長(zhǎng)沙市青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年下學(xué)期第一次月考八年級(jí)數(shù)學(xué)試題及參考答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.下列圖案是部分剪紙圖案，其中圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)圖形識(shí)別，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，進(jìn)行判斷即可．解題的關(guān)鍵是找到對(duì)稱(chēng)軸．【詳解】解：A.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；B.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
C.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；D.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；故選C．
2.下面計(jì)算正確的是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，逐一判斷即可，先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類(lèi)二次根式．
【詳解】解：A.3與不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，所以B選項(xiàng)正確；
C.，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．
3.機(jī)器人的研發(fā)是當(dāng)今時(shí)代研究的重點(diǎn)．中國(guó)科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所研發(fā)的新型DNA工業(yè)納米機(jī)器人，其大小僅約100nm．已知，則用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為整數(shù)，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．據(jù)此求解即可．
【詳解】解：，故選：A．
4.已知，則的值是（）
A.9B.27C.D.
【答案】B
【解析】【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則結(jié)合整體代入法，進(jìn)行解題即可．
【詳解】解：∵，∴，∴．故選：B．
5.如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】本題主要考查的是坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．本題考查坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，由B，C的坐標(biāo)求出線段的長(zhǎng)度，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：平行四邊形的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，
，
B，C的縱坐標(biāo)相等，
軸，
，
軸，
又頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是，，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，故選C．
6.五根木棒（單位：）的長(zhǎng)度分別為5，9，12，13，17，從其中選出三根，將它們首尾相接擺成三角形，其中能擺成直角三角形的是（）
A.5，9，12B.9，12，17C.12，13，17D.5，12，13
【答案】D
【解析】【分析】本題考查勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A.，不能擺成直角三角形，不符合題意；
B.，不能擺成直角三角形，不符合題意；
C.，不能擺成直角三角形，不符合題意；
D.，能擺成直角三角形，符合題意；故選D．
7.計(jì)算結(jié)果是（）
A.B.4C.D.
【答案】D
【解析】【分析】本題考查了積的乘方逆用，以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．把原式變形為，逆用積的乘方計(jì)算即可．
【詳解】解：
故選D．
8.如果把分式中的和都擴(kuò)大倍，那么分式的值（）
A.縮小到原來(lái)的B.擴(kuò)大倍
C.不變D.縮小到原來(lái)的
【答案】A
【解析】【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
先把分式中的和都擴(kuò)大倍，化簡(jiǎn)之后與原分式比較即可解答．
【詳解】解：如果把分式中的和都擴(kuò)大倍可得：，
那么分式的值縮小到原來(lái)的，故選：A．
9.如圖，任意四邊形各邊中點(diǎn)分別是．若對(duì)角線.長(zhǎng)分別是.，則四邊形的周長(zhǎng)是（）

A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm
【答案】B
【解析】【分析】利用三角形中位線定理易得所求四邊形的各邊長(zhǎng)都等于或的一半，進(jìn)而求四邊形周長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵E，F(xiàn)，G，H，是四邊形各邊中點(diǎn)，
∴，，．
又∵，，
∴四邊形的周長(zhǎng)是．故選：B．
10.如圖，已知四邊形為正方形，，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以為鄰邊作矩形，連接．下列結(jié)論：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（）
A.①③④B.①②④C.①②③D.①②③④
【答案】A
【解析】【分析】過(guò)作于，于，證明得到，即可判斷①；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不一定等于，即可判斷②；根據(jù)正方形性質(zhì)得，，推出，得到，，即可判斷④；進(jìn)而得到，即可判斷③，綜上即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)作于，于，則，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正確；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴不一定等于，故②錯(cuò)誤；
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，故④正確；
∵，
∴，
∴，
∴平分，故③正確；綜上，結(jié)論正確的序號(hào)有①③④，故選：．
二.填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11.分解因式：__________．
【答案】
【解析】【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：原式；故答案為：．
12.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的值可以是_________．
【答案】1
【解析】【分析】本題考查了分式及二次根式有意義的條件，掌握分式及二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式及二次根式有意義的條件即可得出答案．
【詳解】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，，∴的值可以是1．故答案為：1．
13.如圖，數(shù)軸上點(diǎn).所表示的數(shù)分別是，過(guò)點(diǎn)作數(shù)軸，個(gè)單位長(zhǎng)度，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸上點(diǎn)的左側(cè)一點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是______．
