一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．復數(shù)z滿足，z在復平面內對應的點為，則（ ）
A．B．C．D．
2．若角的終邊過點，則（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在中，點D在的延長線上，，如果，那么（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．已知等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．26B．32C．512D．1024
5．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增，且對任意，，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（ ）
A．B．C．D．
6．函數(shù)在處有極值10，則點為（ ）
A．B．C．或D．不存在
7．設，若是的最小值，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓和C的漸近線在第一象限交于A點，直線交C的另一條漸近線于點B，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
（多選）10．對于隨機事件A，B，若，，，則（ ）
A．B．C．D．
（多選）11．如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，則下列結論正確的是（ ）
A．點在曲線C上
B．點（）在C上，則|
C．點Q在橢圓上，若，則
D．過作x軸的垂線交C于A，B兩點，則
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知直線：與：，若，則實數(shù)a的值為 ．
13．某高中學校選拔出四名學生參加知識競賽，四名學生按順序作答，要求甲不在第一個出場，乙不在最后一個出場，則不同排法的總數(shù)是 ．
14．若事件A，B發(fā)生的概率分別為，，且A與B相互獨立，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，D為邊上一點．
（1）若D為的中點，且，求b；
（2）若CD平分，且，求的面積．
16．（15分）
已知雙曲線的漸近線方程為，左焦點為F，過，的直線為l，原點到直線l的距離是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的兩點C，D，問是否存在實數(shù)m，使得以為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
17．（15分）
如圖，四棱臺的上、下底面分別是邊長為1和2的正方形，側棱垂直于上、下底面，且．
（1）證明：直線平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）求多面體的體積．
18．（17分）
已知（a，且），且滿足，．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)（）滿足條件，若存在實數(shù)x，使得、、成等差數(shù)列，求正實數(shù)的取值范圍．
19．（17分）
已知函數(shù)，．
（1）若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上為單調增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）設m，n為正實數(shù)，且，求證：．
參考答案與試題解析
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)模公式，即可求解．
【解答】解：由z在復平面內對應的點為，
則，
又，
故．
故選：D．
【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)模公式，屬于基礎題．
2．【分析】先由任意角三角函數(shù)的定義求出，再利用誘導公式求解即可．
【解答】解：
∵角的終邊過點，
∴，
∴．
故選：A．
【點評】本題主要考查了任意角三角函數(shù)的定義，考查了誘導公式的應用，屬于基礎題．
3．【分析】由已知結合向量的線性運算即可求解．
【解答】解：
∵，
∴，
∴，
所以，．
故選：B．
【點評】本題主要考查了向量的線性運算，屬于基礎題．
4．【分析】設等比數(shù)列的公比為q，聯(lián)立，，解出，，代入，即可得到答案．
【解答】解：設等比數(shù)列的公比為q，
因為，，
所以，，
由，則，得，
解得，
所以．
故選：D．
【點評】本題主要考查了等比數(shù)列通項公式的應用，屬于基礎題．
5．【分析】由已知結合函數(shù)的性質檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：定義域，不符合題意；
為奇函數(shù)，不符合題意；
定義域為且為偶函數(shù)，當時，單調遞增，
又，，顯然不符合題意；
定義域為，且為偶函數(shù)，
又，符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查了函數(shù)性質在函數(shù)解析式判斷中的應用，屬于基礎題．
6．【分析】首先對求導，然后由題設在時有極值10可得解之即可求出a和b的值．
【解答】解：對函數(shù)求導得，
又∵在時有極值10，
∴，
解得或，
驗證知，當，時，在無極值，
故選：B．
【點評】掌握函數(shù)極值存在的條件，考查利用函數(shù)的極值存在的條件求參數(shù)的能力，屬于中檔題．
7．【分析】因為是的最小值，所以為減函數(shù)，即有，則在上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可．
【解答】解：函數(shù)，
則當時，，
由于是的最小值，
則在上為減函數(shù)，即有，
則有在上恒成立，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
所以，
解得，
綜上所述，，
即a的取值范圍為．
故選：A．
【點評】本題主要考查了分段函數(shù)的性質，考查了利用基本不等式求最值，屬于中檔題．
8．【分析】求得雙曲線的漸近線方程和以為直徑的圓的方程，聯(lián)立漸近線方程和圓的方程，可得A的坐標，由中點坐標公式可得B的坐標，代入漸近線方程可得，可得離心率．
【解答】解：雙曲線C：（，）的，，
以為直徑的圓的方程為，
漸近線方程為，
由，解得，
由，可得B為的中點，即為，
由題意可得，可得，
則．
故選：C．
【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．【分析】正確理解正態(tài)分布的概念，即可判斷A，B兩項，利用正態(tài)分布曲線的對稱性以及概率分布的特點易推理判斷C，D兩項．
【解答】解：
由可得，，故A正確，B錯誤；
對于C，利用正態(tài)曲線的對稱性可知，，
故，即C正確；
對于D，利用正態(tài)曲線的對稱性可知，，
