?2021-2022學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市長垣縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．＝﹣3 B．＝3 C．＝ D．﹣＝
3．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝ B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
4．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
5．下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br /> A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
6．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，則∠BAE＝（　?。?br />
A．70° B．40° C．75° D．30°
7．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得AB的長為3.6千米，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（　?。┣祝?br />
A．7.2 B．1.2 C．1.8 D．3.6
8．如圖，為了測算出學(xué)校旗桿的高度，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在與旗桿等長的地方打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子底端拉到離旗桿底端5米的地面某處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米，則旗桿的高度是（　?。?br />
A．12 B．13 C．15 D．24
9．如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），則AC的長是（　?。?br />
A．3 B．2 C． D．4
10．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．下列三種說法：
①四邊形EFGH一定是平行四邊形；
②若AC＝BD，則四邊形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形．
其中正確的是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．如圖，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是 　 ?。?br />
12．如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為 　 ?。?br />
13．甲船以24km/h的速度離開港口O向北偏東40°方向航行，乙船同時(shí)離開港口O以10km/h的速度沿一定方向航行，半小時(shí)后分別到達(dá)A、B兩點(diǎn)，且相距13km，則乙船沿 　 　方向航行．

14．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD，已知AB＝6cm，BC＝8cm，則四邊形ODEC的周長為 　 　cm．

15．我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D'處，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為　 ?。?br />
三、解答題（共75分）
16．計(jì)算：
（1）﹣6+；
（2）（3﹣）2+×．
17．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AB＝6，OE＝5．
（1）求BC的長；
（2）求平行四邊形ABCD的面積．

18．一住宅樓發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到，準(zhǔn)備在距大樓9米的C處升起云梯到火災(zāi)窗口展開營救，已知云梯AB長15m，云梯底部B距離地面2米，此時(shí)消防隊(duì)員能否救下等候在距離地面約13米窗口的受困群眾？說說你的理由．

19．如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E，在AD上截取AF＝BE．連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）請用無刻度的直尺在?ABCD內(nèi)找一點(diǎn)P，使∠APB＝90°．（標(biāo)出點(diǎn)P的位置，保留作圖痕跡，不寫作法）

20．如圖：正方形網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長為1，且點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn)．
（1）求△ABC的面積；
（2）通過計(jì)算判斷△ABC的形狀；．
（3）求AB邊上的高．

21．平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，CF＝AE，連接BF，AF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝6，DE＝8，求矩形BFDE的面積．

22．【教材呈現(xiàn)】人教八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)教材第59頁的部分內(nèi)容．
如圖1，把一張矩形紙片按如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什么？
【問題解決】如圖1，已知矩形紙片ABCD（AD＞AB），將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F，折痕為AE，點(diǎn)E在BC上．
求證：四邊形ABEF是正方形．（請完成以下填空）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵折疊，∴∠AFE＝∠B＝90°，
∴四邊形ABEF是矩形，（ 　 ?。?br /> ∵折疊，∴AB＝　 　，
∴四邊形ABEF是正方形．（ 　 　）
【問題拓展】如圖2，已知平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB），將平行四邊形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F，折痕為AE，點(diǎn)E在邊BC上．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形．
（2）連結(jié)BF，若AE＝5，BF＝10，則菱形ABEF的面積為 　 ?。?br />
23．下面是張華設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖．
已知：矩形ABCD．
作法：
①分別以A，B為圓心，以大于AB長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；
②作直線EF；
③以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作弧，交直線EF于點(diǎn)G，連接AG，BG；
根據(jù)張華設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖，解決下列問題：
（1）求∠BAG的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)D作DH∥AG，交直線EF于點(diǎn)H．
①求證：四邊形AGHD為平行四邊形．
②用等式表示平行四邊形AGHD的面積S1和矩形ABCD的面積S2的數(shù)量關(guān)系為 　 　．



參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．
解：A、＝＝，被開方數(shù)不含分母，不是最簡二次根式；
B、，是最簡二次根式；
C、＝2，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式；，不是最簡二次根式；
D、＝2，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式；
故選：B．
2．下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．＝﹣3 B．＝3 C．＝ D．﹣＝
【分析】利用二次根式化簡的法則，二次根式的減法的法則對各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
解：A、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故D不符合題意；
故選：C．
3．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝ B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷選項(xiàng)A和B中的三條線段能否夠構(gòu)成直角三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和可以判斷C和D，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．
解：A、∵（）2＝22+32，故選項(xiàng)A中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
B、∵32+42＝52，故選項(xiàng)B中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大的角∠C＝180°×＝75°，
故選項(xiàng)C中的三角形不能構(gòu)成直角三角形，符合題意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
故選項(xiàng)C中的三角形是直角三角形，不符合題意．
故選：C．
4．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
【分析】分式有意義，分母不等于零；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
解：依題意，得
x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故選：A．
5．下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br /> A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、∵AB∥CD，∠B＝∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能得出四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
6．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，則∠BAE＝（　　）

