①eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1). ②eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))). ④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
一、題型選講
例1、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
例2、（華南師大附中2021屆高三綜合測試）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
已知Sn為等差數(shù)列的前n項和，若 ．
(1)求an；
(2)令，求數(shù)列的前n項和Tn．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
例3、（江蘇鹽城中學(xué)2021屆高三年級第三階段檢測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項和滿足，且.
（1）求數(shù)列的前n項和及通項公式；
（2） 記，為的前n項和，求．
例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知數(shù)列的前項和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
例5、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項和滿足，且.
（1）求數(shù)列的前n項和，及通項公式；
（2）記，為的前n項和，求.
例6、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為，且是等比數(shù)列的前項.
(1)求;
(2)設(shè)，求的前項和.
例7、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知等差數(shù)列的前n項和為．
(1)求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．
例8、【2020屆河北省衡水中學(xué)全國高三期末大聯(lián)考】在數(shù)列中，有.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前n項和.
二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
1、【2020屆中原金科大聯(lián)考高三4月質(zhì)量檢測】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an>0，4Sn=an2+2an.
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）若bn=S1?SnSn?S1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.
2、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）設(shè)，向量，，.
（1）試問數(shù)列是否為等差數(shù)列？為什么？
（2）求數(shù)列的前項和.
3、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）已知等差數(shù)列滿足,前7項和.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.
4、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：
(I)求數(shù)列和的通項公式；
(II)求數(shù)列的前項和.
5、（南通市2021屆高三年級期中學(xué)情檢測）等比數(shù)列的前n項和為成等差數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項公式； （2）若，求數(shù)列的前項和.
6、（金陵中學(xué)2021屆高三年級學(xué)情調(diào)研測試（一））已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足Sn2＝an(Sn－eq \s\d1(\f(1,2)))．
(1)求Sn的表達(dá)式；
(2)設(shè)bn＝eq \s\d1(\f(Sn,2n＋1))，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
專題36 運用裂項相消法求和
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．常見的裂項技巧
①eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1). ②eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))). ④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
一、題型選講
例1、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：.
∴，
∴.
（2），
∴
.
例2、（華南師大附中2021屆高三綜合測試）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
已知Sn為等差數(shù)列的前n項和，若 ．
(1)求an；
(2)令，求數(shù)列的前n項和Tn．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】：(1)若選擇條件(1)，在等差數(shù)列中
，，解得
若選擇條件(2)，在等差數(shù)列中
，解得
；
若選擇條件(3)，在等差數(shù)列中
al=Sl=3，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n -[(n-l)2 +2(n -1)]= 2n+l，a1也符合，
∴an=2n+1；
(2)由(1)得，
例3、（江蘇鹽城中學(xué)2021屆高三年級第三階段檢測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項和滿足，且.
（1）求數(shù)列的前n項和及通項公式；
（2） 記，為的前n項和，求．
【解析】(I)由已知有，
∴數(shù)列為等差數(shù)列，
且，
∴，即，
當(dāng)時，，
又也滿足上式，∴；
(II)由(1)知，，
∴，
例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知數(shù)列的前項和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當(dāng)時，，整理得，，解得；
當(dāng)時，①，可得②，
①－②得，即，
化簡得，
因為，，所以，
從而是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以；
（2）由（1）知，
因為，
.
例5、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項和滿足，且.
（1）求數(shù)列的前n項和，及通項公式；
（2）記，為的前n項和，求.
【解析】（I）由已知有，
∴數(shù)列為等差數(shù)列，
且，
∴，即，
當(dāng)時，，
又也滿足上式，∴；
（II）由（1）知，，
∴，
例6、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為，且是等比數(shù)列的前項.
(1)求;
(2)設(shè)，求的前項和.
【解析】 (1)設(shè)數(shù)列的公差為，
由題意知: ①
又因為成等比數(shù)列，
所以，
，
，
又因為，
所以. ②
由①②得，
所以，
， ，，
.
(2)因為，
所以
所以數(shù)列的前項和.
例7、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知等差數(shù)列的前n項和為．
(1)求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由得，解得，
；
（2），
， ，
若，則，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在滿足題意．
例8、【2020屆河北省衡水中學(xué)全國高三期末大聯(lián)考】在數(shù)列中，有.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）因為，
所以當(dāng)時，，
