一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．（4分）﹣5的絕對(duì)值是（ ）
A．5B．﹣5C．15D．?15
2．（4分）如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（3x）2＝3x2B．3x+3y＝6xy
C．（x+y）2＝x2+y2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
4．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
5．（4分）為深入貫徹落實(shí)《中共中央、國務(wù)院關(guān)于學(xué)習(xí)運(yùn)用“千村示范、萬村整治”工程經(jīng)驗(yàn)有力有效推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興的意見》精神，某鎮(zhèn)組織開展“村BA”、村超、村晚等群眾文化賽事活動(dòng)，其中參賽的六個(gè)村得分分別為：55，64，51，50，61，55，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．53B．55C．58D．64
6．（4分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACB＝∠ACD
7．（4分）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)題目：今有共買進(jìn)，人出半，盈四；人出少半，不足三．問人數(shù)，琎價(jià)各幾何？其大意是：今有人合伙買進(jìn)石，每人出12錢，會(huì)多出4錢；每人出13錢，又差了3錢．問人數(shù)，琎價(jià)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，琎價(jià)為y，則可列方程組為（ ）
A．y=12x+4y=13x+3B．y=12x?4y=13x+3
C．y=12x?4y=13x?3D．y=12x+4y=13x?3
8．（4分）在?ABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA，BC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線BO，交AD于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD＝3，DE＝2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBEB．BC＝5C．DE＝DFD．BEEF=53
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
9．（4分）若m，n為實(shí)數(shù)，且（m+4）2+n?5=0，則（m+n）2的值為 ．
10．（4分）分式方程1x?2=3x的解是 ．
11．（4分）如圖，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，則AB的長(zhǎng)為 .
12．（4分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機(jī)取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，則xy的值為 ．
13．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），過點(diǎn)B作y軸的垂線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為 ．
三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）
14．（12分）（1）計(jì)算：16+2sin60°﹣（π﹣2024）0+|3?2|；
（2）解不等式組：2x+3≥?1①x?12?1＜x3②．
15．（8分）2024年成都世界園藝博覽會(huì)以“公園城市美好人居”為主題，秉持“綠色低碳、節(jié)約持續(xù)、共享包容”的理念，以園藝為媒介，向世界人民傳遞綠色發(fā)展理念和詩意棲居的美好生活場(chǎng)景．在主會(huì)場(chǎng)有多條游園線路，某單位準(zhǔn)備組織全體員工前往參觀，每位員工從其中四條線路（國風(fēng)古韻觀賞線、世界公園打卡線、親子互動(dòng)慢游線、園藝小清新線）中選擇一條．現(xiàn)隨機(jī)選取部分員工進(jìn)行了“線路選擇意愿”的摸底調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表．
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的員工共有 人，表中x的值為 ；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求“國風(fēng)古韻觀賞線”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（3）若該單位共有2200人，請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)選擇“園藝小清新線”的員工人數(shù)．
16．（8分）中國古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù)．某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子AB垂直于地面，AB長(zhǎng)8尺．在夏至?xí)r，桿子AB在太陽光線AC照射下產(chǎn)生的日影為BC；在冬至?xí)r，桿子AB在太陽光線AD照射下產(chǎn)生的日影為BD．已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cs73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）
17．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接BE，BF，DF．
（1）求證；BC?DF＝BF?CE；
（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC=5，AF＝45，求CF的長(zhǎng)和⊙O的直徑．
