（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1.直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
2.曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知直線和.則“”是“”的（）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）
A.0 B. C.1 D.2
5.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，直線與交于兩點(diǎn)，若的面積是的面積的2倍，則（）
A. B. C. D.或
6.過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線與它的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，且是坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）
A.2 B. C. D.3
7.直線經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的最小值是（）
A.4 B.6 C.8 D.9
8.已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是（）
A.5 B.9 C.4 D.3
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9.已知直線的斜率分別是，傾斜角分別是，且，則下列關(guān)系可能正確的是（）
A. B.
C. D.
10.下列說法中錯(cuò)誤的是（）
A.方程表示的曲線是圓
B.若兩條直線平行，則它們的斜率相等
C.直線的一個(gè)法向量的坐標(biāo)是
D.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓
11.已知橢圓上有一點(diǎn)分別為其左?右焦點(diǎn)，的面積為，則下列說法正確的是（）
A.若，則
B.若，則滿足題意的點(diǎn)有4個(gè)
C.若是鈍角三角形，則
D.橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最小值為12
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12.若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)的值為__________.
13.已知圓，圓，若動(dòng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程是__________.
14.已知函數(shù)，若在平面直角坐標(biāo)系中，所有滿足的點(diǎn)都不在直線上，則下列方程中：①，③，④可能是直線的方程的是__________.（填寫序號(hào)）.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分13分）
已知是的三個(gè)頂點(diǎn)，求證：的三條高交于一點(diǎn).
16.（本小題滿分15分）
已知直線，圓.
（1）求證：直線與圓恒相交；
（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程.
17.（本小題滿分15分）
已知直線與交于點(diǎn).
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程.
18.（本小題滿分17分）
已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，問：直線，的斜率之和是否為定值？若是，請(qǐng)求出該值；否則，請(qǐng)說明理由.
19.（本小題滿分17分）
已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)（不重合）.
（1）求的取值范圍；
（2）如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積.
2024年秋期六校第一次聯(lián)考
高二年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案
1.【答案】C
【解析】直線的斜率，所以傾斜角為.
2.【答案】B
【解析】方程表示的曲線是邊長(zhǎng)為的正方形，所以圍成的圖形面積是2.
3.【答案】C
【解析】根據(jù)兩直線平行的條件得得或，但時(shí)兩直線重合，故選C.
4.【答案】A
【解析】由兩條切線的夾角是，得圓的半徑是2，從而.
5.【答案】B
【解析】由已知得：，解得或，但時(shí)，直線和橢圓沒有交點(diǎn)，故.
6.【答案】A
【解析】由得雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，又，得，所以.
7.【答案】D
【解析】根據(jù)已知設(shè)直線方程為，得：，
8.【答案】C
【解析】由已知得，設(shè)，所以，從而或時(shí)取最小值為4.
9.【答案】ABD
【解析】當(dāng)傾斜角都為銳角或都是鈍角時(shí)，；當(dāng)為兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角時(shí)，；一個(gè)銳角，兩個(gè)鈍角時(shí)，.
10.【答案】ABD
【解析】A錯(cuò)的原因是軌跡不存在，B錯(cuò)的原因是兩直線都和軸平行時(shí)斜率不存在，D錯(cuò)的原因是軌跡可能是線段或不存在.故選ABD.
11.【答案】ABC
【解析】由橢圓可得，則，對(duì)于A，設(shè)，，則，由此可得，所以的面積為，
所以，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?br>則，所以由橢圓的對(duì)稱性可知滿足題意的點(diǎn)有4個(gè)，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭氢g角三角形，所以中有一個(gè)角大于，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以解得，所以，所以是鈍角三角形時(shí)，有，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)為橢圓內(nèi)接矩形位于第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)，令，，則橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為
（其中且滿足），由得，所以橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的范圍為，即，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC.
12.【答案】或10
【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得.
13.【答案】
【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則由已知得，
所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.從而方程是.
14.【答案】②③④
【解析】在定義域上是單調(diào)遞增，又，曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，在平面直角坐標(biāo)系中，所有滿足即的點(diǎn)都不在直線上.結(jié)合定義域點(diǎn)與陰影三角形無公共點(diǎn)即可），故答案為：②③④.
15.【解析】
由已知得：
所以邊上高所在直線方程為：
化簡(jiǎn)得：①
同理得邊上高所在直線方程為：②
同理得邊上高所在直線方程為：③
聯(lián)立方程①②得：
把代入，方程成立，
所以的三條高交于同一點(diǎn).
注意：求直線方程時(shí)，也可以利用垂直得斜率，利用點(diǎn)斜式求解.
16.【解析】
（1）方法一：證明：圓的圓心為，它到直線的距離為
所以直線與圓恒相交.
方法二：恒過點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)部，
所以直線與圓恒相交.
（2）由三角形的面積公式得
所以當(dāng)時(shí)（顯然可以取到），的面積最大-
此時(shí)到直線的距離為
由
解得
故此時(shí)直線的方程為
17.【解析】
（1）由已知得
所以兩直線恒垂直，
又恒過點(diǎn)恒過點(diǎn)，
所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，
從而點(diǎn)的軌跡方程為
（化為一般式也得分）
（2）設(shè)
因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過原點(diǎn)，所以
即
即①
把代入
整理，得
所以，即②
而
代入①得，解得或
都滿足②
所以直線的方程為或.
18.【解析】
（1）由題意得：
所以
所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓
且，從而
所以的軌跡方程為：.
（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，（其中），，
聯(lián)立，消可得，
則，解得或，
，
所以
（定值）
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，則關(guān)于軸對(duì)稱，所以，
所以，
綜上可得（定值）
19.【解析】
（1）由雙曲線的定義可知，
曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
故曲線的方程為，
由題意建立方程組，
得，
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，設(shè)，
有，
解得，
（2）由（1）知，
則
解得或，
又，
故直線的方程為，
設(shè)，由已知，得，
即
又，
故點(diǎn)，代入曲線中，得，
但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，
，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又到的距離為的面積.

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