A．70° B．40° C．75° D．30°
【分析】利用菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝40°．
∵BA＝BE，∴∠BAE＝＝70°．
故選：A．
7．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得AB的長為3.6千米，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（　?。┣祝?br />
A．7.2 B．1.2 C．1.8 D．3.6
【分析】根據(jù)題意可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：由題意得：
AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝3.6千米，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴CM＝AB＝1.8（千米），
故選：C．
8．如圖，為了測算出學(xué)校旗桿的高度，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在與旗桿等長的地方打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子底端拉到離旗桿底端5米的地面某處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米，則旗桿的高度是（　?。?br />
A．12 B．13 C．15 D．24
【分析】設(shè)旗桿的高度為xm，則AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，利用勾股定理得到52+x2＝（x+1）2，然后解方程求出x即可．
解：如圖，
設(shè)旗桿的高度為xm，則AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，
在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，
答：旗桿的高度是12m．
故選：A．
9．如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），則AC的長是（　?。?br />
A．3 B．2 C． D．4
【分析】根據(jù)勾股定理求出OB，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC＝OB，即可得出答案．
解：
連接OB，過B作BM⊥x軸于M，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四邊形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故選：C．
10．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．下列三種說法：
①四邊形EFGH一定是平行四邊形；
②若AC＝BD，則四邊形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形．
其中正確的是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EH∥BD，GF∥BD，EF∥AC，EH＝BD，EF＝AC，根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理判斷即可．
解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，GF∥BD，EF∥AC，EH＝BD，EF＝AC，
∴四邊形EHGF是平行四邊形，故①符合題意；
若AC＝BD，則EF＝EH，
∴平行四邊形EHGF是菱形，故②符合題意；
若AC⊥BD，則EF⊥EH，
∴平行四邊形EHGF是矩形，故③符合題意；
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．如圖，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是 　　．

【分析】利用勾股定理，求得OA的長度即可．
解：根據(jù)勾股定理可知，OA＝＝，
所以A點(diǎn)表示的數(shù)是．
故答案為：．
12．如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為 　15?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
解：由勾股定理得，正方形D的面積＝正方形A的面積+正方形B的面積+正方形C面積＝2+8+5＝15，
故答案為：15．
13．甲船以24km/h的速度離開港口O向北偏東40°方向航行，乙船同時(shí)離開港口O以10km/h的速度沿一定方向航行，半小時(shí)后分別到達(dá)A、B兩點(diǎn)，且相距13km，則乙船沿 　南偏東50°　方向航行．

【分析】根據(jù)已知可得出△AOB是直角三角形，進(jìn)而結(jié)合方向角得出答案．
解：∵甲船以24km/h的速度、乙船以10km/h的速度航行了半小時(shí)，
∴OA＝24×0.5＝12（km），AO＝5km，
∵AB＝13km，
∴52+122＝132，則OB2+AO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3＝40°，
∴乙船沿南偏東50°方向航行．
故答案為：南偏東50°．

14．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD，已知AB＝6cm，BC＝8cm，則四邊形ODEC的周長為 　20　cm．

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，AD＝BC＝8cm，CD＝AB＝6cm，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，求出OC＝OD，根據(jù)菱形的判定得出四邊形OCED是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OD＝OC＝DE＝CE，根據(jù)勾股定理求出AC，再求出OC即可．
解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝8cm，CD＝AB＝6cm，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
又∵OC＝OD
∴四邊形OCED是菱形，
∴OD＝OC＝DE＝CE，
由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
∴AO＝OC＝5cm，
∴OC＝CE＝DE＝OD＝5cm，
即四邊形ODEC的周長為5+5+5+5+5＝20（cm），
故答案為：20．
15．我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D'處，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為?。?，）　．

【分析】由已知條件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根據(jù)勾股定理得到OD′＝＝，于是得到結(jié)論．
解：∵AD′＝AD＝2，
AO＝AB＝1，
∴OD′＝＝，
∵C′D′＝2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故答案為（2，）．
三、解答題（共75分）
16．計(jì)算：
（1）﹣6+；
（2）（3﹣）2+×．
【分析】（1）先把每一個(gè)二次根式化成最簡二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）先算乘法，再算加減，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：（1）﹣6+
＝4﹣2+3
＝5；
（2）（3﹣）2+×
＝9﹣6+5+2
＝14﹣4．
17．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AB＝6，OE＝5．
（1）求BC的長；
（2）求平行四邊形ABCD的面積．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可得O為BD中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得BC的長；
（2）根據(jù)勾股定理可得AC＝8，然后根據(jù)平行四邊形ABCD的面積＝2S△ABC，即可解決問題．
解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DO＝BO，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴BC＝2OE＝10；
（2）∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝8，
∴平行四邊形ABCD的面積＝2S△ABC＝2×AB?AC＝6×8＝48．
18．一住宅樓發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到，準(zhǔn)備在距大樓9米的C處升起云梯到火災(zāi)窗口展開營救，已知云梯AB長15m，云梯底部B距離地面2米，此時(shí)消防隊(duì)員能否救下等候在距離地面約13米窗口的受困群眾？說說你的理由．