18．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+m與直線y＝2x相交于點(diǎn)A（2，a），與x軸交于點(diǎn)B（b，0），點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=kx（k＜0）圖象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)和k的值；
（3）過A，C兩點(diǎn)的直線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱．若有且只有一點(diǎn)C，使得△ABD與△ABE相似，求k的值．
B卷
一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
19．（4分）如圖，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，則∠DCE的度數(shù)為 ．
20．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+（n﹣2）2的值為 ．
21．（4分）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)1～n這n個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于n的取法種數(shù)k進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n＝2時(shí)，只有{1，2}一種取法，即k＝1；當(dāng)n＝3時(shí)，有{1，3}和{2，3}兩種取法，即k＝2；當(dāng)n＝4時(shí)，可得k＝4；……．若n＝6，則k的值為 ；若n＝24，則k的值為 ．
22．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn)，連接BE．若BE＝BC，CD＝2，則BD＝ ．
23．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣1圖象上三點(diǎn)．若0＜x1＜1，x2＞4，則y1 y2（填“＞”或“＜”）；若對(duì)于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，則m的取值范圍是 ．
二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）
24．（8分）推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興．某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡(luò)銷售，在水果收獲的季節(jié)，該合作社用17500元從農(nóng)戶處購進(jìn)A，B兩種水果共1500kg進(jìn)行銷售，其中A種水果收購單價(jià)10元/kg，B種水果收購單價(jià)15元/kg．
（1）求A，B兩種水果各購進(jìn)多少千克；
（2）已知A種水果運(yùn)輸和倉儲(chǔ)過程中質(zhì)量損失4%，若合作社計(jì)劃A種水果至少要獲得20%的利潤(rùn)，不計(jì)其他費(fèi)用，求A種水果的最低銷售單價(jià)．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為C，D是拋物線第四象限上一點(diǎn)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD的值；
（3）延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)AD＝DE時(shí)，將△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．將拋物線L平移得到拋物線L′，使得點(diǎn)A′，B′都落在拋物線L′上．試判斷拋物線L′與L是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
26．（12分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究BDCE的值．
【深入探究】
（2）如圖2，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在△ABC的中線BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)．
【拓展延伸】
（3）在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C，D，E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．
2024年四川省成都市金堂縣金龍中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷
參考答案與試題解析
A卷
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．（4分）﹣5的絕對(duì)值是（ ）
A．5B．﹣5C．15D．?15
【答案】A
【解答】解：根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，得|﹣5|＝5．
故選：A．
2．（4分）如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：從正面看，底層是三個(gè)小正方形，上層的左邊是一個(gè)小正方形．
故選：A．
3．（4分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（3x）2＝3x2B．3x+3y＝6xy
C．（x+y）2＝x2+y2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【答案】D
【解答】解：A．∵（3x）2＝9x2，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．∵3x，3y不是同類項(xiàng)，不能合并，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．∵（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，∴此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
4．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
【答案】B
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，4）．
