A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點A（2，4+m）與點B（m，n）關于y軸對稱，則m+n的值為（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
3．（3分）如圖所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝4cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（ ）
A．16cmB．19cmC．21cmD．25cm
4．（3分）等腰三角形的周長是13cm，其中一邊長是3cm，則該等腰三角形的腰長為（ ）
A．3cmB．7cmC．5cmD．3cm或5cm
5．（3分）如圖，若△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列說法中不一定正確的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，則AC的長為（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
7．（3分）下列條件不能得到等邊三角形的是（ ）
A．有一個內(nèi)角是60°的銳角三角形
B．有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形
C．頂角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底邊相等的等腰三角形
8．（3分）工人師傅常常利用角尺構造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別在取OC＝OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點C、D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是∠AOB的平分線，這里構造全等三角形的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
9．（3分）如圖，BE為△ABC的外角∠CBD的平分線，若∠A＝50°，∠C＝60°，則∠EBD＝（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
10．（3分）如圖，將Rt△ABC過點B折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，折痕為BD，現(xiàn)有以下結論：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等邊三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正確的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
二．填空題（共6小題）
11．（3分）等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是 度．
12．（3分）直角三角形的兩個銳角的度數(shù)比為1：4，則較小的銳角是 ．
13．（3分）若a，b，c為三角形的三邊長，且a，b滿足（b﹣7）2＝0，那么c的取值范圍是 ．
14．（3分）如圖，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝50°，則∠EFA＝ ．
15．（3分）如圖，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可求出BD的長為 ．
16．（3分）已知：如圖所示，M（3，2），N（1，﹣1）．點P在y軸上使PM+PN最短，則P點坐標為 ．
三．解答題（共9小題）
17．計算：（1）；
（2）．
18．解方程組或不等式組：
（1）；
（2）．
19．如圖，在直角坐標系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；
（2）寫出點A1，B1，C1的坐標；
（3）求△ABC的面積．
20．某校想了解學生每周的課外閱讀時間情況，隨機調查了部分學生，對學生每周的課外閱讀時間x（單位：小時）進行分組整理，并繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖（B所對應的是21人）．根據(jù)圖中提供的信息．解答下列問題：
（1）這次抽樣調查的學生人數(shù)是 人；并補全頻數(shù)分布直方圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖m的值為 ，其中“E”組對應的圓心角度數(shù)為 ；
（3）已知該校共有學生3000人，請根據(jù)調查結果估計該校每周課外閱讀時間不少于6小時的學生人數(shù)．
21．如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BE＝CD，BD與CE交于點O．
（1）求證：△COD≌△BOE；
（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的長．
22．如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，求證：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
23．已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．
（1）求證：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度數(shù)；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的長．
24．定義：三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點，這個點叫做三角形的珺琟點．
（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝50°，P為△ABC的珺琟點，求∠BPC的角度；
（2）如圖2，P為△ABC的珺琟點，延長AP交BC于點D，已知AB＝10，AC＝8，求的值；
