（本套試題共7頁，19小題，考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）
一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知為實數(shù)，直線，則“”是“”的
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.是衡量空氣質量的重要指標.如圖是某地9月1日到10日的日均值（單位：）的折線圖，則下列說法錯誤的是（ ）
A.這10天中日均值的眾數(shù)為
B.這10天中日均值的中位數(shù)是
C.這10天中日均值的中位數(shù)大于平均數(shù)
D.這10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差
3.直線與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.在空間直角坐標系中，已知，則點到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.1
5.我國古代數(shù)學名著《九章算術》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，而北鄉(xiāng)需遣一百人，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？”其意思為：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調300人，而北面共征調100人（用分層抽樣的方法），則北面共有（ ）人.”
A.7200 B.8100 C.2496 D.2304
6.甲?乙兩人各加工一個零件，若甲?乙加工的零件為一等品的概率分別是和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（ ）
A. B. C. D.
7.數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點為，則該三角形的歐拉線方程為（ ）
A. B.
C. D.
8.在棱長為的正方體中，分別為的中點，點在正方體表面上運動，且滿足則點軌跡的長度是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體被抽到的概率是0.1
B.數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23
C.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5
D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的方差是16
10.同時拋出兩枚質地均勻的骰子甲?乙，記事件：甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件：甲?乙骰子點數(shù)相同.下列說法正確的有（ ）
A.事件與事件對立 B.事件與事件相互獨立
C.事件與事件相互獨立 D.
11.如圖，在棱長為2的正方體中，點是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點是棱的中點，則以下命題正確的是（ ）
A.三棱錐的體積是定值
B.存在點，使得與所成的角為
C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
D.若，則的軌跡的長度為
第II卷（非選擇題）
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.若向量是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為__________.
13.如圖，三棱柱中，底面邊長和側棱長都等于，求異面直線與所成角的余弦值為__________.
14.甲?乙二人做擲骰子游戲，兩人擲同一枚骰子各一次，則至少出現(xiàn)一個5點或6點的概率是__________；如果誰擲的點數(shù)大誰就取勝，則甲取勝的概率為__________.
四?解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15.某保險公司決定每月給推銷員確定個具體的銷售目標，對推銷員實行目標管理.銷售目標確定的適當與否，直接影響公司的經(jīng)濟效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當月隨機抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
求：
（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率，并根據(jù)直方圖估計，月銷售目標定為多少萬元時，能夠使70%的推銷員完成任務.
（2）該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗，求選出的推銷員來自不同小組的概率.
（3）第一組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為13，方差1.96，第七組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為25，方差3.16，求這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)，方差.
16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，已知.
（1）求角B的大??；
（2）若，且的面積為，求的周長.
17.如圖，在四棱錐中，，平面平面.
（1）證明：平面；
（2）若，四棱錐的體積為2，求二面角的正弦值.
18.在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手.
（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（2）表示3號歌手得到觀眾甲?乙?丙的票數(shù)之和，求“”的事件概率.
19.如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，為棱上的動點.
（1）是否存在一點，使得面？若存在，指出點位置，并證明你的結論，若不存在，說明理由；
（2）若直線與平面CFG所成的角的正弦值為，求三棱錐的體積；
（3）求三棱錐的外接球半徑的最小值.
答案
1-8BCBD ACAD
9.ABD 10.BC 11.ACD
12.【答案】 13【答案】
14.【答案】；
【分析】設，可知，利用兩角和差公式可得，換元令，結合二次函數(shù)性質求最值.
【詳解】設，則，
顯然，且，
則，可得，
因為
，
令，則，
可得，
因為開口向下，對稱軸為，
可知在內(nèi)單調遞減，則的最大值為，
所以的最大值為.
故答案為：.
15.【答案】（1）萬元（2）0.6（3）平均數(shù)17.8，方差37
【解析】
（1）月銷售額在）小組內(nèi)的頻率為
，
若要使70%的推銷員完成月銷售額目標，則意味著的推銷員不能完成月銷售額目標，
根據(jù)題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為0.18，
和及三組的頻率之和為0.42，
故估計月銷售目標應定為萬元；
【小問2詳解】
第一組3人記為，第七組2人，
則選取2位推銷員有，
共10種情形，
“選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗，求選出的推銷員來自不同小組”記為事件，
則事件包含有共6種情形，
所以；
【小問3詳解】
第一組3人，第七組2人，
則這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)為，
方差.
16.【答案】（1）；（2）.
【小問1詳解】
在中，由及正弦定理得，
而，則，
由，得，，于是，又，
所以.
【小問2詳解】
由，且的面積為，得，即，解得，
由余弦定理得，
所以的周長為.
17.【詳解】（1）如圖，取中點，連接與交于點，
，∴，∵，，，
∴四邊形為正方形，∴，
∵平面⊥平面且平面平面，平面，
∴平面又∵且，
∴，∴AD⊥平面
（2）∵，為正方形中心，故，
∴，
又∵平面⊥平面且平面平面，平面，
∴平面
，
∴
如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
，∴，∴則
由（1）可知是平面的一個法向量，
設是平面的一個法向量，
則即
設則，即是平面的一個法向量，
設二面角為，則，∴
18.【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）設表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”則事件與相互獨立與相互獨立
則表示事件“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”
即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率是
（2）設表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則
依題意，相互獨立，相互獨立，且彼此互斥
故“”的事件的概率為
19.【答案】（1）存在點G為的中點，證明見解析；（2）；（3）
【解析】（1）存在一點，當點為的中點，使得面，
連接，如圖所示：
點分別是的中點，，又，且，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，且平面平面.
（2）以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，連接，
則，
面的法向量.解得
（3）
因為
所以即
因為平面平面，所以平面，
又因為，所以三棱錐的外接球的球心在上，
設外接球球心為，
設，則的坐標為，設，
則，即，
所以，設，則，
則，
而，當且僅當，即時，等號成立，因為，所以，
三棱錐的外接球的半徑，
因為，所以，所以，
三棱錐的外接球半徑的最小值為.
備選
9.某中學高二學生500人，首選科目為物理的300人，首選科目為歷史的200人，現(xiàn)對高二年級全體學生進行數(shù)學學科質量檢測，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計算得到首選科目為物理的學生該次質量檢測的數(shù)學平均成績?yōu)?5分，方差為154，首選科目為歷史的平均成績?yōu)?5分，所有樣本的標準差為16，下列說法中正確的是（ ）
A.首選科目為歷史的學生樣本容量為20
B.所有樣本的均值為87分
C.每個首選科目為歷史的學生被抽入到樣本的概率為
D.首選科目為歷史的學生的成績的標準差為13
【答案】ABD
18.（17分）（2023高二山東青島學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，平面平面是的中點.
（1）求證：；
（2）若點在線段上，異面直線和所成角的余弦值為，求面與面夾角的余弦值.
7.根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數(shù).算籌計數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示.如果用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不一樣多的概率為（ ）
A. B. C. D.
7.甲?乙兩人各加工一個零件，若甲?乙加工的零件為一等品的概率分別是和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8.如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是，且是互相獨立的，燈亮的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

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