而，故，故D錯誤．
故選：AC．
【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎題．
10．【分析】利用條件概率、事件和的概率公式求解．
【解答】解：
隨機事件A，B，若，，，，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D正確．
故選：BCD．
【點評】本題考查條件概率、事件和的概率公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
11．【分析】對選項A，根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確；對選項B，根據(jù)“雙紐線”定義得到，再計算即可判斷B錯誤；對選項C，根據(jù)“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確；對選項D，設，根據(jù)勾股定理得到再解方程即可判斷D正確．
【解答】解：
對選項A，因為，由定義知，故A正確；
對選項B，點（）在C上，
則，
化簡得，所以，，B錯誤；
對選項C，橢圓上的焦點坐標恰好為與，
則，又，所以，
故，所以，C正確；
對選項D，設，則，
因為，則，又，
所以，化簡得，故，
所以，故，所以，故D正確．
故選：ACD．
【點評】本題主要考查軌跡方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．
【分析】利用兩條直線垂直的充要條件，列式求解即可．
【解答】解：
∵直線：，：，且，
則，解得，
故答案為：．
【點評】本題考查了兩條直線的位置關系的應用，解題的關鍵是掌握兩條直線垂直的充要條件，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎題．
13．14
【分析】分甲最后出場和甲不在最后出場討論，再由加法原理得解．
【解答】解：若甲最后出場，則有種，
若甲不在最后出場，則有種，
故共有種．
故答案為：14．
【點評】本題考查排列組合的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎題．
14．
【分析】由，根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式能求出結果．
【解答】解：事件A，B發(fā)生的概率分別為，，且A與B相互獨立，
則．
故答案為：．
【點評】本題考查和事件概率公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
【分析】
（1）因為D為的中點，所以，兩邊平方可得，即可解得b；
（2）由平分，則，由，利用三角形的面積公式可求得b，進而可求得的面積．
【解答】解：
（1）在中，，，因為D為的中點，所以，
兩邊平方得，
則，解得．
（2）因為平分，所以，
又，
所以，解得，
所以．
【點評】本題考查向量在三角形中的應用，屬于中檔題．
16．（15分）
【分析】
（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程及原點到直線l的距離是，即可求雙曲線的標準方程；
（2）以為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F，可知．將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，可得一元二次方程，利用韋達定理可將向量關系轉化為坐標關系，從而得解．
【解答】解：
（1）∵，
原點到直線：的距離，．
∴，．故所求雙曲線方程為．
（2）把代入中消去y，整理得．
設，，則，，
，因為以為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F，所以，
可得把，代入，
解得：
解，得，
∴滿足，
∴
【點評】本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查雙曲線的標準方程求解，考查直線與雙曲線的位置關系，應注意判別式的驗證．
17．（15分）
【分析】
（1）根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明；
（2）建系，利用向量法，向量夾角公式，即可求解；
（3）將問題轉化成四棱臺與三棱錐的體積，即可求解．
【解答】解：
（1）證明：設，連接，，
由棱臺的性質知，
又根據(jù)題意可知，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
又平面，平面，
∴直線平面；
（2）∵平面，又四邊形為正方形，
∴，，兩兩垂直，故建系如圖：
∵，
∴，，，，
∴，，
設平面的法向量為，
則，，取，
同理取平面的一個法向量，
∴平面與平面夾角的余弦值為：；
（3）∵四棱臺的體積為，
又三棱錐的體積為，
∴多面體的體積為．
【點評】本題考查線面平行的證明，面面角的求解，多面體的體積的求解，屬中檔題．
18．（17分）
【分析】
（1）直接將函數(shù)代入，計算即可；
（2）先求出（）的方程，然后利用等差中項建立等式，化簡，求出定義域，然后利用函數(shù)在定義域上有解即可．
【解答】解：
（1）由題可知，，
解得，
所以，
（2）由題可知，得，
所以，，，
若存在實數(shù)x使、、為等差數(shù)列，
可得，
即若存在實數(shù)x，，
顯然，，
因為，所以，
化簡得，
故該方程在有解即可，
當時，得，不符合題意；
當時，得，
可得，
解得，
所以只需或都可，
得無解；
，
解得，
又因為，
所以，
故的取值范圍是．
【點評】本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應用，屬于中檔題．
19．（17分）
【分析】
（1）先對函數(shù)求導，然后結合極值存在條件可求a，結合導數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，進而可求切線方程；
（2）由在上為單調增函數(shù)，可知在上恒成立，分離參數(shù)后結合基本不等式可求；
（3）要證：，只需證，只需證，結合不等式的特點，可進行構造函數(shù)，然后結合導數(shù)即可求解．
【解答】解：
（1）
由題意知，
∴，經檢驗，符合題意．
從而切線斜，切點為，
切線方程為．
（2），
因為在上為單調增函數(shù)，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
當時，得，
設，，
則，當且僅當時取等號，此時取得最小值2，
所以，即，
a的取值范圍是；
（3）要證：，只需證，
即證，只需證，
設，由（2）知在上是單調函數(shù)，又，
所以，
即證成立，
所以，
【點評】本題主要考查了極值存在條件的應用，及導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與單調性關系的應用及利用導數(shù)證明不等式，屬于導數(shù)知識的綜合應用．

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