考試說明：1．考試時間120分鐘 2．試題總分150分 3．試卷頁數(shù)2頁
一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個備選選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. 命題“”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由全稱命題的否定即可得出答案.
命題“”，
由全稱命題的否定可知，
命題“”的否定為：，
故選：C.
2. 下列表示正確的個數(shù)是（）
（1）；（2）；（3）；（4）若，則
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】由元素與集合的關系可判斷（1）；由集合與集合的包含關系可判斷（2）；由描述法可判斷（3）；由集合的包含關系與交集的定義可判斷（4）．
因為空集沒有任何元素，故，故（1）正確；
因為空集是任何集合的子集，故，故（2）正確；
解方程組得，則，故（3）錯誤；
若，則，故（4）正確.
所以正確的個數(shù)是3．
故選：A．
3. 估計的值應在（）
A. 9和10之間B. 8和9之間C. 7和8之間D. 6和7之間
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)二次根式的運算法則進行計算，在對根式進行估算即可.
，
因為，
所以，
所以，
故選：C.
4. 已知二次函數(shù)的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（）
AB. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】由條件可得二次方程有解，列不等式求的范圍即可.
由已知二次方程有解，
所以，且，
所以且.
故選：D.
5. 比較與（，）的大?。ǎ?br>A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差化簡比較大小即可.
因為，，
所以，
所以
，
所以，
故選：C
6. 已知，則的最小值為（）
A. 16B. 18C. 8D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】將轉化為，發(fā)現(xiàn)所求式子兩個分母和為定值1，即，所以運用“1”的靈活代換及均值不等式即可求解.
解：因為，所以，
又因為，
所以
（當且僅當即時等號成立），
故選：B.
7. 已知命題，，命題，，若命題p，q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）.
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】若命題p為真命題，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范圍，若命題q為真命題，則由即可求出a的取值范圍，再取兩者的交集即可.
∵命題：為真命題，
∴，
又∵，∴，當且僅當，即時，等號成立，
∴，
∵命題，，為真命題，
∴，∴或，
∵命題p，q都是真命題，
∴或.
故選：C
8. 已知集合且，定義集合，若，給出下列說法：①；②；③；正確的個數(shù)是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的新定義結合，可得,由此即可求解.
因為集合且,
若，則中也包含四個元素,即
剩下的，，
對于①:由得,故①正確;
對于②：由得,故②正確;
對于③：由得,故③正確;
故選:D
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對6分，部分選對部分分）
9. 下列說法不正確的是（）
A. “”是“”的充分不必要條件
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 若，則“”的充要條件是“”
D. 若，則“”是“”的充要條件
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及特殊值法，結合充分條件必要條件的定義即可求解.
對于A選項，當時，當時，所以兩者既不充分也不必要，故A 錯誤;
對于B選項，當時，可取，但，當時，，故 B 正確;
對于C選項，當時，，從而，反之，時，若，則，所以兩者不是充要條件，故 C錯誤；
對于D 選項，且，故D正確，
故選:AC
10. 設正實數(shù)m，n滿足，則（）
A. 的最小值為3B. 的最大值為2
C. 的最大值為1D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本不等式逐項求解判斷即可.
因為正實數(shù)m，n滿足，
所以，
當且僅當，即，，等號成立，故A錯誤；
，當且僅當時，等號成立，所以，故B正確；
，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；
，當且僅當時，等號成立，故D錯誤；
故選：BC
11. 已知二次函數(shù)（為常數(shù)）對稱軸為，其圖像如圖所示，則下列選項正確的有（）
A.
B. 當時，函數(shù)的最大值為
C. 關于的不等式的解為或
D. 若關于的函數(shù)與關于的函數(shù)有相同的最小值，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，由開口方向，與軸交點，及對稱軸，求出的正負，得到A正確；B選項，當時，數(shù)形結合得到函數(shù)隨著的增大而減小，從而求出最大值；C選項，結合，化簡不等式，求出解集；D選項，配方得到兩函數(shù)的最小值，從而得到，求出.
A選項，二次函數(shù)圖象開口向上，故，
對稱軸為，故，
圖象與軸交點在軸正半軸，故，
所以，故，A正確；
B選項，因為，故，
因為，所以，
當時，隨著的增大而減小，
所以時，取得最大值，最大值為，B錯誤；
C選項，因為，所以，
，
故不等式變形為，
因為，，解得：或，故C正確；
D選項，，當時，取得最小值，最小值為，
，當時，取得最小值，最小值為，
所以，即，所以，
即，故D正確.
故選：ACD
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知集合，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)集合相等的定義求解即可．
由題意得，，解得或，
當時，集合為，不滿足集合中元素的互異性，舍去，
當時，集合為，滿足題意，
故答案為：．
13. 已知，求的取值范圍__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法設，得到方程組，解出，再根據(jù)不等式基本性質即可得到答案.
