（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。
3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（ ）
A．B．C．D．
2．若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．定義運(yùn)算：．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求的值（ ）
A．B．C．或D．或
5．從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的60％分位數(shù)是（ ）
A．16B．30C．32D．51
6．關(guān)于的方程有一根為1，則一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形
7．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，則有（ ）
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。（答案有兩個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得3分，錯(cuò)選不得分；答案有三個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得2分，只選兩個(gè)都對(duì)得4分，錯(cuò)選不得分）
9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．向量與的夾角的余弦值為
C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．向量在上的投影向量為
10．從今年起年內(nèi)，小李的年薪（萬元）與年數(shù)的關(guān)系是，小馬的年薪（萬元）與年數(shù)的關(guān)系是，則下列判斷正確的有（ ）
A．5年后小馬的年薪超過小李B．6年后小馬的年薪超過小李
C．小馬的年薪比小李的增長快D．小馬的年薪比小李的增長慢
11．已知內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，，則（ ）
A．B．的最小值為3
C．若為銳角三角形，則D．若，，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是__________．
13．已知是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，滿足
，則__________．
14．如圖，正方體的棱長為3，在棱上有一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知直線．
（1）若直線不經(jīng)過第二象限，求的取值范圍；
（2）若直線與軸、軸正半軸分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此時(shí)相應(yīng)的直線的方程．
16．（15分）已知函數(shù)．
（1）若，解不等式；
（2）若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍．
17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，．
（1）證明：平面；
（2）在線段上，與所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．
18．（17分）在神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下，某學(xué)校高一年級(jí)利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識(shí)競賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問題：
（1）若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；
（2）求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；
（3）由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．
19．（17分）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．
（1）求角的大小；
（2）點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，且，求周長的最小值．
2023級(jí)“貴百河-武鳴高中”10月高二年級(jí)新高考月考測試
數(shù)學(xué)參考答案
1．D【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部為，故選：D．
2．A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以．故選：A．
3．D【詳解】依題意，，則，故．故選：D．
4．C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，到直線的距離相等，所以，即，化簡得，解得或．故選：C．
5．C【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因?yàn)?，這11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32．故選：C．
6．A【詳解】因?yàn)?是的根，所以，
又，
所以有，，整理可得，，即．因?yàn)?，，，所以．則由可得，，所以．所以一定是等腰三角形．故選：A．
7．D【詳解】把直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，如圖所示：因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所以，，所以，因?yàn)闉檫呴L為的等邊三角形，所以，又因?yàn)椋栽谥?，由余弦定理可得，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．
8．B【詳解】解：，令，，，任取且，則，，
所以，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，故．故選：B．
9．BD【詳解】記，，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；
對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD
10．BC【詳解】易知指數(shù)函數(shù)的增長速度更快，故C正確，D錯(cuò)誤；
畫出函數(shù)和的圖象，從圖象中觀察，可知在這8年內(nèi)先是小馬的年薪低，后來超過了小李，令，則，，所以存在，當(dāng)時(shí)，，由于，所以至少經(jīng)過6年，小馬的年薪超過小李的年薪，即A錯(cuò)誤，B正確；故選：BC．
11．ABC【詳解】對(duì)于A，由，得，
由正弦定理得，由余弦定理得，則，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，又，則，，，
于是，因此，A正確；
對(duì)于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；
對(duì)于C，由正弦定理得，
由為銳角三角形，，得，則，，因此，C正確；
對(duì)于D，由，，，得，D錯(cuò)誤．故選：ABC
12．【詳解】聯(lián)立，解得，故直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)與直線垂直的直線方程是．將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入該方程，得，解得．所以所求直線方程為．故答案為：
13．【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，可得，解得，即，又因?yàn)槭沁呴L為6的等邊三角形，所以
．
14．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示，則，，，，設(shè)，得，則；設(shè)平面的法向量為，又，，于是有，不妨令，可得，，所以；因?yàn)?，且，則，化簡得，解得，或（舍去）．即，從而得．
15．（1） （2）或
【詳解】（1）由題意可知直線，易知直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過第二象限．
（2）由題意可知，
直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別是，，
，
當(dāng)時(shí)，由得：，
即：，或，即：直線的方程為或．
16．（1） （2）
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，
則，
，，，
故不等式的解集為
（2）
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
故的取值范圍是．
17．【答案】（1）證明見解析 （2）
【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，又因?yàn)闉檎叫?，可得，因?yàn)椋?，平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，且，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)?，且，，平面，所以平面?br>（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2，可得，可得，，，，，，則，，，
因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c所成的角為，可得，
解得，所以，所以，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面所成的二面角為，其中，可得，即平面與平面所成的二面角為．
18．（1）4 （2）；平均數(shù)為71；中位數(shù)為 （3）
【詳解】（1）從圖中可知組距為10，則，的頻率分別為0.1，0.15，
從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時(shí)，
成績不高于50分的人數(shù)為（人）
（2）由圖可知，解得．
使用組中值與頻率可估計(jì)平均數(shù)為．
因?yàn)榍遥?br>所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)估計(jì)的中位數(shù)為，則，得．
（3）記甲、乙、丙獲優(yōu)秀等級(jí)分別為事件、、，則三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率等于．
19．（1） （2）
【詳解】（1）由二倍角公式得，．
故由正弦定理得，
即，
而，，故，則；
（2）設(shè)，，設(shè)，則，
．
在中，，
即，．
在中，，
即，．
周長
令，則
，，，
即周長最小值為．

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