目錄
第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典型例題剖析
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的圖象變換
高頻考點(diǎn)二：根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式
高頻考點(diǎn)三：五點(diǎn)法作圖
高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度1：圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度2：函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的問題
角度3：三角函數(shù)模型
第四部分：高考真題感悟
第一部分：知 識 點(diǎn) 精 準(zhǔn) 記 憶
1、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)在正弦函數(shù),的圖象上,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:
(2)在余弦函數(shù),的圖象上,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:
2、五點(diǎn)法作圖
3、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法
(1)先平移后伸縮 (2)先伸縮后平移
4、根據(jù)圖象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.
②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.
2、求法：通過觀察圖象，計(jì)算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一關(guān)鍵點(diǎn)法：通過觀察圖象找出第一關(guān)鍵點(diǎn)，將第一關(guān)鍵點(diǎn)代入求解.
（第一關(guān)鍵點(diǎn)判斷方法：圖象呈上升狀態(tài)與平衡位置的交點(diǎn),且該點(diǎn)離軸最近）
②最值代入法：通過觀察圖象的最高點(diǎn)（或者最低點(diǎn)）代入解析式求解.
③特殊點(diǎn)法：當(dāng)圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點(diǎn)代入解析式求解，但用此法求解，若有多個(gè)答案注意根據(jù)條件取舍答案.
第二部分：課 前 自 我 評 估 測 試
1．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高二開學(xué)考試）將曲線：上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】曲線：上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，
得到，
再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線的方程為．
故選：
2．（2022·河南信陽·高一期末）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．向左平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度
C．向右平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
【答案】C
【詳解】，因此
將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象.
故選：C.
3．（2022·陜西·寶雞市陳倉區(qū)教育體育局教學(xué)研究室高一期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以由的圖象（ ）
A．向左平移得到B．向右平移得到
C．向左平移得到D．向右平移得到
【答案】A
【詳解】由題意，由的圖象向左平移得到函數(shù)
故選：A
4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)將的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由圖可知，過點(diǎn)，解得，
將的圖像向右平移個(gè)單位
得到.
故選:D.
5．（2022·北京·人大附中高一階段練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓上以點(diǎn)為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點(diǎn)到軸的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】由于表示距離，為非負(fù)數(shù)，所以BC選項(xiàng)錯(cuò)誤.
點(diǎn)的初始位置為，在第四象限，
所以A選項(xiàng)符合，D選項(xiàng)不符合.
故選：A
第三部分：典 型 例 題 剖 析
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的圖象變換
典型例題
例題1．（2022·四川省廣漢中學(xué)高二開學(xué)考試（理））要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度
【答案】D
【詳解】，因此將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位．
故選：D．
例題2．（2022·河北衡水中學(xué)高三階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位
C．向上平移個(gè)單位D．向下平移個(gè)單位
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象，
根據(jù)左加右減，只需向左平移個(gè)單位.
故選：A.
例題3．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的圖像如何由函數(shù)的圖像平移得到（ ）
A．向左平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度
C．向右平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
【答案】A
【詳解】由題意可得：函數(shù)
函數(shù)
向左平移個(gè)單位可得.
故選：A.
例題4．（多選）（2022·全國·高一）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)（ ）
A．向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）
B．向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度
D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度
【答案】BC
【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位，得，
再將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得；
函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得，
再向左平移個(gè)長度單位，得，即.
故選：BC
題型歸類練
1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．向右平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度
C．向右平移個(gè)單位長度D．向左平移個(gè)單位長度
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以應(yīng)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度.
故選：C.
2．（2022·廣東·測試·編輯教研五高一階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】化解為
故選D
3．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高一期中）要得到的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】A
【詳解】，
需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.
故選：A.
4．（2022·北京鐵路二中高一期中）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象至少向右平移______個(gè)單位．
【答案】
【詳解】解：，，
則，
需將函數(shù)的圖像至少向右平移個(gè)單位.
故答案為：.
高頻考點(diǎn)二：根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式
典型例題
例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)將的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由圖可知，過點(diǎn)，解得，
將的圖像向右平移個(gè)單位
得到.
故選:D.
例題2．（2022·河南開封·模擬預(yù)測（理））如圖為函數(shù)的部分圖像，將的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?，再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖像，
可得∴
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，
∴，∴.
