第I卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上，試卷作答無(wú)效）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定義可求得集合.
因?yàn)榧?，，則.
故選：D.
2. 已知，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)求解．
因?yàn)?，所以，又，所?br>所以．
故選：B．
3. 對(duì)于實(shí)數(shù)x，“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩個(gè)不等式解集的包含關(guān)系，判定結(jié)論.
不等式的解集，不等式的解集，
由?，所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4. 下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）
①命題“，”的否定為“，”；
②“”是“”的充要條件；
③集合，表示同一集合．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定的定義、充要條件的定義、集合的定義判斷各命題．
①全稱命題的否定是特稱命題，命題“，”的否定為“，”，正確；
②且，則，反之，如，但此時(shí)，因此不是充要條件，錯(cuò)誤；
③集合，不是同一集合．錯(cuò)誤，
正確的命題只有一個(gè)．
故選：B.
5. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程有解，可得判別式大于等于零可求解.
由題意知，關(guān)于x的一元二次方程有解，則，
即，解得或.
所以的取值范圍是.
故選：C.
6. 已知正實(shí)數(shù)滿足.則的最小值為（）
A. 3B. 9C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)不等式變形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
a，b均為正實(shí)數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B
7. 關(guān)于x的不等式恰有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知及一元二次不等式的性質(zhì)可得，討論a結(jié)合原不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)求的范圍，
由恰有2個(gè)整數(shù)解，即恰有2個(gè)整數(shù)解，
所以，解得或，
①當(dāng)時(shí)，不等式解集為，因?yàn)?，?個(gè)整數(shù)解為1和2，
則，即，解得；
②當(dāng)時(shí)，不等式解集為，因?yàn)?，?個(gè)整數(shù)解為，，
則，即，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
不等式可化為，分，兩種情況討論即可.
不等式可化為（*）．
當(dāng)時(shí)，（*）式即．
即．
又（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
所以，
當(dāng)時(shí)，（*）式為，．
又（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以．
綜上，．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立的問(wèn)題，涉及到二次函數(shù)的最值、基本不等式求最值，是一道有一定難度的題.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 若，則下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】采用作差法可知AB正確；通過(guò)反例可說(shuō)明CD錯(cuò)誤.
對(duì)于A，，
，，，
，即，A正確；
對(duì)于B，，
，，，
，即，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)，，，時(shí)，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 下列說(shuō)法不正確的是（）
A. 命題“，都有”的否定是“，使得”
B. 集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為
C. 集合，，若，則的值為0或4
D. 已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為4
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于A，寫(xiě)出命題的否定即可；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)即可排除；對(duì)于C，根據(jù),則，再分類討論即可；對(duì)于D，根據(jù),則,然后根據(jù)子集公式計(jì)算即可.
對(duì)于A，命題“，都有”的否定是“，都有”，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?
所以，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，或，解得或，
綜上，實(shí)數(shù)的取值集合為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?所以，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，即或，
若時(shí)，成立，
若時(shí)，不成立，
當(dāng)時(shí)，成立，
綜上，的值為或，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?所以,
因?yàn)?即集合的子集個(gè)數(shù)為。
所以集合的個(gè)數(shù)為，故D正確.
故選：AB.
11. 已知，均為正實(shí)數(shù)，且，則（）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
分析】對(duì)A，利用基本不等式即可解得；
對(duì)B，將2換成，進(jìn)而利用基本不等式得到答案；
對(duì)C，將原式化簡(jiǎn)為，進(jìn)而根據(jù)代換，然后得到答案；
對(duì)D，將原式變化為，進(jìn)而化簡(jiǎn)，然后設(shè)，而后用進(jìn)行代換，最后用基本不等式得到答案.
因?yàn)?，均為正?shí)數(shù)，且，
對(duì)A, ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，正確；
對(duì)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，錯(cuò)誤；
對(duì)C，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，正確；
對(duì)D，
，設(shè)，
則上式，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，正確；
故選：ACD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)將正確答案寫(xiě)往答題卡上，試卷作答無(wú)效）
12. 設(shè)集合滿足，則滿足條件的所有的數(shù)目為_(kāi)_________.
【答案】4
【解析】
【分析】列出所有滿足條件的集合的情況，即可得問(wèn)題的答案.
由題意知中必含有2和4，1和3可以選也可不選，則滿足條件的所有的情況如下：
，，，.
所以滿足條件的所有的數(shù)目為.
故答案為：4
13. 若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分離參數(shù)可得在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可求.
,
不等式，即在區(qū)間上有解.
設(shè)，，
則，
令，
設(shè)，,
，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，即.
