一、題型選講
題型一 、消參法
消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！
例1、【2020年高考江蘇】已知，則的最小值是 ▲ ．
例2、.【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研】已知，且，則的最小值為_______________.
例3、(2017蘇北四市期末）. 若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(1,2)))，則eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)的最小值為________．
題型二、雙換元
若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系
例4、【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三)】已知，，且，則的最小值是______.
例5、（2013徐州、宿遷三檢）若，且，則的最小值為 ．
題型三、“1”的代換
1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形。
例6、（2020屆山東省泰安市高三上期末）若，則的最小值為（ ）
A．6B．C．3D．
例7、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）如圖，在△中，點(diǎn)是線段上兩個(gè)動點(diǎn)，且 ，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例8、（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．
題型四、齊次化
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解。
例9、【2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為______.
例10、.【2020屆江蘇省啟東市高三下學(xué)期期初考】若實(shí)數(shù)滿足：，則的最小值為____.
二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
1、【2019年高考浙江卷】若，則“”是 “”的
A． 充分不必要條件B． 必要不充分條件
C． 充分必要條件D． 既不充分也不必要條件
2、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）已知奇函數(shù)在R上單調(diào),若正實(shí)數(shù)滿足則的最小值是( )
A．1B．C．9D．18
3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（ ）
A．10B．12C．16D．9
4、【2020年高考天津】已知，且，則的最小值為_________．
5、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)的最小值是__________.
6、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為________.
7、（2020屆浙江省之江教育評價(jià)聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）若實(shí)數(shù)滿足，且，則的最大值為______.
8、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．
專題33 基本不等式中常見的方法求最值
一、題型選講
題型一 、消參法
消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！
例1、【2020年高考江蘇】已知，則的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.
∴的最小值為.
故答案為：.
例2、.【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研】已知，且，則的最小值為_______________.
【答案】10
【解析】因?yàn)?所以,
所以



,
因?yàn)?所以,
當(dāng)且僅當(dāng),解得,此時(shí),
所以的最小值為:10.
故答案為10
例3、(2017蘇北四市期末）. 若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(1,2)))，則eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)的最小值為________．
【答案】. 8
【解析】、解法1 因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(1,2)))，所以y＝eq \f(3,x)－3(y＞3)，
所以eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)＝y(tǒng)＋3＋eq \f(1,y－3)＝y(tǒng)－3＋eq \f(1,y－3)＋6≥2eq \r(?y－3?·\f(1,y－3))＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)y－3＝eq \f(1,y－3)，即y＝4時(shí)取等號，此時(shí)x＝eq \f(3,7)，所以eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)的最小值為8.
解法2 因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(1,2)))，所以y＝eq \f(3,x)－3(y＞3)，y－3＝eq \f(3,x)－6＞0，
所以eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)＝eq \f(3,x)＋eq \f(1,\f(3,x)－6)＝eq \f(3,x)－6＋eq \f(1,\f(3,x)－6)＋6≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)－6))·\f(1,\f(3,x)－6))＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(3,x)－6＝eq \f(1,\f(3,x)－6)，即x＝eq \f(3,7)時(shí)取等號，此時(shí)y＝4，所以eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)的最小值為8.
題型二、雙換元
若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系
例4、【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三)】已知，，且，則的最小值是______.
【答案】
【解析】
設(shè)，則，
∵，，
∴
又
當(dāng)時(shí)，，在題目要求范圍內(nèi)，
即
故答案為：
例5、（2013徐州、宿遷三檢）若，且，則的最小值為 ．
【答案】：
【解析】、
所以，
因?yàn)?br>所以
題型三、“1”的代換
1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形。
例6、（2020屆山東省泰安市高三上期末）若，則的最小值為（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，等號成立；
故選：C．
例7、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）如圖，在△中，點(diǎn)是線段上兩個(gè)動點(diǎn)，且 ，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖可知x，y均為正，設(shè)，
共線， ，
，
則，
，
則的最小值為，故選D.
例8、（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】由題意可知直線過圓心，即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，又
即時(shí)等號成立，
故的最小值為9.
故答案為：9
題型四、齊次化
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解。
例9、【2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為______.
【答案】.
【解析】解：令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
故答案為：.
例10、.【2020屆江蘇省啟東市高三下學(xué)期期初考】若實(shí)數(shù)滿足：，則的最小值為____.
【答案】
【解析】由題意得：，
令，則， ，
設(shè)，可得：
，
令，可得，其中舍去，
可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
可得當(dāng)時(shí)，原式有最小值，代入可得：
，
故可得的最小值為，
故答案為：.
二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
1、【2019年高考浙江卷】若，則“”是 “”的
A． 充分不必要條件B． 必要不充分條件
C． 充分必要條件D． 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.
2、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）已知奇函數(shù)在R上單調(diào),若正實(shí)數(shù)滿足則的最小值是( )
A．1B．C．9D．18
【答案】A
【解析】奇函數(shù)在R上單調(diào)，則
故即
當(dāng)即時(shí)等號成立
故選：
3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（ ）
A．10B．12C．16D．9
【答案】D
【解析】由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
轉(zhuǎn)化成求的最小值，
，所以．
故選：D．
4、【2020年高考天津】已知，且，則的最小值為_________．
【答案】4
【解析】，,
，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號，
結(jié)合,解得，或時(shí)，等號成立.
故答案為：
5、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)的最小值是__________.
【答案】
【解析】由于，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為.
故填：.
6、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為________.
【答案】
【解析】根據(jù)柯西不等式：，故，
當(dāng)，即，時(shí)等號成立.
故答案為：.
7、（2020屆浙江省之江教育評價(jià)聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）若實(shí)數(shù)滿足，且，則的最大值為______.
【答案】
【解析】實(shí)數(shù)x、y滿足x＞y＞0，且lg2x+lg2y＝1，則xy＝2，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)x﹣y，即x﹣y＝2時(shí)取等號
故的最大值為，
故答案為．
8、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．
【答案】
【解析】令，則，
，即，
，且，
，即的最小值為.

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