【母題來(lái)源】2022年高考浙江卷
【母題題文】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．
（1）寫(xiě)出的普通方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．
【試題解析】【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，所以，即的普通方程為?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以，即的普通方程為?br>由，即的普通方程為．
聯(lián)立，解得：或，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
聯(lián)立，解得：或，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【命題意圖】本題考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)的互化，屬于較為簡(jiǎn)單題目．
【命題方向】這類試題在考查題型上以解答題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力．
常見(jiàn)的命題角度有：
（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化；（2）參數(shù)方程與直角坐標(biāo)互化；（3）直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.
【得分要點(diǎn)】
(1)運(yùn)用極坐標(biāo)，借助極徑的幾何意義；
(2)參數(shù)方程與直角方程的互化，借助直線的參數(shù)的幾何意義；
1．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)且），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為：．
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；
(2)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率．
2．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））在直角坐標(biāo)系xOy中，的圓心為，半徑為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．
(1)求的極坐標(biāo)方程，判斷，的位置關(guān)系；(2)求經(jīng)過(guò)曲線，交點(diǎn)的直線的斜率．
3．（2023·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角．
4．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.曲線的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；
(2)若曲線，的交點(diǎn)為A，B，已知，求.
5．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（其中為直線的傾斜角，t為參數(shù)），在以為O極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為
(1)當(dāng)直線的斜率k=2時(shí)，求曲線C上的點(diǎn)A與直線上的點(diǎn)B間的最小距離；
(2)如果直線與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍.
6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為．
(1)求的參數(shù)方程；
(2)判斷與的位置關(guān)系．
7．（2022·河南·開(kāi)封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)，求的值.
8．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（取相同的單位長(zhǎng)度），曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線，相交于、兩點(diǎn)，曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.
(1)求曲線的普通方程和線段的長(zhǎng)度；
(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最小值．
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
(1)求曲線和曲線除極點(diǎn)外的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
(2)若，分別為曲線和上的異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，求面積的最大值．
10．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)（理））以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且，，以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．
(1)求的極坐標(biāo)方程和所在圓的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，曲線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，求．
專題18坐標(biāo)系與參數(shù)方程
考向一 極坐標(biāo)與參數(shù)方程
【母題來(lái)源】2022年高考浙江卷
【母題題文】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．
（1）寫(xiě)出的普通方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．
【試題解析】【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，所以，即的普通方程為?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以，即的普通方程為?br>由，即的普通方程為．
聯(lián)立，解得：或，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
聯(lián)立，解得：或，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【命題意圖】本題考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)的互化，屬于較為簡(jiǎn)單題目．
【命題方向】這類試題在考查題型上以解答題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力．
常見(jiàn)的命題角度有：
（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化；（2）參數(shù)方程與直角坐標(biāo)互化；（3）直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.
【得分要點(diǎn)】
(1)運(yùn)用極坐標(biāo)，借助極徑的幾何意義；
(2)參數(shù)方程與直角方程的互化，借助直線的參數(shù)的幾何意義；
1．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)且），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為：．
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；
(2)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率．
【答案】(1)；(2)±1
【解析】
【分析】
（1）消參可以把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，可將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程.（2）根據(jù)直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的幾何意義以及韋達(dá)定理即可求解，進(jìn)而可求.
(1)，
；
(2)將代入得，，因?yàn)辄c(diǎn) 在圓內(nèi)，故 在點(diǎn)兩側(cè)，由題意知，，因此，即，
故，解得，進(jìn)而 因此斜率為±1．
2．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））在直角坐標(biāo)系xOy中，的圓心為，半徑為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．
(1)求的極坐標(biāo)方程，判斷，的位置關(guān)系；(2)求經(jīng)過(guò)曲線，交點(diǎn)的直線的斜率．
【答案】(1)，，相交.(2)
【解析】
【分析】
（1）先求解的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換求解的極坐標(biāo)方程，再根據(jù)的直角坐標(biāo)方程，分析，圓心之間的距離與半徑之和差的關(guān)系判斷即可；
（2）根據(jù)，均過(guò)極點(diǎn)，聯(lián)立極坐標(biāo)方程，求解即可
(1)由題意，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，故的極坐標(biāo)方程為，即，又，的極坐標(biāo)方程為，即，.因?yàn)椋?，半徑相等，半徑和為，且，故，相交.
故的極坐標(biāo)方程，，相交.
(2)由（1）：，：均經(jīng)過(guò)極點(diǎn)且相交，聯(lián)立有，顯然，故，即，即經(jīng)過(guò)曲線，交點(diǎn)的直線的斜率為
3．（2023·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為；當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為； (2)或
【解析】
【分析】
（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），討論和時(shí)，消去參數(shù)，即可求出直線的普通方程，因?yàn)?，即可求出曲線的直角坐標(biāo)方程.
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程整理，．因?yàn)?，可設(shè)該方程的兩個(gè)根為，所以，代入即可求出直線的傾斜角.
(1)因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為．
當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為．
因?yàn)?，?br>因?yàn)?，所以?br>所以的直角坐標(biāo)方程為．
(2)曲線的直角坐標(biāo)方程為，
將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程整理，
得．
因?yàn)?，可設(shè)該方程的兩個(gè)根為，
則，．
所以
．
整理得，
故．
因?yàn)?，所以或?br>解得或或，
綜上所述，直線的傾斜角為或．
4．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.曲線的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；
(2)若曲線，的交點(diǎn)為A，B，已知，求.