將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀叮?br>可得得圖像；
在向左平移個(gè)單位長度，
得到函數(shù)的圖像，
故選：D.
例題3．（2022·湖北·測試·編輯教研五高一階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【詳解】由圖象，，所以，
又，，，，
由得，
所以，
．
故選：D．
例題4．（多選）（2022·廣東茂名·高一期中）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，，為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．的最小正周期為4
B．在上單調(diào)遞減
C．的值域?yàn)?br>D．圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，圖象關(guān)于軸對稱
【答案】BC
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)
其中，
根據(jù)函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象，
可得為圖象的最高點(diǎn)，，為圖象與x軸的交點(diǎn)，且 為正三角形，
可得，解得，所以，
故它的最小正周期為，所以A不正確；
由，可得，可得單調(diào)遞減，所以B正確；
由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得的值域?yàn)?，所以C正確；
將圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位后，得到，
此時(shí)函數(shù)不是偶函數(shù)，所以圖象不關(guān)于y軸對稱，所以D錯(cuò)誤，
故選：BC．
題型歸類練
1．（2022·浙江寧波·高二期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．
C．的圖象關(guān)于直線對稱
D．的圖象向右平移個(gè)單位長度后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
【答案】D
【詳解】根據(jù)圖象可得：
，則，即，A正確；
∵的圖象過點(diǎn)，則
又∵，則
∴，即，B正確；
∴，則為最大值
∴的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；
的圖象向右平移個(gè)單位長度得到不是奇函數(shù)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，D錯(cuò)誤；
故選：D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】平移不改變振幅和周期，所以由圖象可知，
，解得：,
函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得
當(dāng)時(shí)，，且，
得
所以，.
故選：A
3．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則將的圖像向左平移個(gè)單位后，所得圖像的函數(shù)解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由題，
由圖，，
所以，向左平移個(gè)單位后，
得到
故選：B.
4．（多選）（2022·全國·高一）函數(shù)的圖像如圖，把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖像，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．直線是函數(shù)的一條對稱軸
【答案】BC
【詳解】根據(jù)圖形可得：，則，∴
圖像過點(diǎn)，即
∵，則或
當(dāng)時(shí)，不是最大值，不合題意
當(dāng)時(shí)，，符合題意，則，A錯(cuò)誤；
，
，則
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，B正確；
∵，則
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；
不是最值，D錯(cuò)誤；
故選：BC．
高頻考點(diǎn)三：五點(diǎn)法作圖
典型例題
例題1．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知函數(shù).
(1)試用“五點(diǎn)法”畫出它的圖象；
列表：
作圖：
(2)求它的振幅?周期和初相；
(3)根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】(1)答案見解析
(2)振幅，周期，初相為
(3)
（1）解：令，列表如下：
描點(diǎn)連線并向左右兩邊分別擴(kuò)展，得到如圖所示的函數(shù)圖象.
（2）解：由圖象得：振幅，周期，初相為.
（3）解：由圖象得單調(diào)遞減區(qū)間為.
例題2．（2020·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）已知函數(shù)
（1）寫出函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間和其圖象的對稱軸方程；
（2）用五點(diǎn)法作圖，填表并作出在的圖象.
【答案】（1）遞減區(qū)間，對稱軸方程：；（2）見解析
【詳解】(1) 令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，對稱軸方程：；
(2)
題型歸類練
1．（2021·廣東·高一單元測試）(1)利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的簡圖.
列表:
作圖:
(2)并說明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.
(3)求函數(shù)圖象的對稱軸方程.
【答案】(1)見解析(2) 見解析(3) .
【詳解】解:（1）先列表,后描點(diǎn)并畫圖
；
（2）把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位, 再把所得圖象的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,得到的圖象，即的圖象；
（3）由，
所以函數(shù)的對稱軸方程是.
2．（2022·海南·?？谥袑W(xué)高一期末）已知函數(shù).
(1)利用“五點(diǎn)法”完成下面表格，并畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像.
(2)解不等式.
【答案】(1)表格、圖象見解析；
(2)，.
(1)由正弦函數(shù)的性質(zhì)，上的五點(diǎn)如下表：
函數(shù)圖象如下：
(2)由，即，故，，
所以，，故不等式解集為，.
高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度1：圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值；
(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，得到函數(shù)的圖象，求.
【答案】(1)；
(2).