故選：B．
5．（4分）為深入貫徹落實(shí)《中共中央、國務(wù)院關(guān)于學(xué)習(xí)運(yùn)用“千村示范、萬村整治”工程經(jīng)驗(yàn)有力有效推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興的意見》精神，某鎮(zhèn)組織開展“村BA”、村超、村晚等群眾文化賽事活動(dòng)，其中參賽的六個(gè)村得分分別為：55，64，51，50，61，55，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．53B．55C．58D．64
【答案】B
【解答】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排序后為50，51，55，55，61，64，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為55+552=55．
故選：B．
6．（4分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACB＝∠ACD
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA=12AC，
∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD不一定成立，AC＝BD，一定成立，AB＝AD一定不成立，
故選：C．
7．（4分）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)題目：今有共買進(jìn)，人出半，盈四；人出少半，不足三．問人數(shù)，琎價(jià)各幾何？其大意是：今有人合伙買進(jìn)石，每人出12錢，會(huì)多出4錢；每人出13錢，又差了3錢．問人數(shù)，琎價(jià)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，琎價(jià)為y，則可列方程組為（ ）
A．y=12x+4y=13x+3B．y=12x?4y=13x+3
C．y=12x?4y=13x?3D．y=12x+4y=13x?3
【答案】B
【解答】解：∵每人出12錢，會(huì)多出4錢，
∴y=12x﹣4；
∵每人出13錢，會(huì)差3錢，
∴y=13x+3．
∴根據(jù)題意可列方程組y=12x?4y=13x+3．
故選：B．
8．（4分）在?ABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA，BC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線BO，交AD于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD＝3，DE＝2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBEB．BC＝5C．DE＝DFD．BEEF=53
【答案】D
【解答】解：由作法得BO平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，所以A選項(xiàng)不符合題意；
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5，
∴BC＝5，所以B選項(xiàng)不符合題意；
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠ABE，
∵∠AEB＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠F，
∴DE＝DF＝2，所以C選項(xiàng)不符合題意；
∵DE∥BC，
∴BEEF=CDDF=32，所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
9．（4分）若m，n為實(shí)數(shù)，且（m+4）2+n?5=0，則（m+n）2的值為 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵m，n為實(shí)數(shù)，且（m+4）2+n?5=0，
∴m+4＝0，n﹣5＝0，
解得m＝﹣4，n＝5，
∴（m+n）2＝（﹣4+5）2＝12＝1．
故答案為：1．
10．（4分）分式方程1x?2=3x的解是 x＝3 ．
【答案】x＝3．
【解答】解：去分母得：x＝3（x﹣2），
去括號(hào)得：x＝3x﹣6，
解得：x＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是分式方程的解．
故答案為：x＝3．
11．（4分）如圖，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，則AB的長(zhǎng)為 4π .
【答案】4π．
【解答】解：AB的長(zhǎng)為120π×6180=4π．
故答案為：4π．
12．（4分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機(jī)取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，則xy的值為 35 ．
【答案】35．
【解答】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，共有（x+y）個(gè)棋，
∵從盒中隨機(jī)取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，
∴可得關(guān)系式xx+y=38，
∴8x＝3x+3y，
即5x＝3y，
∴xy=35．
故答案為：35．
13．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），過點(diǎn)B作y軸的垂線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為 5 ．
【答案】5．
【解答】解：取點(diǎn)O'（0，4），連接O'P，O'A，如圖，
∵B（0，2），過點(diǎn)B作y軸的垂線l，
∴點(diǎn)O'（0，4）與點(diǎn)O（0，0）關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴PO'＝PO，
∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A，
即PO+PA的最小值為O'A的長(zhǎng)，
在Rt△O'AO中，
∵OA＝3，OO'＝4，
∴由勾股定理，得O'A=OA2+OO′2=32+42=5，