【分析】先根據(jù)題意建立直角三角形，然后利用勾股定理求出AB的長度，最后與云梯的長度比較即可得出答案．
解：能救下．理由如下：如圖所示：
由題意得，BD＝9米，AD＝13﹣2＝11米，
在RT△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∴AB2＝（13﹣2）2+92＝121+81＝202，
而152＝225＞202，
故能救下．

19．如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E，在AD上截取AF＝BE．連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）請用無刻度的直尺在?ABCD內(nèi)找一點(diǎn)P，使∠APB＝90°．（標(biāo)出點(diǎn)P的位置，保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定即可證明；
（2）連接AE，BF，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE和BF的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AF∥BE，
∵AF＝BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵BA＝BE，
∴四邊形ABEF是菱形；
（2）如圖所示：點(diǎn)P即為所求：

20．如圖：正方形網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長為1，且點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn)．
（1）求△ABC的面積；
（2）通過計(jì)算判斷△ABC的形狀；．
（3）求AB邊上的高．

【分析】（1）由矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積即可；
（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；
（3）由三角形的面積即可得出結(jié)果．
解：（1）△ABC的面積＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5；

（2）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；

（3）∵AC＝＝2，BC＝，△ABC是直角三角形，
∴AB邊上的高＝＝＝2．
21．平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，CF＝AE，連接BF，AF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝6，DE＝8，求矩形BFDE的面積．

【分析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形即可判定．
（2）首先證明AD＝DF，求出AD即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四邊形BFDE是矩形．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
在Rt△ADE中，∵AE＝6，DE＝8，
∴AD＝＝10，
∴矩形的面積為8×10＝80．
22．【教材呈現(xiàn)】人教八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)教材第59頁的部分內(nèi)容．
如圖1，把一張矩形紙片按如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什么？
【問題解決】如圖1，已知矩形紙片ABCD（AD＞AB），將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F，折痕為AE，點(diǎn)E在BC上．
求證：四邊形ABEF是正方形．（請完成以下填空）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵折疊，∴∠AFE＝∠B＝90°，
∴四邊形ABEF是矩形，（ 　有三個(gè)角是直角的四邊形為矩形?。?br /> ∵折疊，∴AB＝　AF　，
∴四邊形ABEF是正方形．（ 　有一組鄰邊相等的矩形是正方形?。?br /> 【問題拓展】如圖2，已知平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB），將平行四邊形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F，折痕為AE，點(diǎn)E在邊BC上．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形．
（2）連結(jié)BF，若AE＝5，BF＝10，則菱形ABEF的面積為 　25?。?br />
【分析】【問題解決】由矩形的性質(zhì)得∠BAD＝∠B＝90°，再由折疊的性質(zhì)得：∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF，則四邊形ABEF是矩形，然后由AB＝AF，即可得出結(jié)論；
【問題拓展】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，則∠FAE＝∠BEA，再證AB＝BE，則AF＝BE，得四邊形ABEF是平行四邊形，然后由AF＝AB即可得出結(jié)論；
（2）由菱形面積公式得S菱形ABEF＝AE?BF，即可得出答案．
【解答】【問題解決】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠AFE＝∠B＝90°，
∴四邊形ABEF是矩形 （有三個(gè)角是直角的四邊形為矩形），
由折疊的性質(zhì)得：AB＝AF，
∴四邊形ABEF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形），
故答案為：有三個(gè)角是直角的四邊形為矩形，AF，有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
【問題拓展】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
由折疊的性質(zhì)得：AF＝AB，∠BAE＝∠FAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
又∵AF＝AB，
∴平行四邊形ABEF是菱形；
（2）解：如圖2，∵四邊形ABEF是菱形，AE＝5，BF＝10，
∴S菱形ABEF＝AE?BF＝×5×10＝25，
故答案為：25．

23．下面是張華設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖．
已知：矩形ABCD．
作法：
①分別以A，B為圓心，以大于AB長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；
②作直線EF；
③以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作弧，交直線EF于點(diǎn)G，連接AG，BG；
根據(jù)張華設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖，解決下列問題：
（1）求∠BAG的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)D作DH∥AG，交直線EF于點(diǎn)H．
①求證：四邊形AGHD為平行四邊形．
②用等式表示平行四邊形AGHD的面積S1和矩形ABCD的面積S2的數(shù)量關(guān)系為 　S2＝2S1?。?br />
【分析】（1）連接BG，由作圖知，EF是線段AB的垂直平分線，得到AG＝BG，推出△ABG是等邊三角形，于是得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAD＝90°，推出GH∥AD，得到四邊形AGHD是平行四邊形；
②設(shè)EF與AB交于M，根據(jù)矩形和平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：連接BG，
由作圖知，EF是線段AB的垂直平分線，
∴AG＝BG，
∵AB＝AG，
∴AB＝AG＝BG，
∴△ABG是等邊三角形，
∴∠BAG＝60°；
故答案為：60°；

（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴GH∥AD，
∵GH＝AD，
∴四邊形AGHD是平行四邊形；
③解：設(shè)EF與AB交于M，
∵S2＝AD?AB，S1＝HG?AM＝AD?AB＝AD?AB，
∴S2＝2S1，
故答案為：S2＝2S1．



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