一、單選題
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．函數(shù)圖象頂點坐標是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．且
C．D．且
4．將拋物線的圖象向下平移個單位長度，則平移后拋物線的解析式為（ ）
A．B．C．D．
5．觀察下列表格，一元二次方程的一個解x所在的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．如果三點，和在拋物線 的圖象上，那么，與之間的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知拋物線的對稱軸為直線，記，則下列選項中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．若二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．若方程用配方法可配成的形式，則直線不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
10．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①
②
③對任意實數(shù)m，均成立
④若點，在拋物線上，則
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題
11．若a是關于x的方程的一個根，則的值是 ．
12．已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)值y的取值范圍為
13．定義：如果一元二次方程滿足，那么稱這個方程為“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有兩個相等的實數(shù)根，則b的值為 ．
14．若實數(shù)滿足，則的結(jié)果為 ．
15．如圖，正方形的邊長為6，與x軸負半軸的夾角為，點B在拋物線（）的圖象上，則a的值為 ．
三、解答題
16．用適當方法解方程：
(1)；
(2)．
17．已知關于x的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有實數(shù)根；
(2)設該方程的兩個實數(shù)根分別為，，若，，求a的取值范圍．
18．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線．
(1)方程的解是______；
(2)若，則方程的解有______個，拋物線與直線有______個公共點；
(3)不等式的解集是______．
19．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，請解答下列問題：
(1)求拋物線的解析式；
(2)若拋物線的頂點為D，對稱軸所在的直線交x軸于點E，連接，點F為的中點，求出和線段的長．
20．2024年巴黎奧運會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛，一商場以20元的進價進一批“弗里熱”紀念品，以30元每個的價格售出，每周可以賣出500個，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價格每漲10元，就少賣100個．
(1)若商場計劃一周的利潤達到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費者，售價應定為多少錢？
(2)商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價格基礎上，銷售量穩(wěn)步提升，兩周后銷售量達到了個，求這兩周的平均增長率．
21．如圖，用長為的籬笆和一面利用墻（墻的最大可用長度為），圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在上用其他材料做了寬為的兩扇小門．
(1)設花圃的一邊長為x米，請你用含x的代數(shù)式表示另一邊的長為__________．
(2)若此時花圃的面積剛好為，求此時花圃的長與寬．
(3)在不增加籬笆總長度的情況下，這個花圃的面積能否達到．請說明理由．猜想一下，這個花圃面積最大可以做到多少？
22．材料一：經(jīng)過一點的直線解析式總可以表示為：比如過一點的直線解析式可以表示為：．
材料二：二次函數(shù)的圖象若與直線有兩點交點，，則此二次函數(shù)可表示為：，我們稱此形式為“廣義的二次函數(shù)交點式”；
(1)由材料一：直接寫出直線經(jīng)過的定點坐標；
(2)由材料二：若二次函數(shù)經(jīng)過，，， 試求該二次函數(shù)的解析式．（結(jié)果寫成一般式）
(3)若一次函數(shù)與（2）中的拋物線交于點，試用k表示出另一交點的橫坐標．
23．農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量（千克）與銷售價格（元/千克）之間的關系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如表：
(1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定與之間的函數(shù)表達式，并直接寫出與的函數(shù)表達式為______；
(2)農(nóng)經(jīng)公司應該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？
(3)農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出元的相關費用，當時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求的值．（日獲利日銷售利潤日支出費用）
24．如圖1，拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于點為第四象限內(nèi)拋物線上一點，過點作軸于點，連接與軸交于點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)設的面積為，求的最大值；
(3)當時，求直線的函數(shù)表達式及點的坐標．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.19
0.44
0.71
銷售價格（元/千克）
30
35
40
45
50
日銷售量（千克）
600
450
300
150
0
參考答案：
1．A
【分析】本題考查一元二次方程的定義，解題的關鍵是掌握一元二次方程的三個要素：①整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是．據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：A．該方程是一元二次方程，故此選項符合題意；
B．該方程未知數(shù)的最高次數(shù)是，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；
C．該方程含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；
D．該方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此選項不符合題意．
故選：A．
2．D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的頂點坐標，解題關鍵是能將一般式化為頂點式，將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到頂點坐標．
【詳解】解：∵，
∴頂點坐標為；
故選D．
3．B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義和根的判別式，一元二次方程方程有兩個不等實數(shù)根，則；方程有兩個相等實數(shù)根，則；方程沒有實數(shù)根，則．
根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式列式求解即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴ 且，
∴且．
故選：B．
4．A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)“上加下減，左加右減”的規(guī)律進行解答即可，熟知函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題的關鍵．
