1. 化為弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先將角統(tǒng)一成度的形式，然后利用角度與弧度的互化公式求解即可
【詳解】（弧度）．
故選：A
2. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．
【詳解】解：不等式，可化為，解得，
即不等式的解集為．
故選：C．
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. －7B. －5C. －3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】按題意取值即可
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：A.
4. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，利用同角公式計(jì)算得解.
【詳解】由，得，而，
所以.
故選：D
5. 已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)
C. 4個(gè)D. 5個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)值符號(hào)變化，由零點(diǎn)存在性定理可得.
【詳解】由數(shù)表可知，.
則，，，
又函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，
由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)分別在上至少各一個(gè)零點(diǎn)，
因此在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè)．
故選：B.
6. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、運(yùn)算性質(zhì)即可得解.
【詳解】由題意，，
所以的大小關(guān)系為.
故選：D.
7. 某市一天內(nèi)的氣溫（單位：℃）與時(shí)刻（單位：時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，令表示時(shí)間段內(nèi)的溫差（即時(shí)間段內(nèi)最高溫度與最低溫度的差），與之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則下列圖象最接近的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象確定的變化趨勢(shì)，確定正確選項(xiàng)．
【詳解】由題意，從0到4逐漸增大，從4到8不變，從8到12逐漸增大，
從12到20不變，從20到24又逐漸增大，從4到8不變，
是常數(shù)，該常數(shù)為2，只有D滿足，
故選：D．
8. 若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②對(duì)任意的，，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，故在上單調(diào)遞減，并得到在上為偶函數(shù)，分和兩種情況，得到不等式，求出答案.
【詳解】不妨設(shè)，，
故，
令，故在上單調(diào)遞減，
其中定義域，
又在上為奇函數(shù)，
故，
所以在上為偶函數(shù)，
當(dāng)，即時(shí)，
，
即，，
故，
又，故，
解得或，
與求交集得到空集；
當(dāng)即時(shí)，
，
即，，
故，
又，故，解得或，
與取交集得.
故選：B
二．多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A. 命題p：，，則命題p的否定是，
B. “”是“”的必要不充分條件
C. 命題“，”是真命題
D. “”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特稱量詞命題的否定求解選項(xiàng)A；利用不等式的性質(zhì)確定選項(xiàng)B；利用全稱量詞命題的真假判斷選項(xiàng)C;利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確定選項(xiàng)D.
【詳解】命題p的否定是，，故A正確；
不能推出，例如，但；
也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根，
所以“”是“關(guān)于x方程有一正一負(fù)根”的充要條件，故D正確.
故選：AD.
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為
C. 若角的終邊上有一點(diǎn)，則
D. 若角為銳角，則角為鈍角
【答案】BC
【解析】
【分析】利用象限角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用扇形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)的定義四可判斷C選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榍覟榈诙笙藿牵?br>故是第二象限角，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的半徑為，
因此，該扇形面積為，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若角的終邊上有一點(diǎn)，則，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉殇J角，不妨取，則為直角，D錯(cuò).
故選：BC.
11. 《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3.設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（ ）
①由圖1和圖2面積相等得；
②由可得；
③由可得；
④由可得.
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】對(duì)于①：由圖1和圖2面積相等得，所以，故①正確；
對(duì)于②：因?yàn)椋?，所以?br>設(shè)圖3中內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為t，根據(jù)三角形相似可得，解得，
所以，
因?yàn)?，所以，整理可得，故②正確；
對(duì)于③：因?yàn)闉樾边叺闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以，整理得，故③正確；
對(duì)于④：因?yàn)?，所以，整理得：，故④正確；
故選：ABCD
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意及三角形的性質(zhì)，利用幾何法證明基本不等式，求得的表達(dá)式，根據(jù)圖形及題意，得到的大小關(guān)系，即可求得答案，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力.
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱
C. 存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)
D. 存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式的解集為
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)變形，并分析函數(shù)的性質(zhì)，再判斷選項(xiàng)ABC，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式判斷D作答.
【詳解】，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，而，在上都單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，因此函?shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，B正確；
對(duì)于C，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，
由對(duì)稱性知，函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)在R上最多兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而，
由對(duì)稱性及選項(xiàng)A知，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，得，
當(dāng)時(shí)，得，即的解集為，
所以存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式的解集為，D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)解不等式問(wèn)題，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.
第II卷（非選擇題）
三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．
13. 計(jì)算：______.
【答案】##-0.25
【解析】
【分析】直接由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及根式互化運(yùn)算，以及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意
.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】先根據(jù)定義域求出的值，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，
所以為的兩個(gè)根，
所以則，
即，
令，則在單調(diào)遞減，
令，
則為開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，且，
所以時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：
15. 已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則________
【答案】2023
【解析】
【分析】令，畫出函數(shù)的圖象，由圖象的對(duì)稱性即可得出答案.
【詳解】由已知條件有，，
令，畫出函數(shù)的圖象，
曲線和關(guān)于直線對(duì)稱，曲線關(guān)于，
設(shè)曲線分別與交于點(diǎn)，
則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
而點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，即為點(diǎn)，
則，所以.