（3）如圖3，P為△ABC的珺琟點，連接PB、PC，M為邊AB上一點，連接MP并延長交AC于點N，若∠ANM＝∠ABC，求證：BM+CN＝MN．
25．如圖，在平面直角坐標系中，點A（a，0），點B（b，0），且a，b滿足（a+b）2+|b﹣3|＝0，△ABC是等邊三角形，
（1）求點A，點B的坐標；
（2）如圖，在△ABC的外角平分線上有一點Q：
①連接CQ，當CQ最小時，求BQ的長度；
②在x軸上有一動點P使得∠CPQ＝60°不變，當PB＝2時，求點Q的橫坐標．
2024-2025學年湖南省長沙市望城區(qū)珺琟學校八年級（上）第一次月考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（3分）下列大學的校徽圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形進行分析即可．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故此選項正確；
C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
故選：B．
2．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點A（2，4+m）與點B（m，n）關于y軸對稱，則m+n的值為（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【答案】A
【分析】直接利用關于y軸對稱點的性質得出m，n的值，進而得出答案．
【解答】解：∵點A（2，4+m）與點B（m，n）關于y軸對稱，
∴m＝﹣2，4+m＝n，
解得：n＝2，
則m+n的值為：﹣2+2＝0．
故選：A．
3．（3分）如圖所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝4cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（ ）
A．16cmB．19cmC．21cmD．25cm
【答案】C
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到DA＝DC和AC＝2AE＝8cm，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周長＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝21cm，
故選：C．
4．（3分）等腰三角形的周長是13cm，其中一邊長是3cm，則該等腰三角形的腰長為（ ）
A．3cmB．7cmC．5cmD．3cm或5cm
【答案】C
【分析】依題意分兩種情況討論如下：①當該等腰三角形的腰長為3cm時，②當?shù)走呴L為3cm時，對于每一種情況分別求出該等腰三角形的三邊，再利用三角形三邊關系進行判斷即可得出答案．
【解答】解：依題意，分兩種情況討論如下：
①當該等腰三角形的腰長為3cm時，則另一腰也為3cm，
∴底邊長為：13﹣2×3＝7cm，
此時該等腰三角形的三邊為：3cm，3cm，7cm，
∵3+3＜7，不符合構成三角形的條件，不合題意，舍去；
②當?shù)走呴L為3cm時，則腰的長為：（13﹣3）÷2＝5cm，
此時該等腰三角形的三邊為：3cm，5cm，5cm，
∵3+5＞5，符合構成三角形的條件，
∴該等腰三角形的腰長是5cm．
故選：C．
5．（3分）如圖，若△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列說法中不一定正確的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、C、D選項正確，
AB∥B′C′不一定成立，故B選項錯誤，
所以，不一定正確的是B．
故選：B．
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，則AC的長為（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【分析】由題意知，∠B＝30°，根據(jù)，計算求解即可．
【解答】解：由題意知，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴，
故選：C．
7．（3分）下列條件不能得到等邊三角形的是（ ）
A．有一個內(nèi)角是60°的銳角三角形
B．有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形
C．頂角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底邊相等的等腰三角形
【答案】A
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定、等腰三角形的性質進行逐一判斷即可．
【解答】解：因為有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，
所以A選項符合題意；
所以B選項不符合題意；
因為頂角和底角相等的等腰三角形是等邊三角形，
所以C不符合題意；
因為腰和底邊相等的等腰三角形是等邊三角形，
所以D選項不符合題意．
故選：A．
8．（3分）工人師傅常常利用角尺構造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別在取OC＝OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點C、D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是∠AOB的平分線，這里構造全等三角形的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
【答案】A
【分析】根據(jù)題目中的條件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根據(jù)OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并寫出依據(jù)即可．
【解答】解：由題意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故選：A．
