重難點(diǎn)25 直線與圓綜合（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc2840" 【題型1 圓的弦長與中點(diǎn)弦問題】 PAGEREF _Tc2840 \h 2
\l "_Tc8365" 【題型2 圓的切線及切線方程問題】 PAGEREF _Tc8365 \h 4
\l "_Tc1409" 【題型3 直線與圓中的面積問題】 PAGEREF _Tc1409 \h 7
\l "_Tc5881" 【題型4 直線與圓中的最值問題】 PAGEREF _Tc5881 \h 11
\l "_Tc20648" 【題型5 距離及其新定義問題】 PAGEREF _Tc20648 \h 14
\l "_Tc3971" 【題型6 阿波羅尼斯圓】 PAGEREF _Tc3971 \h 16
\l "_Tc11433" 【題型7 直線與圓中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】 PAGEREF _Tc11433 \h 19
\l "_Tc12229" 【題型8 直線與圓中的向量問題】 PAGEREF _Tc12229 \h 24
\l "_Tc8121" 【題型9 直線與圓中的探索性問題】 PAGEREF _Tc8121 \h 26
1、直線與圓的綜合
直線與圓是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，直線與圓結(jié)合命題時(shí)，主要考察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長、面積、最值問題等，多以選擇題或填空題的形式考查，難度中等；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，此時(shí)多與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等相結(jié)合，難度較大，需要學(xué)會(huì)靈活求解.
【知識點(diǎn)1 直線與圓相交時(shí)的弦長求法】
1．圓的弦長的求法：
設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：
(1)幾何法
如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.
(2)代數(shù)法
將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B.
①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.
②若交點(diǎn)坐標(biāo)無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.
【知識點(diǎn)2 圓的切線及切線方程問題】
1．自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：
(1)若點(diǎn)在圓外，則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；
(2)若點(diǎn)在圓上，則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；
(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過此點(diǎn)不能作圓的切線.
2．求過圓上的一點(diǎn)的圓的切線方程：
(1)求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求
得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.
(2)重要結(jié)論：
①經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.
②經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.
③經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P的切線方程為
.
【知識點(diǎn)3 解決直線與圓有關(guān)的最值與范圍問題的常用方法】
1．利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍) 問題的解題方法
直線與圓中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選
用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運(yùn)算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.
【題型1 圓的弦長與中點(diǎn)弦問題】
【例1】（2024·河南·模擬預(yù)測）直線l:x+y=1，圓C:x2+y2?2x?2y?2=0.則直線l被圓C所截得的弦長為（）
A．2B．23C．27D．14
【解題思路】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，再求出圓心到直線的距離，最終利用勾股定理即可求解.
【解答過程】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12+y?12=4，
由此可知圓C的半徑為r=2，圓心坐標(biāo)為C1,1，
所以圓心C1,1到直線l:x+y=1的距離為d=1+1?112+12=22，
所以直線被圓截得的弦長為2r2?d2=222?222=14.
故選：D.
【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線l:y=x+m(m>0)與⊙C:(x?1)2+y2=2交于A，B兩點(diǎn)，若AB=2，則m=（）
A．1B．2C．2?1D．3?1
【解題思路】如圖，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出圓心C(1,0)到直線l:x?y+m=0的距離，由垂徑定理求出CD，建立關(guān)于m的方程，解之即可求解.
【解答過程】如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接CD,AC，則AB⊥CD，

圓C:(x?1)2+y2=2的圓心C(1,0)，半徑為r=2，
圓心C(1,0)到直線l:x?y+m=0的距離為d=1+m2，
又d=r2?(AB2)2=2?1=1，所以1+m2=1，
由m>0，解得m=2?1.
故選：C.
【變式1-2】（24-25高二上·陜西西安·開學(xué)考試）直線l過點(diǎn)2,1，且與圓C：x?22+y?42=10相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）
A．6B．7C．8D．9
【解題思路】判斷已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并確定過定點(diǎn)的直線與圓所成弦長的范圍，結(jié)合圓的對稱性確定弦的條數(shù).
【解答過程】由題設(shè)，圓C的圓心為(2,4)，且半徑r=10，
而2?22+1?42=9

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