（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
所以，即.
又，所以，檢驗(yàn)符合.
（2）由（1）得：.
將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，
再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，得到的圖象.
故.
例題2．（2022·四川南充·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.
【答案】(1)
(2)
(1)解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象
可得，，所以.
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，
所以，.
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，可得的圖象，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.
由，可得
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
，，
函數(shù)在的值域.
例題3．（2022·北京市第三十五中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值，并指出取得最大值時(shí)的值；
(2)將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，寫出表達(dá)式和單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)最小正周期為，最大值為，
(2)，單調(diào)增區(qū)間為
(1)
所以周期；
當(dāng)，即時(shí)，.
(2)由題意知，，
由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
例題4．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)，時(shí)，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，
(2)最大值為0
（1）
故函數(shù)的最小正周期.
由得.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，即.故a的最大值為0.
題型歸類練
1．（2022·天津·南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；
(2)若的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，求函數(shù)在上的值域．
【答案】(1)，（）
(2)
（1）因?yàn)?br>，
所以的最小正周期．
令，，則，，
所以圖象的對稱軸方程是，．
（2）由題可知．
因?yàn)椋裕?br>所以，即，
故在上的值域是．
2．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)江南中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象.
(1)求函數(shù)g（x）的解析式和值域；
(2)若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)，值域?yàn)閇1，2]
(2)[3，+∞）
（1）由題意可知函數(shù)g（x）的解析式為
∵，.
所以函數(shù)g（x）值域?yàn)閇1，2]；
（2）記，則
由恒成立，可知恒成立.
即恒成立，因?yàn)?，所?br>令，因?yàn)閔（t）在[1，]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又..
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）.
3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)縮小為原來的，向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的最值.
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
(2)最小值為，最大值為
（1），令，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）由將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)縮小為原來的，向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，得：，因?yàn)椋?，所以，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為.
角度2：函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的問題
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期和對稱軸方程；
(2)若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為
(2)
（1）解：對于函數(shù)
，
所以函數(shù)的最小正周期為，
令，解得，
所以函數(shù)的對稱軸的方程為.
（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)在存在零點(diǎn)，
即方程在上有解，
當(dāng)時(shí)，可得，可得，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
例題2．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖．
(1)求的表達(dá)式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)的圖象．若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
（1）根據(jù)圖象，可得，，
∴
∴，將代入f（x），得，
即，，
又，∴，
∴．
（2）將函數(shù)（x）的圖象向右平移個(gè)單位長度，得曲線C，
由題得，
∵在[0，]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴在[0，]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
∵，
令，
∴，
則需直線與的圖象在有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
畫出在時(shí)的簡圖如下：
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
例題3．（2022·廣東·陽江市第三中學(xué)高一期中）已知函數(shù)
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)將的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，求在上的零點(diǎn).
【答案】(1)，最大值為
(2)，
(1)
所以，當(dāng) 時(shí)，最大值為；
(2)由將的圖像向右平移個(gè)單位可得：

令，得，故,即.
因?yàn)椋?br>所以在上的零點(diǎn)為，．
例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中常數(shù)．
(1)若，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的圖象，求；
(2)若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)對（1）中的，區(qū)間，，且滿足：在，上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的，中，求的最小值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(1)若，由題意得，向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)
．
故．
(2)∵,當(dāng)，時(shí)，
又∵在，單調(diào)遞增，
∴ ，解得，
∴的取值范圍為，．
(3)
由函數(shù)可知，
令，得，即．
∴相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，且周期，
則要使在，上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，至少包含14.5個(gè)周期．
即．
故的最小值為.
題型歸類練
1．（2022·河南河南·高一期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因?yàn)?br>．
即
∵，∴，
∴，
∴，
故的取值范圍為．
(2)解：∵，
∴．
由（1）知，
∵有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，
由正弦函數(shù)圖象可知，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
2．（2022·河南駐馬店·高一期中（文））已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)顯然，又，所以，
所以，又函數(shù)過點(diǎn)，所以，
所以，又，所以，
所以所求的函數(shù)的解析式為.
(2)，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即與的圖像在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，則，作出函數(shù)的圖像如下：
由圖像可知：與的圖像在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，
，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
3．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的圖象如圖．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫降膱D象，且關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)由圖象最高點(diǎn)函數(shù)值為1，最低點(diǎn)函數(shù)值為，且，可知，函數(shù)最小正周期，所以，因?yàn)?，所以，故，將點(diǎn)代入，可得：，因?yàn)?，所以，所?
