1.給出下列命題：
①零向量的方向是任意的；
②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；
③若空間向量滿足，則；
④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）.
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如圖，在直三棱柱中，為棱的中點(diǎn).設(shè)，，則（ ）
A. B.
C. D.
3.已知是不重合的直線，是不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若，則
B.，則
C.若，則
D.，則
4.設(shè)，向量，且，則（ ）
A. B. C.5 D.6
5.對(duì)于任意空間向量，下列說(shuō)法正確的是（ ）.
A.若，則
B.
C.若，則的夾角是鈍角
D.
6.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱(chēng)為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為；
，化簡(jiǎn)得.類(lèi)比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（ ）.
A. B.
C. D.
7.如圖，二面角等于是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（ ）
A. B. C.4 D.
8.在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，此時(shí)二面角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題
9.已知平面與平面平行，若是平面的一個(gè)法向量，則平面的法向量可能為（ ）
A. B. C. D.
10.下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（ ）
A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則
B.兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則
C.直線的方向向量，平面的法向量是，則
D.直線的方向向量，平面的法向量是，則
11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A.兩條異面直線和所成的角為
B.直線與平面所成的角等于
C.點(diǎn)到面的距離為
D.四面體的體積是
三?填空題
12.如圖，四棱柱為正方體.
①直線的一個(gè)方向向量為；
②直線的一個(gè)方向向量為；
③平面的一個(gè)法向量為；
④平面的一個(gè)法向量為.
則上述結(jié)論正確的是__________.（填序號(hào)）
13.已知點(diǎn)在同一直線上，則__________.
14.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形所在平面與正三角形所在平面互相垂直，為的中點(diǎn).二面角的正切值為_(kāi)_________.
四?解答題
15.已知空間中三點(diǎn).
（1）若向量與平行，且，求的坐標(biāo)；
（2）求以為鄰邊的平行四邊形的面積.
16.如圖，已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，
（1）求線段的長(zhǎng)；
（2）求證：.
17.如圖，三棱柱中，，垂直于平面.
（1）求異面直線與所成角的大小；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
18.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，且，點(diǎn)在上.
（1）求證：平面；
（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值.
19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，且平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，連.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).
廣饒一中二校區(qū)66級(jí)10月月考數(shù)學(xué)試題
參考答案：
1.D 【詳解】零向量是大小為0的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；
方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點(diǎn)不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，命題②錯(cuò)誤；
若空間向量滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，
③錯(cuò)誤；空間中任意兩個(gè)單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯(cuò)誤；
所以正確的命題只有1個(gè)；
2.A 【詳解】由題意可得
.
3.D 【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能平行，也可能相交；
對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)面面平行判定定理，直線應(yīng)為相交直線；
對(duì)于選項(xiàng)C，直線可能在平面內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)D，恰好為線面平行的性質(zhì)定理.
4.D 【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所以，所以，所以?br>所以.
5.B 【詳解】對(duì)于A，若，則或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由數(shù)量積的運(yùn)算律可知，故B正確；
對(duì)于C，若，則的夾角是鈍角或反向共線，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由數(shù)量積的運(yùn)算律可知，等號(hào)左面與共線，等號(hào)右面與，兩邊不一定相等，
故D錯(cuò)誤；
6.C 【詳解】由題意可得，化簡(jiǎn)可得，
7.D 【詳解】由題意得，兩邊平方得，
，所以，
8.C 【詳解】平面平面，
又平面平面，
又平面；
設(shè)，
，
，即，
關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，對(duì)稱(chēng)軸為，
，解得：，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
軸平面平面的一個(gè)法向量；
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，
，
由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.
9.AD 【詳解】設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)槠矫媾c平面平行，是平面的一個(gè)法向量，所以，且，
所以平面的法向量可能為，
10.AB 【詳解】?jī)蓷l不重合直線的方向向量分別是，則，所以正確；
兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，
則，所以，B正確；
直線的方向向量，平面的法向量是，
則，所以或錯(cuò)誤；
直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以D錯(cuò)誤.
11.BCD 【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
對(duì)A：，
則，故，
故，即異面直線和所成的角為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：，由軸平面，故平面法向量可為，
則，故直線與平面所成的角為，故B正確；
對(duì)C：，
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則，故，故C正確；
對(duì)D：易得四面體為正四面體，
則，故D正確.
故選：BCD.
12.①②③【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則按照?qǐng)D中坐標(biāo)系可知，
，于是，，故①，②正確；
因平面，而，故可作為平面的法向量，即③正確；
在正方體中，因平面平面，
則，易得，又，故平面，
而，即可作為平面的法向量，故④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
13.
【詳解】，
在同一直線上，則，
即，解得.
14. 【詳解】依題意平面平面，且平面平面平面，易知，因此可得平面
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如下圖所示：
由平面，又平面，所以，
又，且平面，
所以平面平面，可得；
即可得即為二面角的平面角；
顯然，且，三角形為正三角形，所以；
在中，.即二面角的正切值為.
15.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)橄蛄颗c平行，所以可設(shè)，所以，因?yàn)椋?br>所以，所以，所以或，
所以的坐標(biāo)為或；
（2）因?yàn)?，所以，所以，即，又?br>所以，
所以的面積，
所以以為鄰邊的平行四邊形的面積為.
16.【詳解】（1）設(shè)，則，
∵，則.
∵，∴.
故線段的長(zhǎng)為.
（2）證明：∵，∴.
故.
17.【詳解】（1）因?yàn)榇怪庇谄矫?，如建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)異面直線與所成角為，則，
又，所以，即異面直線與所成角為；
（2）因?yàn)椋?br>設(shè)平面的法向量為，則，取，
則點(diǎn)到平面的距離.
18.【詳解】（1）因?yàn)榈酌娴酌?，所以?br>所以，
所以矩形是正方形，所以，
因?yàn)?，所以平?br>（2）由（1）知兩兩垂直，建系如圖，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
所以可取，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
19.【詳解】（1）因?yàn)椋驗(yàn)?，所以四邊形為矩形?br>在中，，
則，
，
且平面平面平面
平面平面，
平面
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，可得，
則，
設(shè)平面的法向量為，
由，取.
設(shè)平面的法向量為，
由，取，
.
二面角是鈍角，
二面角的正弦值為.
（3）設(shè)，則，又平面的法向量為，
直線與平面所成的角的正弦值為.
解得.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
B
C
D
C
AD
AB
題號(hào)
11
答案
BCD

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