【答案】
【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出，即可得到答案．
【詳解】解：數(shù)軸，
數(shù)軸上點(diǎn).所表示的數(shù)分別是，，
，，，
點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：．
14.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是__________．

【答案】
【解析】【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性質(zhì)得到即可解答．本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：作軸，軸，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴，，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)，故答案為．
15.如圖，平分，，，于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】2
【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，過(guò)作于點(diǎn)，則，由角平分線的性質(zhì)得，，又得，最后由角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求解，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過(guò)作于點(diǎn)，則，
∴平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故答案為：2．
16.若為整數(shù)，則使的值為整數(shù)的有__________個(gè)．
【答案】
【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．先化簡(jiǎn)分式，然后利用整數(shù)的整除性求出的值即可求解．
【詳解】解：
要使分式的值為整數(shù)，且為整數(shù)，∴，，
又∵，∴，，∴符合題意的整數(shù)的值共有個(gè)．故答案為：．
三.解答題（本大題共9個(gè)小題，第題每小題6分，第20.21題每小題6分，第22.23題每小題6分，第24.25題每小題6分，共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟）
17.計(jì)算：．
【答案】
【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先進(jìn)行去絕對(duì)值，二次根式的乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：原式．
18. 先化簡(jiǎn)再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再代值求解即可．熟練掌握運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
當(dāng)，原式．
19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為，，．
（1）在圖中畫(huà)出△ABC關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的；
（2）求△ABC的周長(zhǎng)．
【答案】（1）圖見(jiàn)解析（2）
【解析】【分析】本題考查坐標(biāo)與軸對(duì)稱(chēng)，勾股定理：
（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，畫(huà)出即可；
（2）勾股定理求出的長(zhǎng)，求和即可．
【小問(wèn)1詳解】解：如圖即為所求；
【小問(wèn)2詳解】由勾股定理，得：，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：．
20.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且四邊形為正方形．
（1）求證：；
（2）已知平行四邊形的面積為20，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）
【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)正方形性質(zhì)得出，根據(jù)，得出；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，求出，得出，根據(jù)勾股定理求出即可．
【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵正方形，∴，∴，∴；
【小問(wèn)2詳解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，根據(jù)勾股定理得：．
21.《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：小汽車(chē)在高速道路上行駛速度不得超過(guò)高速路邊也會(huì)安裝車(chē)速檢測(cè)儀對(duì)過(guò)往車(chē)輛進(jìn)行限速檢測(cè)，如圖所示，點(diǎn)裝有一車(chē)速檢測(cè)儀，它到公路邊的距離米，小汽車(chē)行駛過(guò)檢測(cè)儀監(jiān)控區(qū)域，到達(dá)點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，離開(kāi)點(diǎn)時(shí)停止計(jì)時(shí)，依此計(jì)算車(chē)速，已知米．
（1）若一輛汽車(chē)以時(shí)速勻速通過(guò)監(jiān)控區(qū)域，共用時(shí)幾秒
（2）若另一輛車(chē)通過(guò)監(jiān)控區(qū)域共用時(shí)秒，該車(chē)是否超速請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）（2）超速，理由見(jiàn)解析
【解析】【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用：
（1）勾股定理求出的長(zhǎng)，利用時(shí)間等于路程除以速度進(jìn)行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以時(shí)間求出車(chē)速，進(jìn)行判斷即可．
【小問(wèn)1詳解】解：依題意可得，，，為直角三角形，
米，米，米，
，；答：共用時(shí)4秒；
【小問(wèn)2詳解】超速，理由如下：，
，超速．
22.初二年級(jí)購(gòu)進(jìn)光學(xué)和電學(xué)兩種器材，花費(fèi)分別是35000元和70000元，電學(xué)器材訂購(gòu)單價(jià)是光學(xué)器材訂購(gòu)單價(jià)的1.4倍，并且訂購(gòu)的電學(xué)器材的數(shù)量比光學(xué)器材的數(shù)量多150套．設(shè)購(gòu)買(mǎi)光學(xué)器材的單價(jià)為元．
（1）初二年級(jí)購(gòu)買(mǎi)的兩種實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)各為多少元？
（2）初二年級(jí)某班計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種器材共10套來(lái)備用，其中電學(xué)器材訂購(gòu)數(shù)量不低于3套，且兩種器材總費(fèi)用不超過(guò)1240元，這個(gè)班訂購(gòu)這兩種器材有多少種方案？按照這些方案訂購(gòu)最低總費(fèi)用為多少元？
【答案】（1）購(gòu)買(mǎi)光學(xué)器材的單價(jià)為元，購(gòu)買(mǎi)電學(xué)器材的單價(jià)為元
（2）有4種方案，最低費(fèi)用為元
【解析】【分析】本題考查分式方程和一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用：
