一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）
1．函數(shù)的定義域是______．
2．已知向量，若，則實數(shù)______．
3．已知等差數(shù)列的前項和為，若則______．
4．設(shè)，則的解集為______．
5．在一次為期30天的博覽會上，主辦方統(tǒng)計了每天的參觀人數(shù)（單位：千人），得到樣本的莖葉圖（如圖），則該樣本的第70百分位數(shù)是______．
6．設(shè)為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過第______象限．
7．設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的值為______．
8．若對于任意實數(shù)，都有，則的值為______．
9．如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，，點在底面圓周上，且．若為線段上的動點，則的周長最小值為______．
10．隨著我國國民教育水采的提高，越來越多的有志青年報考研究生，現(xiàn)階段，我國研究生入學(xué)考試科目為思政、外語和專業(yè)課三門，錄取工作將這樣進行：在每門課均及格（60分）的考生中，按總分進行排序，擇優(yōu)錄取、振華同學(xué)剛剛完成報考，尚有11周復(fù)習(xí)時間，下表是他每門課的復(fù)習(xí)時間和預(yù)計得分，設(shè)思政、外語和專業(yè)課分配到的周數(shù)分別為，則自然數(shù)數(shù)組______時，振華被錄取的可能性最大．
12．已知函數(shù)，正項等比數(shù)列滿足，則______．
13．設(shè)點在直線上，點在曲線上，線段的中點為，為坐標(biāo)原點，則的最小值為______．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）．
13．“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
14．下列說法中錯誤的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)可能相同
B．一組數(shù)據(jù)中比中位數(shù)大的數(shù)和比中位數(shù)小的數(shù)一樣多
C．平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的統(tǒng)計量
D．極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計量
15．已知是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．
B．若，則的最大值為
C．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限
D．若是關(guān)于的方程的一個根，則
16．已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中），若（其中正整數(shù)，且）．現(xiàn)有如下兩個命題：①；②集合．則下列選項中正確的是（ ）
A．①是真命題，②是真命題B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題D．①是假命題，②是假命題
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．
17，（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）
一個盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片．
（1）若一次抽取3張卡片，事件A表示“3張卡片上數(shù)字之和大于7”，求；
（2）若第一次抽取1張卡片，放回后再抽取1張卡片，事件B表示“兩次抽取的卡片上數(shù)字之和大于6”，求；
（3）若一次抽取2張卡片，事件C表示“2張卡片上數(shù)字之和是3的倍數(shù)”，事件D表示“2張卡片上數(shù)字之積是4的倍數(shù)”，驗證C、D是獨立的．
18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
在中，角的對邊分別為．
（1）若，求角的大??；
（2）若邊上的高等于，求的最大值．
19．（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）
如圖，在直三棱柱中，，且分別是、的中點．
（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積；
（3）求直線與平面所成角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
20．（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分）
以坐標(biāo)原點為對稱中心，焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點，動點滿足，求動點的軌跡所圍成的圖形的面積；
（3）過圓上一點（不在坐標(biāo)軸上）作橢圓的兩條切線．記、的斜率分別為，求證：．
21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題1滿分6分，第2小題2滿分8分）．
已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，
①若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個零點時實數(shù)的取值范圍；
②當(dāng)時，分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，且不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
參考答案
一、填空題
1． 2．1 3．8 4． 5．48 6．二 7． 8． 9．
10． 11．2023 12．
二、選擇題
13．A 14．B 15．B 16．C
三、解答題
17．【答案】（1） （2） （3）見解析
【解析】（1）若一次抽取3張卡片，共包含共4個基本事件．其中事件包含2個基本事件
所以
（2）若第一次抽取1張卡片，放回后再抽取1張卡片，共包含個基本事件，其中事件包含3個基本事件
所以
（3）一次抽取2張卡片，共包含個基本事件，事件，所以
18．【答案】（1）見解析 （2） （3）
【解析】（1）證明：易知，由易知直三棱柱知面
所以面，從而是在面內(nèi)的投影
中，為中點，則，由三垂線定理知
（2）等腰中，，從而
所以
由面，且，
所以
又因為，所以三棱錐的體積為．
（3）由（2）令點到面的距離為，則有
中，，從而．
所以
設(shè)直線與平面所成角為，則
所以直線與平面所成角的大小為．
另解（空間向量）相應(yīng)給分
以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則
（1）
因為，所以．
（2）設(shè)平面的一個法向量
則有令，則
又，所以點到面的距離
中，，從而
所以即三棱錐的體積為．
（3）直線與平面所成角為，由（2）知平面的一個法向量，且則
所以直線與平面所成角的大小為．
19．略
20．【答案】（1） （2） （3）見解析
【解析】（1）由題設(shè)知橢圓中，得，由得
所以橢圓的方程為
（2）設(shè)，由得
化簡得．
表示的是以為圓心，2為半徑的圓，其面積為．
（3）設(shè)，且，設(shè)過點的直線與橢圓相切，聯(lián)立化簡得
由得
點在直線上，得代入上式，得
化簡得
因為是橢圓的兩條切線，所以是上面方程的兩根
由韋達定理得
由得，所以
又，所以．
21．【答案】（1） （2）① ②
【解析】（1）由導(dǎo)函數(shù)，得
故切線方程為，即，
（2），導(dǎo)函數(shù)，
①當(dāng)時，，
令，得或，
所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
極大值，極小值，
又，結(jié)合單調(diào)性
故函數(shù)有三個零點時的取值范圍為即；
②令得或或，
所以． 科目
周數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
思政
20
40
55
65
72
78
80
82
83
84
85
外語
30
45
53
58
62
65
68
70
72
74
75
專業(yè)課
50
70
85
90
93
95
96
96
96
96
96
0
+
0
-
0
+
極大值
極小值
0
+
0
-
0
+
極大值
極小值

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