1.若式子 2x?4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是( )
A. x≠2B. x≥2C. x≤2D. x≠?2
2.等式 xx?3= x x?3成立的條件是( )
A. x≠3B. x≥0C. x≥0且x≠3D. x>3
3.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)是( )
A. 2B. ?1C. 2?1D. ?1? 2
4.下列二次根式：① 12；② 22；③ 23；④ 27中，能與 3合并的是( )
A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④
5.在△ABC中，下列條件：①∠A=∠C?∠B；②a2=b2?c2；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a=2，b=2，c=2 2.能判斷△ABC是直角三角形的有( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
6.如圖，在矩形COED中，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,3)，則CE的長是( )
A. 3
B. 2 2
C. 10
D. 4
7.如圖，是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)的最短路程是( )
A. 20 3B. 25 2
C. 20D. 25
8.《九章算術(shù)》勾股章有一個(gè)問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時(shí)繩索用盡，請問：繩索有多長？若設(shè)繩索長x尺，根據(jù)題意，可列方程為( )
A. 82+x2=x2B. 82+(x?3)2=x2
C. 82+x2=(x?3)2D. x2+(x?3)2=82
9.如圖所示，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．若AB=6，BC=8，則△BOE的周長為( )
A. 10
B. 8+2 5
C. 8+2 13
D. 14
10.將五個(gè)邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A、B、C、D分別是四個(gè)正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為( )
A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.計(jì)算：(2? 5)2023(2+ 5)2024= ______．
12.若y= x?3+ 3?x+2，則xy=______．
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)C坐標(biāo)是(6,8)，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是______．
14.如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3，則△ABC的周長為______．
15.如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地AB=2.5米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會自動打開．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)(BC=1.2米)，感應(yīng)門自動打開，則AD=_____米．
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題10分)
計(jì)算．
(1) 18?4 12+ 24÷ 3；
(2)( 5? 2)( 5+ 2)?( 3?1)2．
17.(本小題9分)
如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別是E、F.求證：
(1)△ABF≌△CDE；
(2)四邊形DEBF是平行四邊形．
18.(本小題9分)
圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測得AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接(即∠ABD=90°)，通過計(jì)算說明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．
19.(本小題9分)
已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？
海倫公式告訴你計(jì)算的方法是：S= p(p?a)(p?b)(p?c)，其中S表示三角形的面積，a，b，c分別表示三邊之長，p表示周長之半，即p=a+b+c2．
我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個(gè)公式基本一致，所以這個(gè)公式也叫“海倫?秦九韶公式”．
請你利用公式解答下列問題．
(1)在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求△ABC的面積；
(2)計(jì)算(1)中△ABC的BC邊上的高．
20.(本小題9分)
小區(qū)內(nèi)有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE=0.6m，將它往前推送1.8m(水平距離BC=1.8m)時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF=1.2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．
21.(本小題9分)
如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AB、BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連接AD、CE．
(1)求證：四邊形ADCE是矩形；
(2)要使四邊形ADCE是正方形，則△ABC需要滿足的條件是______．
22.(本小題10分)
在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積．
某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．
作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，用含x的代數(shù)式表示CD→根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的長，再計(jì)算三角形的面積．
23.(本小題10分)
如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)若AB= 5，BD=2，求OE的長；
(3)在(2)的條件下，已知點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且DM= 2，則CM的長為______．
參考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.C
6.C
7.D
8.B
9.C
10.B
11.?2? 5
12.9
13.(16,8)
14.41
15.1.5
16.解：(1)原式=3 2?2 2+2 2
=3 2；
(2)原式=5?2?3+2 3?1
=2 3?1．
17.證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
(2)∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴BF//DE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
18.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2?AB2=92?62=45，
在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD．
故該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)．
19.解：(1)∵AB=5，BC=6，CA=7，
∴a=6，b=7，c=5，p=a+b+c2=9，
∴△ABC的面積S= 9×(9?6)×(9?7)×(9?5)=6 6．
(2)設(shè)BC邊上的高為?，
∵S△ABC=12×底邊長×高=12×6×?=6 6，
解得?=2 6．
∴BC邊上的高是2 6．
20.解：設(shè)秋千的繩索長為x m，根據(jù)題意可得：
AB=AD=x m，CD=CE?DE=BF?DE=1.2?0.6=0.6(m)，
∴AC=(x?0.6)m，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
(x?0.6)2+1.82=x2，
解得：x=3，
∴繩索AD的長度是3米．
21.∠BAC=90°
【解析】(1)證明：∵在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，
∴BD=DC，∠ADC=90°，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE//BD且AE=BD，
∴AE//DC且AE=DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
又∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形；
(2)解：當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形；
理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∵∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
∴矩形ADCE是正方形．
22.解：在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
設(shè)BD=x，則有CD=BC?BD=14?x，
在△ABD中，由勾股定理得：AD2=AB2?BD2=152?x2，
在△ACD中，由勾股定理得：AD2=AC2?CD2=132?(14?x)2，
所以152?x2=132?(14?x)2，
解之得：x=9，
所以AD2=AB2?BD2=152?92=144
所以AD=12，
所以S△ABC=12BC?AD=12×14×12=84．
23.(1)證明：∵AB//DC，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC為∠DAB的平分線，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB//DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD=AB，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=2，
∴OB=12BD=1，
在Rt△AOB中，AB= 5，OB=1，
∴OA= AB2?OB2= 5?1=2，
∴OE=OA=2．
(3)解：如圖，
在(2)的條件下，OD=12BD=1，OA=OC=2
∵DM= 2，
∴OM= DM2?OM2= ( 2)2?12=1，
∴CM=OA+OM=2+1=3CM=OA?OM=2?1=1

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