（1）根據(jù)電學(xué)器材訂購(gòu)單價(jià)是光學(xué)器材訂購(gòu)單價(jià)的1.4倍，并且訂購(gòu)的電學(xué)器材的數(shù)量比光學(xué)器材的數(shù)量多150套，列出方程進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)電學(xué)器材訂購(gòu)數(shù)量為套，根據(jù)題意，列出不等式組，求出正整數(shù)解即可．
【小問(wèn)1詳解】解：由題意，得：，解得：；
將檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意；∴，
答：購(gòu)買(mǎi)光學(xué)器材的單價(jià)為元，購(gòu)買(mǎi)電學(xué)器材的單價(jià)為元；
【小問(wèn)2詳解】設(shè)電學(xué)器材訂購(gòu)數(shù)量為套，則：光學(xué)器材的訂購(gòu)數(shù)量為套；由題意，得：
，解得：，
∵為正整數(shù)，∴，
∴共有4種方案：
方案一：電學(xué)器材訂購(gòu)套，光學(xué)器材訂購(gòu)套，總費(fèi)用為：（元）；
方案二：電學(xué)器材訂購(gòu)套，光學(xué)器材訂購(gòu)套，總費(fèi)用為：（元）；
方案三：電學(xué)器材訂購(gòu)套，光學(xué)器材訂購(gòu)套，總費(fèi)用為：（元）；
方案四：電學(xué)器材訂購(gòu)套，光學(xué)器材訂購(gòu)套，總費(fèi)用為：（元）；
最低費(fèi)用為：元；答：有4種方案，最低費(fèi)用為元．
23.如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，垂直平分，分別交..于點(diǎn)..，連接.．
（1）求證：；
（2）求證：四邊形是菱形；
（3）若，為的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）15
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用證明即可；
（2）由（1）可知：，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形即可得證；
（3）易得為的中位線，設(shè)，，勾股定理求出的值，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，菱形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】解：∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知：，
∴，
∵垂直平分，
∴互相垂直平分，
∴四邊形是菱形；
【小問(wèn)3詳解】∵，為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴為的中位線，
∴，
∴，
∵，
∴設(shè)，，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，，，
設(shè)，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴．
24.我們定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形叫做至善四邊形．如圖1，且，則四邊形是至善四邊形．
（1）下列四邊形一定是至善四邊形的有__________．
①平行四邊形；②矩形；③菱形：④正方形；
（2）如圖2，四邊形為至善四邊形，，，，求的長(zhǎng)及的度數(shù)．
（3）如圖3，正方形中，為中點(diǎn)，在右邊作等邊，為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求線段與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）④ （2）的長(zhǎng)為，的度數(shù)為（3）
【解析】【分析】（1）根據(jù)至善四邊形的定義及特殊平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
（2）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，根據(jù)至善四邊形的定義推出，證明，得，，證明為等邊三角形，即可得出答案；
（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，證明，得，，推出是等腰直角三角形，得，證明為等邊三角形，得，，進(jìn)一步推出是等腰直角三角形，得，在中，由和可得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】解：①平行四邊形對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)，對(duì)邊相等，它的對(duì)角不一定互補(bǔ)，鄰邊不一定相等，故平行四邊形不是至善四邊形；
②矩形四個(gè)內(nèi)角是直角，對(duì)邊相等，它的對(duì)角互補(bǔ)，但鄰邊不一定相等，故矩形不是至善四邊形；
③菱形對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)，四邊相等，它的一組鄰邊相等，但對(duì)角不一定互補(bǔ)，故菱形不是至善四邊形；
④正方形四個(gè)內(nèi)角是直角，四邊相等，它的對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等，故正方形是至善四邊形；
故答案為：④；
【小問(wèn)2詳解】如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，
∴，
∵四邊形為至善四邊形，，，，
∴，
∴，
在△ABC和△ADE中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴的長(zhǎng)為，的度數(shù)為；
【小問(wèn)3詳解】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，即，，
∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，∴，
∴，∴．
25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以每秒1個(gè)單位移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了秒，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)；將沿直線翻折到，延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）或
（3）
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，易得軸，得到，折疊得到，進(jìn)而得到，即可得證；
（2）分點(diǎn)在軸負(fù)半軸和正半軸兩種情況，進(jìn)行討論求解即可；
（3）連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到垂直平分，等積法求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用等積法求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】證明：∵，，
∴軸，
∴，
∵折疊，
∴，
∴；
∴；
【小問(wèn)2詳解】∵，，，，
∴軸，，，
①當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖，
由（1）知：，
∴設(shè)，則：，
∴，
在中，由勾股定理，得：，∴，∴；
②當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，如圖：
設(shè)，則：，
∴，
在中，由勾股定理定理，得：，
解得：，
∴；
綜上：或；
【小問(wèn)3詳解】連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，
∵折疊，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴軸，
由題意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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