9．（3分）如圖，BE為△ABC的外角∠CBD的平分線，若∠A＝50°，∠C＝60°，則∠EBD＝（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形外角性質得出∠CBD，進而利用角平分線的定義解答即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠CBD＝50°+60°＝110°，
∵BE為△ABC的外角∠CBD的平分線，
∴∠EBD，
故選：B．
10．（3分）如圖，將Rt△ABC過點B折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，折痕為BD，現(xiàn)有以下結論：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等邊三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正確的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
【答案】D
【分析】由折疊的性質可得∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，可得DE⊥AB，BD平分∠ABC，由線段垂直平分線的判定可得BD垂直平分EC，由∠ABC不一定等于60°，可得△BEC不一定是等邊三角形，即可求解．
【解答】解：∵將Rt△ABC過點B折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，
∴△BCD≌△BED，
∴∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，
∴DE⊥AB，BD平分∠ABC，故①②③正確，
∵DE＝DC，BE＝BC，
∴BD垂直平分EC，故⑤正確，
∵∠ABC不一定等于60°，
∴△BEC不一定是等邊三角形，故④錯誤，
故選：D．
二．填空題（共6小題）
11．（3分）等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是 40 度．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】首先判斷出與80°角相鄰的內(nèi)角是底角還是頂角，然后再結合等腰三角形的性質及三角形內(nèi)角和定理進行計算．
【解答】解：與80°角相鄰的內(nèi)角度數(shù)為100°；
當100°角是底角時，100°+100°＞180°，不符合三角形內(nèi)角和定理，此種情況不成立；
當100°角是頂角時，底角的度數(shù)＝80°÷2＝40°；
故此等腰三角形的底角為40°．
故答案為：40．
12．（3分）直角三角形的兩個銳角的度數(shù)比為1：4，則較小的銳角是 18° ．
【答案】18°．
【分析】先根據(jù)角度比例設出未知數(shù)，再根據(jù)直角三角形銳角互余的性質列方程，求解即可．
【解答】解：設兩個銳角度數(shù)為x°，4x°，
由題意得：x+4x＝90，
解得：x＝18，
∴較小的銳角是18°．
故答案為：18°．
13．（3分）若a，b，c為三角形的三邊長，且a，b滿足（b﹣7）2＝0，那么c的取值范圍是 4＜c＜10 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】直接利用二次根式以及偶次方的性質得出a，b的值，再利用三角形三邊關系得出答案．
【解答】解：∵（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
解得：a＝3，b＝7，
∵a，b，c為三角形的三邊，
∴4＜c＜10．
故答案為：4＜c＜10．
14．（3分）如圖，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝50°，則∠EFA＝ 65° ．
【答案】65°．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質到了以及等腰三角形的性質即可得到結論．
【解答】解：在△ABC與△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠EFA＝∠C，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
∴∠BAE＝∠CAF＝50°，
∴∠EFA＝∠AFC＝∠C（180°﹣50°）＝65°，
故答案為：65°．
15．（3分）如圖，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可求出BD的長為 3 ．
【答案】3．
【分析】先根據(jù)等邊三角形的判定和性質求出BC＝AB＝6，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質解答即可．
【解答】解：由作圖可知AB＝AC，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴BD＝CDBC＝3．
故答案為：3．
16．（3分）已知：如圖所示，M（3，2），N（1，﹣1）．點P在y軸上使PM+PN最短，則P點坐標為 （0，） ．
【答案】（0，）．
【分析】找出點N關于y軸的對稱點，連接M與對稱點，與y軸的交點為P點，根據(jù)兩點之間，線段最短得到此時點P在y軸上，且能使PM+PN最短．根據(jù)關于y軸對 稱點的特點，找出N對稱點的坐標，設出直線MP的方 程，把N的對稱點的坐標和M的坐標代入即可確定出直 線MP的方程，然后令x＝0求出直線與y軸的交點，寫出交點坐標即為點P的坐標．
【解答】解：找出點N關于y軸的對稱點N’，連接MN’，與y軸交點為所求的點P，
設直線MN’的解析式為y＝kx+b，
把M（3，2），N（1，1）代入得：
，解得，
所以，
令x＝0，求得y，
則點P坐標為（0，）．
故答案為：（0，）．
三．解答題（共9小題）
17．計算：（1）；
（2）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）直接利用絕對值的性質、立方根的性質、有理數(shù)的乘方運算法則、二次根式的性質分別化簡，進而計算得出答案；
（2）直接利用絕對值的性質、立方根的性質、二次根式的性質分別化簡，進而計算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣16×（﹣1）+2﹣5