∴PO+PA的最小值為5．
故答案為：5．
三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）
14．（12分）（1）計(jì)算：16+2sin60°﹣（π﹣2024）0+|3?2|；
（2）解不等式組：2x+3≥?1①x?12?1＜x3②．
【答案】（1）5；
（2）﹣2≤x＜9．
【解答】解：（1）原式＝4+2×32?1+2?3
＝4+3?1+2?3
＝5；
（2）解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜9，
所以不等式組的解集是﹣2≤x＜9．
15．（8分）2024年成都世界園藝博覽會(huì)以“公園城市美好人居”為主題，秉持“綠色低碳、節(jié)約持續(xù)、共享包容”的理念，以園藝為媒介，向世界人民傳遞綠色發(fā)展理念和詩意棲居的美好生活場(chǎng)景．在主會(huì)場(chǎng)有多條游園線路，某單位準(zhǔn)備組織全體員工前往參觀，每位員工從其中四條線路（國風(fēng)古韻觀賞線、世界公園打卡線、親子互動(dòng)慢游線、園藝小清新線）中選擇一條．現(xiàn)隨機(jī)選取部分員工進(jìn)行了“線路選擇意愿”的摸底調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表．
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的員工共有 160 人，表中x的值為 40 ；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求“國風(fēng)古韻觀賞線”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（3）若該單位共有2200人，請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)選擇“園藝小清新線”的員工人數(shù)．
【答案】（1）160，40；
（2）99°；
（3）385人．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的員工共有48÷30%＝160（人），
表中x的值為160×90360=40；
故答案為：160，40；
（2）360°×44160=99°，
答：在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“國風(fēng)古韻觀賞線”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為99°；
（3）2200×160?44?40?48160=385（人），
答：估計(jì)選擇“園藝小清新線”的員工人數(shù)為385人．
16．（8分）中國古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù)．某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子AB垂直于地面，AB長(zhǎng)8尺．在夏至?xí)r，桿子AB在太陽光線AC照射下產(chǎn)生的日影為BC；在冬至?xí)r，桿子AB在太陽光線AD照射下產(chǎn)生的日影為BD．已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cs73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）
【答案】春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度為9.2尺．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝8尺，∠ACB＝73.4°，
∴tan73.4°=8BC，
∵tan73.4°≈3.35，
∴BC≈83.35≈2.4（尺）；
在Rt△ABD中，AB＝8尺，∠ADB＝26.6°，
∴tan26.6°=8BD，
∵tan26.6°≈0.50，
∴BD≈16.0（尺）；
∴CD＝BD﹣BC＝16.0﹣2.4＝13.6（尺），
觀察可知，春分和秋分時(shí)日影頂端為CD的中點(diǎn)，
∵2.4+13.62=9.2（尺），
∴春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度為9.2尺．
17．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接BE，BF，DF．
（1）求證；BC?DF＝BF?CE；
（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC=5，AF＝45，求CF的長(zhǎng)和⊙O的直徑．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）CF的長(zhǎng)為5，⊙O的直徑為36．
【解答】（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BFD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BFD＝∠C，
∵BF=BF，
∴∠BEC＝∠BDF，
∴△BCE∽△BDF，
∴BCBF=CEDF，
∴BC?DF＝BF?CE；
（2）解：連接DE，過E作EH⊥BD于H，如圖：
∵∠C＝90°，tan∠BFC=5，
∴BCCF=5，
∴BC=5CF，
∵∠A＝∠CBF，
∴90°﹣∠A＝90°﹣∠CBF，即∠ABC＝∠BFC，
∴tan∠ABC＝tan∠BFC=5，
∴ACBC=5，
∴AC=5BC=5×（5CF）＝5CF，
∵AC﹣CF＝AF＝45，
∴5CF﹣CF＝45，
∴CF=5，
∴BC=5CF＝5，AC＝5CF＝55，
∴AB=BC2+AC2=52+(55)2=56，
由（1）知△BCE∽△BDF，
∴∠CBE＝∠DBF，
∴∠CBE﹣∠FBE＝∠DBF﹣∠FBE，即∠CBF＝∠EBA，
∵∠A＝∠CBF，
∴∠A＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∴BH＝AH=12AB=562，
∵∠BEH＝90°﹣∠EBA＝90°﹣∠CBF＝∠BFC，
∴tan∠BEH＝tan∠BFC=5，
∴BHEH=5，即562EH=5，
∴EH=302，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BED＝90°，
∴∠EDH＝90°﹣∠DEH＝∠BEH，
∴tan∠EDH＝tan∠BEH=5，
∴EHDH=5，即302DH=5，
∴DH=62，
∴BD＝DH+BH=62+562=36，
∴⊙O的直徑為36．