(2)由圖象變換得：，當(dāng)時(shí)，，，關(guān)于的方程有解，則.
角度3：三角函數(shù)模型
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）如圖所示，滾珠，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿圓形軌道勻速運(yùn)動(dòng)，滾珠按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，滾珠按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，相遇后發(fā)生碰撞，各自按照原來的速度大小反向運(yùn)動(dòng)．
(1)求滾珠，第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間及相遇點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求從出發(fā)到第二次相遇滾珠，各自滾動(dòng)的路程．
【答案】(1)時(shí)間為4秒，
(2)點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為．
（1）設(shè)、第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是，
則，
（秒，即第一次相遇的時(shí)間為4秒．
設(shè)第一次相遇點(diǎn)為，則，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
（2）第一次相遇時(shí)，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，故第二次相遇時(shí)，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為．
例題2．（2022·湖北大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）某研究小組調(diào)查了某港口水深情況，發(fā)現(xiàn)在一天（24小時(shí)）之內(nèi)呈周期性變化，且符合函數(shù)，其中為水深（單位：米）t為時(shí)間（單位：小時(shí)）.研究小組繪制了水深圖，部分信息如下：
(1)求解析式
(2)某艘貨船滿載時(shí)吃水深度為4.5米，空載時(shí)2.5米，按安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底距離），問：
（i）該船滿載時(shí)一天之內(nèi)何時(shí)能進(jìn)出港口？
（ii）該船凌晨3點(diǎn)已經(jīng)在港口卸貨完畢準(zhǔn)備空載離港;為確保安全，需在安全水深到達(dá)前半小時(shí)提前離港，問最遲在幾點(diǎn)之前離港才能確保安全？
【答案】(1)
(2)（i）該船滿載時(shí)一天之內(nèi)0點(diǎn)到4點(diǎn)或12點(diǎn)到16點(diǎn)能安全進(jìn)出港口；（ii）最多滯留到五點(diǎn)半可確保安全離港
(1)由題意得：A=，，
當(dāng)x=2時(shí)最大，，又；
(2)（i）由題意得：得：
∴，解得：
∵
∴或
或，
答：該船滿載時(shí)一天之內(nèi)0點(diǎn)到4點(diǎn)或12點(diǎn)到16點(diǎn)能安全進(jìn)出港口；
（ii）空載時(shí)水深至少要4米，由得： 又或或，因?yàn)?-0.5=5.5，所以最多滯留到五點(diǎn)半可確保安全離港.
例題3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一半徑為的水輪（如圖所示），水輪圓心離水面，已知水輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間.
(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)；
(2)點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時(shí)間？
【答案】(1)
(2)
（1）解：以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
∵，∴，
∴，
∵時(shí)，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴當(dāng)時(shí)，P第一次到達(dá)最高點(diǎn)，
∴點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要.
題型歸類練
1．（2022·全國·高一）下圖是某簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像.試根據(jù)圖像回答下列問題：
（1）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅?周期與頻率
（2）從點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如果從點(diǎn)算起呢？
（3）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式.
【答案】(1)振幅為2cm，周期為0.8s,頻率為；
(2)如果從O點(diǎn)算起，到曲線上D點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；如果從A點(diǎn)算起，到曲線上E點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；
(3).
【詳解】(1)從圖像中可以看出：這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2cm，周期為0.8s,頻率為；
(2)如果從O點(diǎn)算起，到曲線上D點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；如果從A點(diǎn)算起，到曲線上E點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；
(3)設(shè)這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為由圖像可知：，又由，得：.
所以所求簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為.