上述兩式相減并整理，得.
又因為時，，適合上式，
所以.從而得到，
所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其通項公式為.
（2）由（1）可知，.
所以
.
二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
1、【2020屆中原金科大聯(lián)考高三4月質(zhì)量檢測】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an>0，4Sn=an2+2an.
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）若bn=S1?SnSn?S1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.
【解析】（1）當(dāng)n=1時，4a1=a12+2a1，整理得a12=2a1，∵a1>0，解得a1=2；
當(dāng)n≥2時，4Sn=an2+2an①，可得4Sn?1=an?12+2an?1②，
①－②得4an=an2?an?12+2an?2an?1，即an2?an?12?2an+an?1=0，
化簡得an+an?1an?an?1?2=0，
因為an>0，∴an+an?1>0，所以an?an?1=2，
從而an是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以an=2+2n?1=2n；
（2）由（1）知Sn=na1+an2=n2+2n2=nn+1，
因為bn=S1?SnSn?S1=1Sn?1S1=1nn+1?12=1n?1n+1?12，
∴Tn=b1+b2+???+bn=11?12?12+12?13?12+???+1n?1n+1?12
=11?12+12?13+???+1n?1n+1?12n=1?1n+1?12n.
2、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）設(shè)，向量，，.
（1）試問數(shù)列是否為等差數(shù)列？為什么？
（2）求數(shù)列的前項和.
【解析】（1），
.
，
為常數(shù)，
是等差數(shù)列.
（2），
.
3、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）已知等差數(shù)列滿足,前7項和.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.
【解析】 (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由可知,前7項和.
,解得..
(2)
前項和
.
4、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：
(I)求數(shù)列和的通項公式；
(II)求數(shù)列的前項和.
【解析】 (I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
5、（南通市2021屆高三年級期中學(xué)情檢測）等比數(shù)列的前n項和為成等差數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項公式； （2）若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由成等差數(shù)列知，，
所以，即. 又，所以，所以，
所以等差數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）知
所以
所以數(shù)列的前 項和：
所以數(shù)列的前項和
6、（金陵中學(xué)2021屆高三年級學(xué)情調(diào)研測試（一））已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足Sn2＝an(Sn－eq \s\d1(\f(1,2)))．
(1)求Sn的表達(dá)式；
(2)設(shè)bn＝eq \s\d1(\f(Sn,2n＋1))，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
【解析】：(1)因為Sn2＝an(Sn－eq \s\d1(\f(1,2)))，
當(dāng)n≥2時，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－eq \s\d1(\f(1,2)))，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分
由題意得Sn－1·Sn≠0，所以eq \s\d1(\f(1,Sn))－eq \s\d1(\f(1,Sn－1))＝2，
即數(shù)列{eq \s\d1(\f(1,Sn))}是首項為eq \s\d1(\f(1,S1))＝eq \s\d1(\f(1,a1))＝1，公差為2的等差數(shù)列．…………5分
所以eq \s\d1(\f(1,Sn))＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝eq \s\d1(\f(1,2n－1))． …………………………………………7分
(2)易得bn＝eq \s\d1(\f(Sn,2n＋1))＝eq \s\d1(\f(1,(2n－1)(2n＋1)))……………………………8分
＝eq \s\d1(\f(1,2))(eq \s\d1(\f(1,2n－1))－eq \s\d1(\f(1,2n＋1)))，……………………………10分
所以Tn＝eq \s\d1(\f(1,2))[(1－eq \s\d1(\f(1,3)))＋(eq \s\d1(\f(1,3))－eq \s\d1(\f(1,5)))＋…＋(eq \s\d1(\f(1,2n－1))－eq \s\d1(\f(1,2n＋1)))]＝eq \s\d1(\f(1,2))(1－eq \s\d1(\f(1,2n＋1)))
＝eq \s\d1(\f(n,2n＋1))

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全套word講義專題09數(shù)列求和方法之裂項相消法(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全套word講義專題09數(shù)列求和方法之裂項相消法(原卷版+解析)，共41頁。試卷主要包含了單選題，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題06 數(shù)列求和（裂項相消法）（題型訓(xùn)練）.zip：

這是一份【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題06 數(shù)列求和（裂項相消法）（題型訓(xùn)練）.zip，文件包含專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題06數(shù)列求和裂項相消法題型訓(xùn)練原卷版docx、專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題06數(shù)列求和裂項相消法題型訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題36 運用裂項相消法求和（解析卷）：

這是一份2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題36 運用裂項相消法求和（解析卷），共11頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題36 運用裂項相消法求和（原卷）

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題36 運用裂項相消法求和（原卷）
專題09 利用裂項相消法數(shù)列求和(原卷版)

專題09 利用裂項相消法數(shù)列求和(原卷版)
專題36 運用裂項相消法求和-2021年高考數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)（新高考地區(qū)專用）練習(xí)

專題36 運用裂項相消法求和-2021年高考數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)（新高考地區(qū)專用）練習(xí)
（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題09 數(shù)列求和方法之裂項相消法

（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題09 數(shù)列求和方法之裂項相消法
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部