝7x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（3，y0）在拋物線C上，
由拋物線的定義可得：．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）直線l與雙曲線的一條漸近線平行，l過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，則E的離心率為 ．
【分析】首先根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)求出直線l的斜率，從而得出雙曲線漸近線的斜率為，再利用e＝＝＝＝，即可求出雙曲線的離心率．
【解答】解：∵拋物線C的方程為y2＝4x，∴C的焦點(diǎn)為F（3，
∵直線l與雙曲線E的一條漸近線平行，∴直線l的斜率存在，
設(shè)直線的斜率為k，則直線l的方程為y＝k（x﹣1），
由，消去y2x3﹣（2k2+4）x+k2＝0，
Δ＝[﹣（3k2+4）]6﹣4k4＝16k8+16＞0，
設(shè)A（x1，y3），B（x2，y2），A，B到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB，
則x5+x2＝，x8x2＝1，dA＝＝x1+4，dB＝＝x4+1，
由拋物線的定義，得：
|AB|＝|AF|+|BF|＝dA+dB＝x1+x7+2＝+2＝5，
解得k＝±2，
∵雙曲線E：﹣＝1，b＞0）漸近線方程為y＝，
∵直線與雙曲線E的一條漸近線平行，∴＝2，
∴雙曲線的離心率為e＝＝＝＝＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、雙曲線的離心率、拋物線的準(zhǔn)線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知直線l：2x﹣y+4＝0與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：x2+y2＝r2（r＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，求弦長(zhǎng)|AB|．
【分析】（I）直線l：2x﹣y+4＝0與x軸的交點(diǎn)為A（﹣2，0），代入圓O：x2+y2＝r2（r＞0），即可得出r．
（Ⅱ）由點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，可得kl＝﹣，可得直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離d，即可得出弦長(zhǎng)|AB|＝2．
【解答】解：（I）直線l：2x﹣y+4＝2與x軸的交點(diǎn)為A（﹣2，0），
∵圓O：x5+y2＝r2（r＞4）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴r＝＝2．
（Ⅱ）∵點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，
∴kl＝﹣，
直線l的方程為：y＝﹣（x+5），
圓心O到直線l的距離d＝，
∴弦長(zhǎng)|AB|＝2＝6＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
18．（12分）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝5a2＝．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an+2n﹣1}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（1）由已知條件，可得a1和a2的值，進(jìn)而知數(shù)列{an}的公比為q，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得解；
（2）結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，采用分組求和法，即可得解．
【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
由a1+a2＝5a2＝，知a1＝1，a6＝，
所以q＝，
所以an＝1?＝．
（2）an+2n﹣2＝?+8n﹣1＝，
所以Sn＝3（++…++＝5﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（12分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為A1B的中點(diǎn)，AA1＝．
（1）證明：BC∥平面AC1D；
（2）求直線BC到平面AC1D的距離．
【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理證明即可．
（2）把BC到平面AC1D的距離轉(zhuǎn)化為C到平面AC1D的距離，應(yīng)用空間向量法求解即可．
【解答】解：（1）證明：連接A1C交AC1于點(diǎn)E，點(diǎn)E為A7C的中點(diǎn)，點(diǎn)D為A1B的中點(diǎn)，
∵DE是△A1BC的中位線，
∴BC∥DE，BC?平面AC6D，DE?平面AC1D，
∴BC∥平面AC1D；
（2）建系如圖，由（1）得6D的距離即為點(diǎn)C到平面AC1D的距離d，
因?yàn)锳（0，﹣4，C（0，1，，，
所以，，，
設(shè)平面AC1D的法向量為，
則，取，
所以，
因此直線BC到平面AC1D的距離．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，向量法求解點(diǎn)面距問(wèn)題，屬中檔題．