＝16+2﹣5
＝13；
（2）原式＝2（2）+9﹣3
＝1﹣29﹣3
＝5．
18．解方程組或不等式組：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）﹣4＜x≤2．
【分析】（1）直接利用加減消元法解方程組即可；
（2）分別解不等式組中的兩個不等式，再確定不等式的解集的公共部分即可．
【解答】解：（1），
①+②得，
3x＝3
解得：x＝1，
將x＝1代①入得，
y＝﹣2；
則該方程組的解為；
（2），
由①得：x＞﹣4，
由②得：7x+1﹣5≤5x，
∴2x≤4，
解得：x≤2，
∴不等式組的解集為：﹣4＜x≤2；
19．如圖，在直角坐標系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；
（2）寫出點A1，B1，C1的坐標；
（3）求△ABC的面積．
【答案】（1）△A1B1C1即為所求；
（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；
（3）．
【分析】（1）根據(jù)對稱性即可在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；
（2）結合（1）即可寫出點A1，B1，C1的坐標；
（3）根據(jù)網(wǎng)格利用割補法即可求△ABC的面積．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；
（3）△ABC的面積為：3×52×51×32×3．
20．某校想了解學生每周的課外閱讀時間情況，隨機調查了部分學生，對學生每周的課外閱讀時間x（單位：小時）進行分組整理，并繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖（B所對應的是21人）．根據(jù)圖中提供的信息．解答下列問題：
（1）這次抽樣調查的學生人數(shù)是 100 人；并補全頻數(shù)分布直方圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖m的值為 40 ，其中“E”組對應的圓心角度數(shù)為 14.4° ；
（3）已知該校共有學生3000人，請根據(jù)調查結果估計該校每周課外閱讀時間不少于6小時的學生人數(shù)．
【答案】（1）100；
（2）40；14.4°；
（3）870人．
【分析】（1）A組人數(shù)÷A組所占百分比＝被調查總人數(shù)，將總人數(shù)×D組所占百分比求出D組人數(shù)，即可補全頻數(shù)分布直方圖；
（2）C組人數(shù)÷調查總人數(shù)×100即可得m的值；E組對應的圓心角度數(shù)＝E組占調查人數(shù)比例×360°；
（5）將樣本中課外閱讀時間不少于6小時的百分比乘以3000可得．
【解答】解：（1）這次被調查的學生共有：10÷10%＝100（人），
D組人數(shù)為：100×25%＝25（人），
補全圖形如下：
故答案為：100；
（2）m100＝40，E組對應的圓心角為：360°＝14.4°；
故答案為：40；14.4°；
（5）3000×（25+4）%＝870（人）．
答：估計該校每周課外閱讀時間不少于6小時的學生人數(shù)約為870人．
21．如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BE＝CD，BD與CE交于點O．
（1）求證：△COD≌△BOE；
（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的長．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）7．
【分析】（1）利用AAS即可證明△COD≌△BOE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質及線段的和差求出CE＝BD，利用AAS證明△ACE≌△ABD，根據(jù)全等三角形的性質及線段的和差求解即可．
【解答】（1）證明：在△COD和△BOE中，
，
∴△COD≌△BOE（AAS）；
（2）解：∵△COD≌△BOE，
∴OC＝OB，OD＝OE，
∴OC+OE＝OB+OD，
即CE＝BD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（AAS），
∴AE＝AD＝5，
∵CD＝2，
∴AC＝AD+CD＝7．
22．如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，求證：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC＝∠CEB＝90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB；
（2）由△ADC≌△CEB得到AD＝CE，DC＝BE，進而完成證明．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠CEB，∠ACD＝∠CBE，AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）證明：∵△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD．
23．已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．
（1）求證：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度數(shù)；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，通過全等三角形的判定定理SAS證得結論；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應角相等和三角形外角的性質求得∠BPQ＝60°；
（3）利用（2）的結果求得∠PBQ＝30°，所以由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ＝BP＝6，則易求BE＝BP+PE＝7．
【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB與△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴BE＝AD；
（2）由（1）知，△AEB≌△CDA，則∠ABE＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°；
（3）如圖，由（2）知∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQBP＝3，
∴BP＝6
∴BE＝BP+PE＝7，即AD＝7．
24．定義：三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點，這個點叫做三角形的珺琟點．
（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝50°，P為△ABC的珺琟點，求∠BPC的角度；
（2）如圖2，P為△ABC的珺琟點，延長AP交BC于點D，已知AB＝10，AC＝8，求的值；
（3）如圖3，P為△ABC的珺琟點，連接PB、PC，M為邊AB上一點，連接MP并延長交AC于點N，若∠ANM＝∠ABC，求證：BM+CN＝MN．
【答案】（1）115°；
（2）；
（3）見解析．
【分析】（1）利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和即可求解；
（2）過點D分別作AB、AC的垂線，垂足分別為E、F，利用面積關系即可求解；
（3）過點P作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接AP；由平行線的性質及角平分線定義得EF＝BE+CF；證明△APM≌△APF，再證明△MPE≌△FPN，則可得EM＝FN，PM＝PF，EP＝NP；由MN＝MP+PN＝PF+PE＝EF，再進行等量代換、線段和差即可完成．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝50°，P為△ABC的珺琟點，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°；
∴，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝115°；
（2）解：過點D分別作AB、AC的垂線，垂足分別為E、F，如圖2；
∵P為△ABC的珺琟點，延長AP交BC于點D，已知AB＝10，AC＝8，
∴DE＝DF；
∵，，
∴；
（3）證明：P為△ABC的珺琟點，連接PB、PC，M為邊AB上一點，連接MP并延長交AC于點N，如圖3，過點P作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接AP，
∴∠3＝∠2；
∵P為△ABC的珺琟點，
∴∠1＝∠2，∠4＝∠5，
∴∠1＝∠3，
∴BE＝PE；
同理：PF＝CF，
∴EF＝PE+PF＝BE+CF；
∵∠ANM＝∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠ANM+∠AMN＝180°，
∴∠AMN＝∠ACB；
∵EF∥BC，
∴∠AFP＝∠ACB，
∴∠AFP＝∠AMN；
∵∠4＝∠5，AP＝AP，
∴△APM≌△APF（AAS），
∴PM＝PF；
∵∠AFP＝∠AMN，
∴∠PFN＝∠PME；
∵PM＝PF，∠MPE＝∠FPN，
∴△MPE≌△FPN（ASA），
∴EM＝FN，EP＝NP；
∵MN＝MP+PN＝PF+PE＝EF，
∴EF＝BE+CF＝BM﹣EM+CN+FN＝BM+CN，
∴MN＝BM+CN．
25．如圖，在平面直角坐標系中，點A（a，0），點B（b，0），且a，b滿足（a+b）2+|b﹣3|＝0，△ABC是等邊三角形，
（1）求點A，點B的坐標；
（2）如圖，在△ABC的外角平分線上有一點Q：
①連接CQ，當CQ最小時，求BQ的長度；
②在x軸上有一動點P使得∠CPQ＝60°不變，當PB＝2時，求點Q的橫坐標．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，0）
（2）①BQ＝3；②5或7
【分析】（1）由非負數(shù)的性質即可求得a，b的值，從而求得A、B的坐標；
（2）①當CQ⊥BQ時，CQ最小，利用含30度直角三角形性質即可求解；
②分兩種情況：當點P在點B左側時，過點P作PH∥BC，證明△PBQ≌△CHP，則得BQ＝PH，過Q作QE⊥x軸于E，利用含30度直角三角形性質即可求解；當點P在點B右側時，同理可得．
【解答】解：（1）在平面直角坐標系中，點A（a，0），點B（b，0），且a，b滿足（a+b）2+|b﹣3|＝0，
∵（a+b）2≥0，|b﹣3|≥0，
∴（a+b）2＝0，|b﹣3|＝0，
即a+b＝0，b﹣3＝0，
解得：b＝3，a＝﹣3，
∴點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（3，0）；
（2）在平面直角坐標系中，△ABC是等邊三角形，在△ABC的外角平分線上有一點Q，
∴BP是△ABC的外角平分線，
∴∠ABC＝60°，，BC＝AB，
由題意知AB＝BC＝6；
分兩種情況討論：
①當CQ⊥BQ時，CQ最小，
則∠BCQ＝90°﹣∠CBQ＝30°，
∴；
②當點P在點B左側時，如圖2，過點P作PH∥BC交AC于H；
則∠APH＝∠ABC＝60°，∠AHP＝∠ACB＝60°，
而∠CAB＝60°，
∴△AHP是等邊三角形，
∴AH＝PH＝AP＝AB﹣PB＝4；
∴HC＝AC﹣AH＝2＝PB；
∵∠CPQ＝∠CAB＝60°，
∴∠APC+∠QPB＝∠APC+∠PCH＝180°﹣60°＝120°，
∴∠QPB＝∠PCH；
∵∠PHC＝∠PBQ＝120°，
∴△PBQ≌△CHP，
∴BQ＝PH＝4；
過Q作QE⊥x軸于E，
∵BQ平分∠CBE，且∠CBE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴，
∴∠BQE＝30°，
∴，
∴OE＝OB+BE＝3+2＝5，
即點Q的橫坐標為5；
當點P在點B右側時，如圖3，過點P作PH∥BC交AC延長線于H；
則△APH是等邊三角形，且AH＝AP＝PH＝6+2＝8，
∴CH＝PB＝2；
同理證明△PBQ≌△CHP，
∴BQ＝PH＝8；
過Q作QE⊥x軸于E，則∠BQE＝30°，
∴，
∴OE＝OB+BE＝7，
即點Q的橫坐標為7．
綜上，點Q的橫坐標為5或7．
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