一、選擇題
1．已知，，則( )
A.B.C.D.
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.B.C.D.
3．某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，甲校運(yùn)動(dòng)員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績(jī)可用下圖中的（1）所示，乙校運(yùn)動(dòng)員的得分可用下圖中的（2）所示.則以下結(jié)論中，正確的是( )
A.甲校運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)為7.5
B.乙校運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為10
C.甲校運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)大于8
D.甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差
4．已知，，，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則( )
A.3B.1C.5D.7
5．已知直線，，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．方程表示的曲線是( )
A.兩個(gè)圓B.一個(gè)圓和一條直線
C.一個(gè)半圓D.兩個(gè)半圓
8．如果直線（，）和函數(shù)（，）的圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說(shuō)法中，正確的有( )
A.直線在y軸上的截距是1
B.當(dāng)m變化時(shí)，圓恒過(guò)定點(diǎn)有且只有一個(gè)
C.過(guò)，兩點(diǎn)（，）的所有直線的方程為
D.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是
10．如圖，在三棱柱中，底面為等邊三角形，G為的重心，，若，，則( )
A.B.
C.D.
11．已知圓，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.的最小值為B.直線AB恒過(guò)定點(diǎn)
C.的最小值為D.的最小值為
三、填空題
12．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為_(kāi)_______.
13．已知點(diǎn)（，）在圓和圓的公共弦上，則的最小值為_(kāi)_______.
四、雙空題
14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi)_______；若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為_(kāi)_______.
五、解答題
15．已知函數(shù)，
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，求的面積S.
16．已知圓，兩點(diǎn)、.
(1)若，直線l過(guò)點(diǎn)B且被圓C所截的弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程；
(2)動(dòng)點(diǎn)滿足，若P的軌跡與圓C有公共點(diǎn)，求半徑的取值范圍.
17．甲、乙、丙三人結(jié)伴去游樂(lè)園玩射擊游戲，其中甲射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，甲、乙兩人各射擊一次且都擊中目標(biāo)的概率為，乙、丙兩人各射擊一次且都擊中目標(biāo)的概率為，且任意兩次射擊互不影響.
(1)分別計(jì)算乙，丙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)的概率；
(2)求甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)的概率；
(3)若乙想擊中目標(biāo)的概率不低于，乙至少需要射擊多少次？（參考數(shù)據(jù)：，）
18．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，，，.
(1)證明：平面平面PAB，并求與平面所成角的大?。?br>(2)設(shè)Q為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過(guò)B，Q兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)Q，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
19．蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖,像是一只翩翩起舞的蝴蝶,一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證,正所謂花若芬芳蜂蝶自來(lái).如圖,已知圓M的方程為,直線與圓M交于,,直線與圓M交于,.原點(diǎn)O在圓M內(nèi).設(shè)交x軸于點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng),,,時(shí),分別求線段和的長(zhǎng)度;
(2)①求證：.
②猜想和的大小關(guān)系,并證明.
參考答案
1．答案：C
解析：由知：，
解得：，
，
由知：，
，
.
故選：C.
2．答案：D
解析：由題知，，所以.
故選：D.
3．答案：B
解析：甲校派出的10名運(yùn)動(dòng)員參賽成績(jī)從小到大為：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10，
其中位數(shù)為：8，平均數(shù)為：，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；
其標(biāo)準(zhǔn)差為：；
乙校派出的10名運(yùn)動(dòng)員參賽成績(jī)分別為：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，
則其平均數(shù)為：，75%分位數(shù)為：10，
標(biāo)準(zhǔn)差為：.
所以甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差，故選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤.
故選：B
4．答案：B
解析：若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，
，，共面，
存在，，使，
即，
解得，
故選：B.
5．答案：C
解析：解析：當(dāng)時(shí)，直線，，則，
當(dāng)時(shí)，，即，
解得，
故“”是“”的充要條件，
故選：C
6．答案：C
解析：直線l的方程可化為，所以，，
因?yàn)?，因此，直線l的傾斜角的取值范圍是.
故選：C.
7．答案：D
解析：方程可化為，
因?yàn)椋?br>所以或，
若時(shí)，則方程為，是以為圓心，以1為半徑的左半圓；
若時(shí)，則方程為，是以為圓心，以1為半徑的右半圓;
總之，方程表示的曲線是以為圓心，以1為半徑的右半圓與以為圓心，以1為半徑的左半圓合起來(lái)的圖形.
故選：D
8．答案：A
解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)，恒過(guò)定點(diǎn).
將點(diǎn)代入，可得.
由于始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以.
又由解得或，
所以點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，，取點(diǎn)時(shí)，，
所以的取值范圍是.
9．答案：CD
解析：對(duì)A：直線中，令得，所以直線在y軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：令得：或，所以當(dāng)m變化時(shí)，圓恒過(guò)定點(diǎn)和，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程的概念知，C正確；
對(duì)D：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
由點(diǎn)在直線上，得，故D正確.
