一、單項(xiàng)選擇題
1．（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)fx=ex+2sinx1+x2，則曲線y=fx在點(diǎn)0,1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A．16B．13C．12D．23
【解題思路】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)0,1處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.
【解答過程】f′x=ex+2csx1+x2?ex+2sinx?2x1+x22，
則f′0=e0+2cs01+0?e0+2sin0×01+02=3，
即該切線方程為y?1=3x，即y=3x+1，
令x=0，則y=1，令y=0，則x=?13，
故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=12×1×?13=16.
故選：A.
2．（2024·上海·高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，定義集合M=x0x0∈R,x∈?∞,x0,fxg1=e，故e≥1a，即a≥1e=e?1，即a的最小值為e?1．
故選：C．
6．（2022·全國·高考真題）函數(shù)fx=csx+x+1sinx+1在區(qū)間0,2π的最小值、最大值分別為（ ）
A．?π2，π2B．?3π2，π2C．?π2，π2+2D．?3π2，π2+2
【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求得fx的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出fx在區(qū)間0,2π上的最小值和最大值.
【解答過程】f′x=?sinx+sinx+x+1csx=x+1csx，
所以fx在區(qū)間0,π2和3π2,2π上f′x>0，即fx單調(diào)遞增；
在區(qū)間π2,3π2上f′xb>aB．b>a>cC．a(chǎn)>b>cD．a(chǎn)>c>b
【解題思路】由cb=4tan14結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>b;構(gòu)造函數(shù)fx=csx+12x2?1,x∈0,+∞,利用導(dǎo)數(shù)可得b>a,即可得解.
【解答過程】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)楫?dāng)x∈0,π2,x1，故cb>1，所以c>b；
設(shè)f(x)=csx+12x2?1,x∈(0,+∞)，
f′(x)=?sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，
故f14>f(0)=0，所以cs14?3132>0，
所以b>a，所以c>b>a，故選A
[方法二]：不等式放縮
因?yàn)楫?dāng)x∈0,π2,sinx1?2182=3132，故b>a
4sin14+cs14=17sin14+φ，其中φ∈0,π2，且sinφ=117,csφ=417
當(dāng)4sin14+cs14=17時(shí)，14+φ=π2，及φ=π2?14
此時(shí)sin14=csφ=417，cs14=sinφ=117
故cs14=117 a，故選A
[方法三]：泰勒展開
設(shè)x=0.25，則a=3132=1?0.2522，b=cs14≈1?0.2522+0.2544!，
c=4sin14=sin1414≈1?0.2523!+0.2545!，計(jì)算得c>b>a，故選A.
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)閏b=4tan14，因?yàn)楫?dāng)x∈0,π2,sinx1，所以c>b；設(shè)f(x)=csx+12x2?1,x∈(0,+∞)，f′(x)=?sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，則f14>f(0)=0,所以cs14?3132>0，所以b>a,所以c>b>a，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因?yàn)閏b=4tan14，因?yàn)楫?dāng)x∈0,π2,sinx1，所以c>b；因?yàn)楫?dāng)x∈0,π2,sinx1?2182=3132，故b>a，所以c>b>a．
故選：A．
8．（2022·全國·高考真題）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值?2，則f′(2)=（ ）
A．?1B．?12C．12D．1
【解題思路】根據(jù)題意可知f1=?2，f′1=0即可解得a,b，再根據(jù)f′x即可解出．
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx定義域?yàn)?,+∞，所以依題可知，f1=?2，f′1=0，而f′x=ax?bx2，所以b=?2,a?b=0，即a=?2,b=?2，所以f′x=?2x+2x2，因此函數(shù)fx在0,1上遞增，在1,+∞上遞減，x=1時(shí)取最大值，滿足題意，即有f′2=?1+12=?12．
故選：B.
9．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．18,814B．274,814C．274,643D．[18,27]
【解題思路】設(shè)正四棱錐的高為?，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【解答過程】∵球的體積為36π，所以球的半徑R=3,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為?，
則l2=2a2+?2，32=2a2+(3??)2,
所以6?=l2，2a2=l2??2
所以正四棱錐的體積V=13S?=13×4a2×?=23×(l2?l436)×l26=19l4?l636，
所以V′=194l3?l56=19l324?l26，
當(dāng)3≤l≤26時(shí)，V′>0，當(dāng)26?2當(dāng)且僅當(dāng)10在0,1上恒成立，
設(shè)gt=lnt+11?t?2t+bt3,t∈0,1，
則g′t=21?t2?2+3bt2=t2?3bt2+2+3b1?t2，
當(dāng)b≥0，?3bt2+2+3b≥?3b+2+3b=2>0，
故g′t>0恒成立，故gt在0,1上為增函數(shù)，
故gt>g0=0即fx>?2在1,2上恒成立.
當(dāng)?23≤bg0=0即fx>?2在1,2上恒成立.
當(dāng)b0，故sx在0,+∞上為增函數(shù)，
故sx>s0=0，即f'x>0，
所以fx在0,+∞上為增函數(shù)，故fx≥f0=0.
當(dāng)?120
所以g(t)=t+lnt?a在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故g(t)=0只有1個(gè)解
又因?yàn)閒(x)=exx+lnexx?a有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，故t=ex1x1=ex2x2
兩邊取對數(shù)得：x1?lnx1=x2?lnx2，即x1?x2lnx1?lnx2=1
又因?yàn)閤1x2

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