故答案為：2023.
16. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)m，n，都有，且當(dāng)時(shí)，．若，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定內(nèi)的最大值為，從而可得，再分離參變量即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】取則有，所以，
取則有，
所以為奇函數(shù)，
任意則，
因?yàn)椋?br>所以，
令，
則有，
即，
所以在定義域上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，
令，所以，
所以，
因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，
所以對(duì)任意恒成立，
分離變量可得，
因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意恒成立，
所以，
所以解得，
故答案為:.
四．解答題：本題共6小題.17題10分，18—22題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 設(shè)為實(shí)數(shù)，，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】17. ，或
18.
【解析】
【分析】（1）先求出集合，由交集、并集和補(bǔ)集的定義求解即可；
（2）由交集的定義求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由可得：，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
或.
【小問(wèn)2詳解】
易知恒成立，即
或
解得或
所以.
18. 已知點(diǎn)在角的終邊上，且．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）三角由三角函數(shù)的定義即可求解.
（2）由三角函數(shù)定義、商數(shù)關(guān)系進(jìn)行切弦互換即可.
【小問(wèn)1詳解】
由三角函數(shù)的定義知：，則，
于是解得，得.
【小問(wèn)2詳解】
已知終邊過(guò)點(diǎn)得，
于是有.
19. 杭州亞運(yùn)會(huì)田徑比賽于2023年10月5日收官．在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌．人類長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段．現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行4小時(shí)長(zhǎng)跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時(shí)間）．疲勞階段由于體力消耗過(guò)大變?yōu)榈臏p速運(yùn)動(dòng)（表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力．已知該運(yùn)動(dòng)員初始體力為，不考慮其他因素，所用時(shí)間為（單位：h），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)寫出該運(yùn)動(dòng)員剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；
（2）該運(yùn)動(dòng)員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值，最低值為多少？
【答案】（1）
（2）在時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值5200kJ
【解析】
【分析】（1）先寫出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而求出剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；
（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值.
【小問(wèn)1詳解】
由題可先寫出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，
代入與公式可得
解得；
【小問(wèn)2詳解】
①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過(guò)程中最小值；
②疲勞階段，
則有；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，
所以疲勞階段中體力最低值為5200kJ，
由于，因此，在時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值5200kJ．
20. 我們知道，函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)．
（1）利用上述結(jié)論，證明：函數(shù)的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱圖形；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（無(wú)需證明），并解關(guān)于x的不等式：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）為減函數(shù)，答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由題，證明為奇函數(shù)即可；
（2）由題可得為減函數(shù)，又結(jié)合（1）結(jié)論可知
，后分類討論的值解不等式即可.
【小問(wèn)1詳解】
證明：由題意，只需證明為奇函數(shù)，
又，
易知函數(shù)定義域?yàn)?，所以為奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱圖形．
【小問(wèn)2詳解】
易知為增函數(shù)，且，對(duì)任意的恒成立，
所以為減函數(shù). 又由（1）知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，即，
所以原不等式等價(jià)于，
所以，即，
由解得，
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或；
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及函數(shù)新定義，以及利用新定義結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題.
本題關(guān)鍵是讀懂信息，第一問(wèn)將證明函數(shù)對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)奇偶性，第二問(wèn)則利用所得結(jié)論將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為含參二次不等式.
21. 定義：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“倒值映射區(qū)間”.已知一個(gè)定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)在內(nèi)的“倒值映射區(qū)間”；
（3）求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒值映射區(qū)間”.
【答案】21.
22.
23. 和
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求得在上的解析式，結(jié)合，從而求解函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性建立方程組求解即可；
（3）根據(jù)區(qū)間定義知，分和討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，建立方程組求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
是定義在上的奇函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，則，
又是奇函數(shù)，則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，函數(shù)，
因?yàn)樵谏线f減，且在上的值域?yàn)椋?br>所以，解得，
所以函數(shù)在內(nèi)的“倒值映射區(qū)間”為.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)樵跁r(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，
其中且，所以，則，
只考慮或，
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，則，所以，，
則，由（2）知，此時(shí)的“倒值映射區(qū)間”為；
②當(dāng)時(shí)，可知因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，則，所以，，
當(dāng)在上遞減，
且在上的值域?yàn)椋裕獾茫?br>所以的“倒值映射區(qū)間”為；
綜上，函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒值映射區(qū)間”為和.
22. 已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)（），若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)代入即可求解；
（2）令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)，對(duì)分類討論即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，
因?yàn)榈亩x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，
所以，
所以
所以
所以，即．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知
所以，
令，，
即，整理得，
其中，所以，
令，則得，
①當(dāng)時(shí)，，即，
所以方程在區(qū)間上有唯一解，
則方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)，恒有，，，
所以當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上有唯一解．
②當(dāng)時(shí)，，即，
方程在區(qū)間上有唯一解，
因?yàn)榉匠虒?duì)應(yīng)的二次函數(shù)的開(kāi)口向下，恒有，
，所以滿足恒有，解得
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有唯一零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)代入原函數(shù)即可求解參數(shù)；x
1
2
3
4
5
6
7
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6

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四川省成都市石室中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

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