故要使在區(qū)間上有解，則.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若，，使得不等式成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
若對(duì)任意，存在，使得不等式成立，
即只需滿足，
，對(duì)稱軸遞減，在遞增，
，對(duì)稱軸，
①即時(shí)，0,1遞增，恒成立；
②即時(shí)，在遞減，在遞增，，所以，故；
③即時(shí)，在[0，1]遞減，，
所以，解得，綜上.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題首先需要讀懂題意，進(jìn)行轉(zhuǎn)化；其次需要分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)最后進(jìn)行總結(jié)，即可求出結(jié)果.
四、解答題（共77分，請(qǐng)將解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)的位置）
15. 已知集合．
（1）若，求集合和；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），，;
（2）
【解析】
【分析】（1）將代入化簡(jiǎn)集合，再求，，即可；
（2）結(jié)合題意，列出不等式組求解，即可得到本題答案.
【小問(wèn)1】
解：當(dāng)時(shí)，
，，
，
，;
【小問(wèn)2】
∵，∴，
∴或，
即或，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16. 解下列不等式：
（1）
（2）解關(guān)于的不等式
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】化分式不等式為整式不等式進(jìn)而結(jié)合一元二次不等式的解法求解即可.
【小問(wèn)1】
原不等式可化為，即，
所以，等價(jià)于，
解得，
所以原不等式的解集為.
【小問(wèn)2】
，
不等式等價(jià)于，
若，則，解得，
若，解得，
若的兩根為，
若，即時(shí)，解得或，
若，即時(shí)，，解得，
若，即時(shí)，解得或；
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為.
17. 關(guān)于方程
（1）若方程滿足一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，求的取值范圍；
（2）若方程至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及一元二次方程根的分布求解即可；
（2）分方程有兩非負(fù)實(shí)根，有一負(fù)實(shí)根和一零根，有一正一負(fù)實(shí)根，三種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及一元二次方程根的分布求解即可.
【小問(wèn)1】
若方程一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，
令，
則，解得，
即的取值范圍是.
【小問(wèn)2】
①若方程有兩非負(fù)實(shí)根，則，解得；
②若方程有一負(fù)實(shí)根，一零根，則，，無(wú)解；
③若方程有一正一負(fù)實(shí)根，則，解得.
綜上所述，的取值范圍為.
18. 已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為40萬(wàn)元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品還需另外投入16萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)萬(wàn)件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬(wàn)件產(chǎn)品的銷售收入為萬(wàn)元，且已知
（1）求利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式：
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)？公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).
【答案】（1）；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為32萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6104萬(wàn)元.
【解析】
【分析】（1）利用利潤(rùn)等于收入減去成本，分兩種情況討論得到分段函數(shù)的解析式；
（2）求出分段函數(shù)的每一段的最大值，再比較最大值即得解.
【小問(wèn)1】
由題得利潤(rùn)等于收入減去成本.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
【小問(wèn)2】
當(dāng)時(shí)，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，
時(shí)，的最大值為6104萬(wàn)元，
即當(dāng)年產(chǎn)量為32萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6104萬(wàn)元.
19. 關(guān)于的方程
（1）若方程無(wú)實(shí)根，求的取值范圍；
（2）若方程有4個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；
（3）若，且滿足試判斷方程根的個(gè)數(shù).
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析（3）6個(gè)實(shí)根.
【解析】
【分析】（1）令，則，若原方程無(wú)實(shí)根，則無(wú)實(shí)根或?qū)嵏∮诹?，分情況討論即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，可知或時(shí)，時(shí)，時(shí)一個(gè)值對(duì)應(yīng)不同的值的個(gè)數(shù)，分情況求解即可；
（3）根據(jù)已知條件結(jié)合基本不等式可得，即可求解
【小問(wèn)1】
令，則，
原方程轉(zhuǎn)化為（*），
原方程無(wú)實(shí)根，則需（*）式無(wú)實(shí)根或?qū)嵏∮诹悖?br>令，
①若（*）式無(wú)實(shí)根，則，
解得，
②兩根均為負(fù)，則，
解得，
綜合①②，可知的取值范圍是；
【小問(wèn)2】
作函數(shù)的圖象，
可知或時(shí)，每一個(gè)值對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的值，
時(shí)一個(gè)值對(duì)應(yīng)3個(gè)不同的值，
時(shí)一個(gè)值對(duì)應(yīng)4個(gè)不同的值，
要使原方程有四個(gè)不等實(shí)根，
①（*）式一根為零，另一根大于，無(wú)解；
②（*）有兩不等根且兩根均大于，則，解得；
④（*）式有有1實(shí)根在0,1之間，另一根小于零則；
解得；
綜上所述，取值范圍為；
【小問(wèn)3】
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，
可得，即，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，
故，此時(shí)有，
故（*）式有兩不等實(shí)根且一根在0,1之間，另一根大于1，
故原方程有6個(gè)實(shí)根.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，在解不等式時(shí)一定要注意數(shù)值的正負(fù)與不等號(hào)的變化關(guān)系.

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