】設,則解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案為：.
14. 已知正實數(shù)滿足，且，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】將，變形為，再由，利用基本不等式求解.
解：因為，
所以，
所以，
（當且僅當時，聯(lián)立，
解得），
所以的最小值為4，
故答案為：4
四、解答題（本愿共5小題，共77分）
15. 已知，或．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分和兩種情況討論求解即可；
（2）由題意得，從而可求出的取值范圍．
【小問1】
①當時，，∴，∴．
②當時，要使，必須滿足，解得．
綜上所述，取值范圍是．
【小問2】
∵，，或，
∴，解得，
故所求的取值范圍為．
16. 已知集合
（1）若寫出的所有子集
（2）若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用一元二次方程化簡集合A，B，再利用集合的并集運算求解，進而得到子集；
（2）由題意得到，分中沒有元素即，中只有一個元素和中有兩個元素求解.
【小問1】
，
若，則，此時，
所以子集為.
【小問2】
若是的必要條件，只需.
①若中沒有元素即，
則，此時，滿足；
②若中只有一個元素，則，此時．
則，此時滿足；
③若中有兩個元素，則，此時．
因為中也有兩個元素，且，則必有，
由韋達定理得，則，矛盾，故舍去．
綜上所述，當時，．
所以實數(shù)的取值范圍：．
17. 對于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動點．
（1）求二次函數(shù)的不動點；
（2）若二次函數(shù)有兩個不相等的不動點、，且、，求的最小值．
【答案】（1）不動點為和
（2）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)不動點的定義，解方程，可得答案；
（2）根據(jù)題意，即為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，解得的范圍，再由韋達定理結合基本不等式可求得的最小值.
【小問1】
由題意知：，
，
，
解得，，
所以二次函數(shù)的不動點為和．
【小問2】
依題意，有兩個不相等的正實數(shù)根，
即方程有兩個不相等的正實數(shù)根，
所以，解得，
所以，，
所以
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為6．
18. 某食品企業(yè)為了提高其生產(chǎn)一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量噸與年促銷費用萬元之間滿足函數(shù)關系式（為常數(shù)），如果不開展促銷活動，年銷量是1噸.已知每一年生產(chǎn)設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1噸食品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，通過市場分析，若將每噸食品售價定為：“每噸食品平均生產(chǎn)成本的1.5倍”與“每噸食品平均促銷費的一半”之和，則當年生產(chǎn)的該款食品正好能銷售完.
（1）求值；
（2）將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數(shù)；
（3）該食品企業(yè)下一年的促銷費投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？
（注：利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費，生產(chǎn)成本固定費用生產(chǎn)費用）
【答案】（1）
（2）
（3）該食品企業(yè)下一年的促銷費投入6萬元時，該款食品的利潤最大為萬元.
【解析】
【分析】（1）依題意當時，代入計算可得；
（2）依題意求出當年生產(chǎn)噸時，求出年生產(chǎn)成本和為年銷售收入，從而可表示出食品的利潤；
（3）由（2）可得，利用基本不等式計算可得.
【小問1】
由題意可知，當時，，所以，解得；
【小問2】
由于，故，
由題意知，當年生產(chǎn)噸時，年生產(chǎn)成本為：，
當銷售噸時，年銷售收入為：，
由題意，，
即.
【小問3】
由（2）知：，
即
，
當且僅當，又，即時，等號成立.
此時，.
該食品企業(yè)下一年的促銷費投入6萬元時，該款食品的利潤最大為萬元.
19. 問題：正數(shù)a，b滿足，求的最小值．其中一種解法是：，當且僅當，且時，即且時取等號．學習上述解法并解決下列問題：
（1）若正實數(shù)x，y滿足，求的最小值；
（2）若正實數(shù)a，b，x，y滿足，且，試比較和的大小，并說明理由；
（3）利用（2）的結論，求代數(shù)式的最小值，并求出使得取得最小值時m的值．
【答案】（1）
（2），理由見解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）把轉化為，利用題設給出的方法求和的最小值.
（2）借助“1”的代換，利用，再利用不等式可判斷和的大小.
（3）取，，構造，利用（2）的結論，可求的最小值，再分析“”成立的條件，可得的值.
【小問1】
由（，）可得：（，），
所以（當且僅當即時取“”）.
所以的最小值為：.
【小問2】
因為，
所以，
因為（當且僅當時取“”）.
所以（當時取“”）
所以：（當且僅當即時取“”）.
【小問3】
取，，
由，此時，所以.
同時：，取，.
由（2）可知：，所以，
當且僅當，結合，得即時取“”.
【點睛】方法點睛：本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類比：“1”的代換．解題關鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關系，同時考查新知識（新結論）的應用.

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