【詳解】解：∵拋物線的圖象向下平移個單位長度，
∴根據(jù)“上加下減，左加右減”規(guī)律可得平移后拋物線的解析式是，
故選：．
5．B
【分析】本題考查估算一元二次方程的解，根據(jù)圖表，找到相鄰兩個的值，使的值為一正一負，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：由表格可知，當時，，當時，，
∴當時，存在一個的值，使，
∴一元二次方程的一個解x所在的范圍是；
故選B．
6．C
【分析】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．
根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是直線，根據(jù)時，y隨x的增大而減小，即可得出答案．
【詳解】解：∵
∴圖象的開口向下，對稱軸是直線，
∴當時，y隨x的增大而減小，
∴關于對稱軸的對稱點為，
∵，
∴．
故選：C．
7．C
【分析】本題考查了拋物線的對稱軸公式以及實數(shù)大小的比較，解題關鍵是利用作差法比較實數(shù)大?。蓲佄锞€對稱軸公式，計算得出，再利用作差法比較和的大小即可．
【詳解】解：∵該拋物線的對稱軸，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
8．C
【詳解】分析：根據(jù)二次函數(shù)的解析式的二次項系數(shù)判定該函數(shù)圖象的開口方向、根據(jù)頂點式方程確定其圖象的頂點坐標，從而知該二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：∵二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=（x-m）2-1的二次項系數(shù)是1，
∴該二次函數(shù)的開口方向是向上；
又∵該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（m，-1），
∴該二次函數(shù)圖象在x＜m上是減函數(shù)，即y隨x的增大而減小，且對稱軸為直線x=m，
而已知中當x≤1時，y隨x的增大而減小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故選C．
9．C
【分析】本題考查一元二次方程配方及一次函數(shù)的性質(zhì)，先配方得到，，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得到答案；
【詳解】解：方程配方得，
，
∴，，
∴直線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過三象限，
故選：C．
10．B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號，由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，交軸于負半軸，即可得出，，，從而求出，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點得出二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，計算即可判斷②；根據(jù)當時，二次函數(shù)有最小值，即可判斷③；根據(jù)即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關鍵．
【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，交軸于負半軸，
∴，，，
∴，
∴，故①正確；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點，，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②錯誤；
當時，二次函數(shù)有最小值，
由圖象可得，對任意實數(shù)m，，
∴對任意實數(shù)m，均成立，故③正確；
∵點，在拋物線上，且，
∴，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①③，共個，
故選：B．
11．2024
【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代數(shù)式的值等知識內(nèi)容，難度較小，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．
根據(jù)題意把代入，得，再把代入化簡計算即可．
【詳解】解：∵a是關于x的方程的一個根，
∴把代入，
得：，
∴，
∴，
故答案為：2024．
12．/
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意得當時，y隨x的增大而增大，求得當時，；時，，即可求解．
【詳解】解：由題意得，，對稱軸，
∴當時，y隨x的增大而增大，
∵當時，；時，，
∴當時，函數(shù)值y的取值范圍為，
故答案為：．
13．2
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，先由新定義得到，再由判別式得到，則，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵是“奇妙方程”，
∴，
∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：2．
14．1
【分析】設，則原方程轉(zhuǎn)化為關于t的一元二次次方程，通過解方程求得t的值，即的值．本題主要考查了換元法，因式分解法解一元二次方程，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換．
【詳解】解：設
則原式等于，
整理 得
解得（舍棄），
即．
故答案為：1．
15．
【分析】連接，過B作軸于D，若與x軸負半軸的夾角為，那么；在正方形中，已知了邊長，易求得對角線的長，進而可在中求得的值，也就得到了B點的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．
【詳解】解：如圖，連接，過B作軸于D；
∵四邊形是正方形，
∴．
∵與x軸負半軸的夾角為，
∴
∵正方形的邊長為6，
∴；
中，，，
則；
故，
代入拋物線的解析式中，得：，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法，求出是解答本題的關鍵．
16．(1)
(2)
【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關鍵：
（1）配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【詳解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴．
17．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根的判別式：
（1）只需要證明即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，再由，，可得，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意得，．
∴該方程總有實數(shù)根；
（2）解：∵關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴a的取值范圍為．
18．(1)
(2)2，兩
(3)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)與軸的交點問題，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，則，得出二次函數(shù)與軸的另一個交點為，故方程的解是，
（2）作圖，得出直線與有兩個交點，運用數(shù)形結(jié)合，即可作答．
（3）運用圖象性質(zhì)以及二次函數(shù)與軸的交點，開口方向，即可作答．
【詳解】（1）解：結(jié)合圖象，設二次函數(shù)與軸的另一個交點為，
∵對稱軸為直線，二次函數(shù)與軸的一個交點為，
∴，
∴，
∴二次函數(shù)與軸的一個交點為，
∴方程的解是；
故答案為：；
（2）解：如圖所示：
直線與有兩個交點，
∴方程的解有2個；
∴拋物線與直線有兩個公共點；
故答案為：2，兩；
（3）解：由（1）得二次函數(shù)與軸的交點坐標為和
∵二次函數(shù)的開口方向向下，
∴結(jié)合圖象，得不等式的解集是.