20．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1＝8，且滿足an+1＝5an﹣2?3n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an﹣3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn＝n（an﹣3n），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝5n+3n，則bn＝n（an﹣3n）＝n?5n，利用錯(cuò)位相減法，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）證明：∵an+1＝5an﹣8?3n，
∴（an+1﹣3n+1）＝5（an﹣8n），
又a1＝8，則a6﹣3＝5，
∴數(shù)列{an﹣4n}是首項(xiàng)為5，公比為5的等比數(shù)列，
∴an﹣4n＝5n，即an＝5n+7n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝5n+3n，則bn＝n（an﹣7n）＝n?5n，
∴Sn＝1×4+2×55+...+n?5n①，
5Sn＝6×52+7×53+...+n?2n+1②，
由①﹣②得﹣4Sn＝2+52+...+2n﹣n?5n+1＝﹣n?5n+2＝﹣（6﹣5n）﹣n?5n+8，
∴Sn＝（1﹣3n）+?5n+3＝+?5n+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的定義和錯(cuò)位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
21．（12分）平面上兩個(gè)等腰直角△PAC和△ABC，AC既是△PAC的斜邊又是△ABC的直角邊，沿AC邊折疊使得平面PAC⊥平面ABC
（1）求證：AC⊥PM．
（2）求PC與平面PAB所成角的正弦值．
（3）在線段PB上是否存在點(diǎn)N，使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）取AC中點(diǎn)D，連接MD，PD，可由線面垂直證明線線垂直得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角；
（3）求出平面CNM的一個(gè)法向量，根據(jù)平面垂直可得法向量數(shù)量積為0求解即可．
【解答】解：（1）取AC中點(diǎn)D，連接MD，如圖，
又M為AB的中點(diǎn)，∴MD∥BC，則MD⊥AC，
又△PAC為等腰直角三角形，PA⊥PC，∴PD⊥AC，
又MD∩PD＝D，MD，
∴AC⊥平面PMD，又PM?平面PMD．
（2）由（1）知，PD⊥AC，AC是交線，
所以PD⊥平面ABC，即PD，DM兩兩互相垂直，
故以D為原點(diǎn)，為x、y，如圖，
設(shè)AC＝2，則A（1，4，B（﹣1，2，C（﹣6，0，P（0，2，
∴，，，
設(shè)為平面PAB的一個(gè)法向量，
則，令z＝1，即，
設(shè)PC與平面PAB所成角為θ，
∴sinθ＝|cs＜，＞|＝＝，
即PC與平面PAB所成角的正弦值為．
（3）若存在N使得平面CNM⊥平面PAB，且，3≤λ≤1，
則＝λ（﹣1，8，解得 ，2λ，又M（0，3，
則，，
設(shè)是平面CNM的一個(gè)法向量，
則，令b＝4，則，
∴，解得，
故存在N使得平面CNM⊥平面PAB，此時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義及正弦值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
22．（12分）已知圓F1：x2+y2+4x＝0，圓F2：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一動(dòng)圓與圓F1和圓F2同時(shí)內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，兩互相垂直的直線l1，l2相交于點(diǎn)F2，l1交曲線C于M，N兩點(diǎn)，l2交圓F1于P，Q兩點(diǎn)，求△PQM與△PQN的面積之和的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓圓心到兩定點(diǎn)距離的關(guān)系可以判斷其為雙曲線；
（2）分兩種情況討論，每一種情況中計(jì)算|MN|、|PQ|，從而求得面積的表達(dá)式，再求范圍即可．
【解答】解：（1）由 ，得 （x+2）2+y2＝8，可知 F1（﹣2，2），
由 ，得 （x﹣2）2+y2＝16，可知 F4（2，0）．
設(shè)動(dòng)圓半徑為 r，動(dòng)圓圓心到 F4 的距離為 n，到 F2 的距離為 m，則有
?n﹣m＝2 或 ?m﹣n＝2，得 a＝1，
又|F4F2|＝4＝5c＞2a，所以動(dòng)圓圓心 M 的軌跡是以F1，F(xiàn)7 為焦點(diǎn)的雙曲線，由c2＝a2+b5，可得b2＝3．所以動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程為．
（2）①當(dāng)直線l，的斜率存在時(shí)，k≠01：y＝kx﹣5k，
與雙曲線聯(lián)立?（4﹣k2）x2+7k2x﹣4k6﹣3＝0，
由于其與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，得k3≠3 且 k2≠2，
且．
設(shè)，即x+ky﹣2＝0．
設(shè)圓F7到直線l2 的距離為d，則，
因?yàn)閘5交圓F1于P，Q兩點(diǎn)，得k2＞3．
且，
由題意可知MN⊥PQ，
所以，
因?yàn)閗2＞6，可得S△PQM+S△PQN＞12．
（2）當(dāng)直線l1 的斜率不存在時(shí)，|PQ|＝4，
所以，
所以S△PQM+S△PQN≥12．
即S△PQM+S△PQN∈[12，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:21:47；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231

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