【答案】(1)（或，），ρ＝4. (2)12
【解析】
【分析】
（1）利用消參法進(jìn)行化簡(jiǎn)曲線方程，然后通過(guò)公式將曲線的普通方程轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程；
（2）利用直線的極坐標(biāo)方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義，聯(lián)立曲線普通方程進(jìn)行計(jì)算即可.
(1)由曲線（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得，
化成極坐標(biāo)方程得.化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程為（或，）.
曲線（θ為參數(shù)）消去參數(shù)θ得.化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程為ρ＝4.
(2)由已知得P在曲線上，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入的直角坐標(biāo)方程，得，
即，即A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，所以.
5．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（其中為直線的傾斜角，t為參數(shù)），在以為O極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為
(1)當(dāng)直線的斜率k=2時(shí)，求曲線C上的點(diǎn)A與直線上的點(diǎn)B間的最小距離；
(2)如果直線與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)互化公式得到曲線C的平面直角坐標(biāo)方程為，設(shè)出曲線上點(diǎn)，求出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，得到曲線C上的點(diǎn)A與直線上的點(diǎn)B間的最小距離；（2）直線的普通方程為：，與曲線C：聯(lián)立消去后用根的判別式得到不等式，求出斜率k的取值范圍.
(1)
兩邊同乘以得：，
所以曲線C的平面直角坐標(biāo)方程為，設(shè)曲線上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)直線的斜率k=2時(shí)，直線方程為，即，
則點(diǎn)到直線距離為，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
故曲線C上的點(diǎn)A與直線上的點(diǎn)B間的最小值為；
(2)直線的普通方程為：，
與曲線C：聯(lián)立得：，
由得：或，
解得：
6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為．
(1)求的參數(shù)方程；
(2)判斷與的位置關(guān)系．
【答案】(1)（為參數(shù)）(2)直線與圓相切.
【解析】
【分析】
（1）先將圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心及半徑，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程即可；
（2）將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系即可.
(1)解：因?yàn)閳A的極坐標(biāo)方程為，則，
則其直角坐標(biāo)方程為，
即，圓心為，半徑為1,
則圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
(2)解：因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，
則，整理得，
所以直線的直角坐標(biāo)方程為，
由（1）得圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心為，半徑為1,
則圓心到直線的距離為，
故直線與圓相切.
7．（2022·河南·開(kāi)封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)，求的值.
【答案】(1)曲線；直線 (2)
【解析】
【分析】
（1）消去參數(shù)t即可得C的普通方程，并用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化即可得直線的普通方程；
（2）寫(xiě)出直線l參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，再與C的普通方程聯(lián)立，借助參數(shù)的幾何意義得解.
(1)曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為，可得；
直線l的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為；
(2)把直線l的方程換成參數(shù)方程，得（t為參數(shù)），代入.
得，∴，顯然異號(hào).
由，
∴.
8．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（取相同的單位長(zhǎng)度），曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線，相交于、兩點(diǎn)，曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.
(1)求曲線的普通方程和線段的長(zhǎng)度；
(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最小值．
【答案】(1)， (2)
【解析】
【分析】
（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可求出的普通方程，求出的普通方程，然后求出圓心到直線的距離，再由圓心距，弦和半徑的關(guān)系可求出的長(zhǎng)度，
（2）由伸縮變換可求出曲線的方程為，設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)到直線的距離，化簡(jiǎn)后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值，從而可求出的面積的最小值
(1)由，得，又，，所以．
由（為參數(shù)），消去參數(shù)得，
的圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離為
，所以.
(2)曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線，則，即曲線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為
（其中，），
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，
因此，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，的面積也最小，
所以的面積的最小值為．
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
(1)求曲線和曲線除極點(diǎn)外的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
(2)若，分別為曲線和上的異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，求面積的最大值．
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】
（1）求出曲線的普通方程，進(jìn)而求出極坐標(biāo)方程，與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求出曲線和曲線除極點(diǎn)外的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，表達(dá)出的面積，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值.
(1)曲線的普通方程為，
化為極坐標(biāo)方程為：，化簡(jiǎn)得到：，
與聯(lián)立，得：，
即，
因?yàn)?，所以，所以，或?br>解得：或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)
所以曲線和曲線除極點(diǎn)外的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為與；
(2)因?yàn)?，①設(shè)，
則
，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為；
②設(shè)，
則
，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為；
因?yàn)?，所以面積最大值為.
10．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)（理））以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且，，以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．
(1)求的極坐標(biāo)方程和所在圓的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，曲線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，求．
【答案】(1)；(2)3
【解析】
【分析】
（1）由已知，可根據(jù)題意直接寫(xiě)出的極坐標(biāo)方程，并標(biāo)注范圍，然后求解出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，寫(xiě)出所在圓的直角坐標(biāo)方程即可；
（2）由已知，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，將曲線的參數(shù)方程帶入圓，并根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求解即可.
(1)因?yàn)?，，所以的極坐標(biāo)方程：，
因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)是，
所以所在圓的直角坐標(biāo)方程為．
（注：的極坐標(biāo)方程不標(biāo)明的取值范圍或?qū)戝e(cuò)扣1分）
(2)設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，
將代入得：
所以
因?yàn)椋蓆的幾何意義得：

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