19．(1)
(2)4；
【分析】本題考查了待定系數(shù)法，拋物線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握待定系數(shù)法和定理是解題的關鍵．
（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）根據(jù)解析式，確定頂點坐標，利用勾股定理計算，結(jié)合點F為的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半計算線段的長．
【詳解】（1）解：由拋物線經(jīng)過，兩點，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式．
（2）解：拋物線的解析式，
∴．
對稱軸所在的直線交x軸于點E，
∴軸，且，
∴，，
∴；
∵，點F為的中點，
∴．
20．(1)售價應定為每個元．
(2)這兩周的平均增長率為．
【分析】本題考查的是一元二次方程的應用，確定相等關系是解本題的關鍵；
（1）設售價應定為每個元，則每個利潤為元，銷量為個，再利用總利潤為元，再建立方程解題即可；
（2）由（1）得：當售價為每個元時，銷量為個，設這兩周的平均增長率為，再結(jié)合增長率的含義建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：設售價應定為每個元，則
，
整理得：，
解得：，；
∵更大優(yōu)惠讓利消費者，
∴不符合題意，
∴商場計劃一周的利潤達到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費者，售價應定為每個元．
（2）解：由（1）得：當售價為每個元時，銷量為（個），
設這兩周的平均增長率為，則
，
解得：，（不符合題意舍去），
∴這兩周的平均增長率為．
21．(1)
(2)此時花圃的長為9米，寬為5米
(3)這個花圃的面積不能達到；這個花圃面積最大可以做到．
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，配方法的應用，列代數(shù)式：
（1）用籬笆的總長減去三個的長，然后加上兩個門的長即可表示出；
（2）根據(jù)長方形的面積公式列方程求解即可；
（3）長方形的面積公式列方程，看方程是否有符合題意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非負性即可得到答案．
【詳解】（1）解：設花圃的寬為x米，
則米，
故答案為：；
（2）解：由題意可得：，
∴
解得：，，
當時，，不符合題意，故舍去；
當時，，符合題意；
答：此時花圃的長為9米，寬為5米；
（3）解：當時，則，
∴，
∴此時原方程無解，
∴這個花圃的面積不能達到
，
∵，
∴，
∴這個花圃面積最大可以做到．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)材料一求解即可；
（2）根據(jù)材料二求解即可；
（3）首先聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系求解即可．
【詳解】（1）由材料一得，直線
∴直線經(jīng)過的定點坐標為；
（2）由材料二得，
∵二次函數(shù)與直線交于點和
∴該二次函數(shù)的解析式為
∴；
（3）聯(lián)立一次函數(shù)和得
∴
整理得，
∵一次函數(shù)與（2）中的拋物線交于點，
∴設另一交點的橫坐標為x
∴
∴
∴另一交點的橫坐標為．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)表達式，根于系數(shù)的關系等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．
23．(1)
(2)這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格定為元/千克，才能使日銷售利潤最大
(3)2
【分析】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式，銷售問題中數(shù)量關系是解題的關鍵．
（1）先判斷與x成一次函數(shù)關系，設與x之間的函數(shù)表達式為，運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設日銷售利潤為w元，由題意得：，根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解；
（3）設日獲利為w元，由題意得：，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：銷售價格每增加5元，日銷售量減少，
∴與成一次函數(shù)關系，設與之間的函數(shù)表達式為，
將代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：設日銷售利潤為元，由題意得：
，
∵，拋物線開口向下，
∴當時，有最大值．
∴這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格定為元/千克，才能使日銷售利潤最大；
（3）解：設日獲利為元，由題意得：
，
對稱軸為，
當時，，則當時，有最大值，將代入，得：
，
當時，
，
解得（舍去）；
當，，則當時，有最大值，將代入，得：
當時，
，
解得：（舍去）；
綜上所述，的值為．
24．(1)
(2)
(3)直線的函數(shù)表達式為，點P的坐標為
【分析】（1）把A、B兩點坐標分別代入解析式中，解二元一次方程組即可求解；
（2）連接，設，由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）作關于直線的對稱線段，連接，設中點為G，則易得：，；從而，即軸；設，，則可得點G的坐標；再求出直線的解析式，把點G的坐標代入直線解析式中，求得h；根據(jù)，得到關于t的方程，求得t，從而可求得點P的坐標，用待定系數(shù)法求得直線的函數(shù)表達式．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，
∴，
解得：，
∴
（2）解：對于，令，則，
∴；
∵，
∴；
連接，設，
∵點P在第四象限，
∴，
∴
，
當時，S有最大值；
（3）解：如圖，作關于直線的對稱線段，連接，設中點為G，
則，；
∵，
∴，
∴，
∵軸，
∴軸；
設，，
則點G的坐標為；
設直線的解析式為，其中，
把點A、C的坐標代入解析式中，得：，
解得：；
即直線的解析式為；
把點G的坐標代入直線解析式中，得，
∴；
∴；
∵
∵，
∴，
解得：或（舍去），
則，
即點P的坐標為；
設直線的函數(shù)表達式為，
把A、P坐標分別代入得：，
解得：，
即直線的函數(shù)表達式為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，對稱的性質(zhì)，割補法求圖形面積，勾股定理等知識，掌握相關知識，善于轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
B
C
C
C
C
B

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