2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某地農(nóng)業(yè)檢測部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：
現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）請你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)模型解析式；
（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有沒有可能虧損？
【答案】（1）模型①；模型②；（2）有可能．
【詳解】解：（1）對于模型①，由點(diǎn)及可得函數(shù)周期滿足，即，所以，
又函數(shù)最大值為，最小值為，解得，，
所以，又，所以，
又，所以，
所以模型①；
對于模型②，圖象過點(diǎn)，，
所以，
解得：，所以模型②；
（2）由（1）設(shè)，，
若時(shí)則盈利，若則虧損；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
這說明第8，9，11，12這四個(gè)月收購價(jià)格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損．所以今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有可能虧損．
3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來的長遠(yuǎn)大計(jì)．某市通宵營業(yè)的大型商場，為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，在氣溫低于時(shí)，才開放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào)．如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時(shí)間（，單位：小時(shí)）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足關(guān)系．
(1)求的表達(dá)式；
(2)請根據(jù)(1)的結(jié)論，求該商場的中央空調(diào)在一天內(nèi)開啟的時(shí)長．
【答案】(1) ，;(2) 8小時(shí).
【詳解】解：(1)因?yàn)閳D像上最低點(diǎn)坐標(biāo)為，與之相鄰的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因?yàn)椋?br>所以，．
所以該商場的中央空調(diào)應(yīng)在本天內(nèi)開啟時(shí)長為8小時(shí)．
第四部分：高考真題感悟
1．（2022·天津·高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：
①的最小正周期為；
②在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到．
以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋缘淖钚≌芷跒?，①不正確；
令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因?yàn)?，，所以，③不正確；
由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，④不正確．
故選：A．
2．（2022·全國·高考真題（文））將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，
解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故選：C.
3．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋园押瘮?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象．
故選：D.
4．（2021·全國·高考真題（理））把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，
根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，
第一步：向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
必備方法：五點(diǎn)法步驟
③
①
②
對于復(fù)合函數(shù)，
第一步：將看做一個(gè)整體，用五點(diǎn)法作圖列表時(shí)，分別令等于，，，，，對應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行）
第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。）
第三步：得到五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：，,,,
x
y
x
t
0
π
2π
y
0
2
0
-2
0
x
y
0
x
y
1
3
1
-1
1
x
y
0
x
y
0
1
0
-1
0
0
0
0
0
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
收購價(jià)格（元/斤）
6
7
6
5
養(yǎng)殖成本（元/斤）
3
4
4．6
5

相關(guān)試卷

(藝考基礎(chǔ))新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) (高頻考點(diǎn)-精講）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份(藝考基礎(chǔ))新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) (高頻考點(diǎn)-精講）（2份，原卷版+解析版），文件包含藝考基礎(chǔ)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)高頻考點(diǎn)-精講原卷版doc、藝考基礎(chǔ)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)高頻考點(diǎn)-精講解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共42頁， 歡迎下載使用。

(藝考基礎(chǔ))新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講 函數(shù)y=Asin(wx ψ)的圖象及其應(yīng)用(高頻考點(diǎn)—精練）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份(藝考基礎(chǔ))新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講 函數(shù)y=Asin(wx ψ)的圖象及其應(yīng)用(高頻考點(diǎn)—精練）（2份，原卷版+解析版），文件包含藝考基礎(chǔ)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講函數(shù)yAsinwxψ的圖象及其應(yīng)用高頻考點(diǎn)精練原卷版doc、藝考基礎(chǔ)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第06講函數(shù)yAsinwxψ的圖象及其應(yīng)用高頻考點(diǎn)精練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共22頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練第06講 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖象及其應(yīng)用（高頻精講）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練第06講 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖象及其應(yīng)用（高頻精講）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練第06講函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及其應(yīng)用高頻精講原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練第06講函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及其應(yīng)用高頻精講解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共100頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第06講函數(shù)y=Asin(wx+ψ)的圖象及其應(yīng)用(知識+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第06講函數(shù)y=Asin(wx+ψ)的圖象及其應(yīng)用(知識+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)
2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講函數(shù)y=Asin(wx+ψ)的圖象及其應(yīng)用(知識+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講函數(shù)y=Asin(wx+ψ)的圖象及其應(yīng)用(知識+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)
高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型(新高考通用)第21講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象性質(zhì)及其應(yīng)用(精講)【一輪復(fù)習(xí)講義】(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型(新高考通用)第21講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象性質(zhì)及其應(yīng)用(精講)【一輪復(fù)習(xí)講義】(原卷版+解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章 第06講 函數(shù)y=Asin(wx ψ)的圖象及其應(yīng)用 (精講+精練）（2份打包，原卷版+教師版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章 第06講 函數(shù)y=Asin(wx ψ)的圖象及其應(yīng)用 (精講+精練）（2份打包，原卷版+教師版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部