故選：CD
10．答案：ABD
解析：A選項(xiàng)，底面為等邊三角形，G為的重心，
故，
又，故
，A正確；
B選項(xiàng)，，故
，
故，B正確；
C選項(xiàng)，，
又，
設(shè)，即，無(wú)解，故與不平行，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，
，
故，D正確.
故選：ABD
11．答案：ABC
解析：對(duì)A，圓，故，
又的最小值即M到的距離，故A正確；
對(duì)B，設(shè)，
由切線性質(zhì)可得，
故以P為圓心，，為半徑的圓的方程為，
即，又圓，
方程相減可得，即.
聯(lián)立，可得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；
對(duì)C，設(shè)，，則，
又，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又由A可知，故能取最小值為，故C正確；
對(duì)D，設(shè)，因?yàn)?，，，故?br>則，故為等腰的中線和高，故，.
，
故當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
三、填空題
12．答案：
解析：由題可設(shè)所求直線方程為，
代入點(diǎn)，可得，即，
所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.
故答案為：.
13．答案：8
解析：兩圓方程相減得，即，
所以，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
點(diǎn)為，，，點(diǎn)在兩圓公共弦上，滿足題意，
故答案為：8.
14．答案：；
解析：
①以AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，設(shè)，由得，所以，
所以若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為.
②設(shè)點(diǎn)，由得，
所以，
由題得，，，
所以，，設(shè)平面的法向量為，
所以，，
由題得，
所以點(diǎn)P到平面的距離為，
因?yàn)椋?br>所以，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為，
由題得為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，
所以三棱錐的體積的最小值為.
故答案為：；.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1），運(yùn)用兩角和差正弦得到，
，
運(yùn)用輔助角公式得到，.
令，解得.
故的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2），則，即，，則.
由余弦定理知道，即.（?）
而，兩邊平方得到與（?）聯(lián)立得到.
故的面積.
16．答案：(1)或；
(2)
解析：（1）若時(shí)，圓，可得圓心，
因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦長(zhǎng)為6，則圓心到直線l的距離為，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l的方程為，不滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，
則，解得，所以直線方程為或，
綜上可得，所求直線l的方程為或.
（2）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，、，
所以，化簡(jiǎn)得，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
因?yàn)镻的軌跡與圓C有公共點(diǎn)，所以，
即，解得，所以半徑的取值范圍.
17．答案：(1)乙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，丙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為；
(2)；
(3)12
解析：（1）記甲射擊一次擊中目標(biāo)為事件A，乙射擊一次擊中目標(biāo)為事件B，丙射擊一次擊中目標(biāo)為事件C，
依題意，，所以，
，所以，
所以乙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，丙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為；
（2）記甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)為事件D，
則
，
所以甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)的概率；
（3）設(shè)乙射擊n次，則至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，
令，所以，
所以，
又n為正整數(shù)，所以，即甲至少要射擊12次.
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析；
(2)存在，或
解析：（1）因?yàn)椋?，，平面?br>所以平面，又平面，所以平面平面，
取的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)槭堑冗吶切危?br>所以，又平面平面，兩平面交線為，平面，所以平面，
取的中點(diǎn)G，連接，則，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫?，?br>故，，兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，由勾股定理得?br>所以，，，，
平面的法向量為，設(shè)與平面所成角的大小為，
則，
因?yàn)?，所?
（2）設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，則，
連接，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以?br>不妨設(shè)，則，，
設(shè)，則，即，，，
故，設(shè)，則，
即，，，故，
設(shè)平面的法向量為，則，解得，設(shè)，則，故，故，化簡(jiǎn)得，兩邊平方得，
，化簡(jiǎn)得，
解得或，設(shè)，則，設(shè)，
則，解得，，，故，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?br>解得，解得，滿足要求，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?br>解得，解得，滿足要求，
故存在點(diǎn)Q，使得平面與平面夾角的余弦值為，此時(shí)的值為或.
19．答案：(1)
(2)①證明見(jiàn)解析;②猜測(cè),證明見(jiàn)解析.
解析：(1)當(dāng),,,時(shí),圓,
直線,由或,故,;
直線,由或,故,.
所以直線,令得,即;
直線,令得,即.
所以：.
(2)①由題意：.
由,
則,是該方程的兩個(gè)解,由韋達(dá)定理得：,
所以.
同理可得：,所以.
②猜測(cè),證明如下：
設(shè)點(diǎn),.
因?yàn)镃,P,F三點(diǎn)共線,所以：,
又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線上,所以;點(diǎn)F在直線上,所以.
所以;
同理因?yàn)镋,Q,D三點(diǎn)共線,可得：.
由①可知：
,
所以.
即,所以成立.

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