答：CF的長(zhǎng)為5，⊙O的直徑為36．
18．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+m與直線y＝2x相交于點(diǎn)A（2，a），與x軸交于點(diǎn)B（b，0），點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=kx（k＜0）圖象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)和k的值；
（3）過A，C兩點(diǎn)的直線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱．若有且只有一點(diǎn)C，使得△ABD與△ABE相似，求k的值．
【答案】（1）a的值為4，m的值為6，b的值為6；
（2）C的坐標(biāo)為（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值為﹣16；
（3）k的值為﹣1．
【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝﹣x+m得：4＝﹣2+m，
∴m＝6；
∴直線y＝﹣x+m為y＝﹣x+6，
把B（b，0）代入y＝﹣x+6得：0＝﹣b+6，
∴b＝6，
∴a的值為4，m的值為6，b的值為6；
（2）設(shè)C（t，kt），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①當(dāng)AC，BO為對(duì)角線時(shí)，AC，BO的中點(diǎn)重合，
∴t+2=6+0kt+4=0+0，
解得t=4k=?16，
經(jīng)檢驗(yàn)，t＝4，k＝﹣16符合題意，
此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，﹣4）；
②當(dāng)CB，AO為對(duì)角線時(shí)，CB，AO的中點(diǎn)重合，
∴t+6=2+0kt+0=4+0，
解得t=?4k=?16，
經(jīng)檢驗(yàn)，t＝﹣4，k＝﹣16符合題意，
此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，4）；
③當(dāng)CO，AB為對(duì)角線時(shí)，CO，AB的中點(diǎn)重合，
∴t+0=2+6kt+0=4+0，
解得t=8k=32，
∵k＝32＞0，
∴這種情況不符合題意；
綜上所述，C的坐標(biāo)為（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值為﹣16；
（3）如圖：
設(shè)直線AC解析式為y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q，
∴q＝4﹣2p，
∴直線AC解析式為y＝px+4﹣2p，
在y＝px+4﹣2p中，令y＝0得x=2p?4p，
∴D（2p?4p，0），
∵E與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴E（4?2pp，0），
∵B（6，0），
∴BE＝6?4?2pp=8p?4p，BD＝6?2p?4p=4p+4p，
∵△ABD與△ABE相似，
∴E只能在B左側(cè)，
∴∠ABE＝∠DBA，
故△ABD與△ABE相似，只需BEAB=ABBD即可，即BE?BD＝AB2，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2＝32，
∴8p?4p×4p+4p=32，
解得p＝1，
經(jīng)檢驗(yàn)，p＝1滿足題意，
∴直線AC的解析式為y＝x+2，
∵有且只有一點(diǎn)C，使得△ABD與△ABE相似，
∴直線AC與反比例函數(shù)y=kx（k＜0）圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴x+2=kx只有一個(gè)解，
即x2+2x﹣k＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝0，即22+4k＝0，
解得k＝﹣1，
∴k的值為﹣1．
B卷
一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
19．（4分）如圖，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，則∠DCE的度數(shù)為 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB＝∠CED＝45°，
∵∠D＝35°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣45°﹣35°＝100°，
故答案為：100°．
20．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+（n﹣2）2的值為 7 ．
【答案】7．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m2﹣5m+2＝0，m+n＝5，
∴m2+5m＝﹣2，n＝5﹣m，
∴m+（n﹣2）2
＝m+（3﹣m）2
＝m2﹣5m+9
＝﹣2+9
＝7．
故答案為：7．
21．（4分）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)1～n這n個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于n的取法種數(shù)k進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n＝2時(shí)，只有{1，2}一種取法，即k＝1；當(dāng)n＝3時(shí)，有{1，3}和{2，3}兩種取法，即k＝2；當(dāng)n＝4時(shí)，可得k＝4；……．若n＝6，則k的值為 9 ；若n＝24，則k的值為 144 ．
【答案】9，144．
【解答】解：當(dāng)n＝6時(shí)，從1，2，3，4，5，6中，取兩個(gè)數(shù)的和大于6，這兩個(gè)數(shù)分別是{6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4，3}，
∴k＝5+3+1＝9；
當(dāng)n＝24時(shí)，從1，2，，23，24中，取兩個(gè)數(shù)的和大于24，這兩個(gè)數(shù)分別是：
{24，1}，{24，2}{24，23}，
{23，2}{23，3}{23，22}，
{22，3}，{22，4}{22，21}，
．
{14，11}，{14，12}，{14，13}，
{13，12}，
∴k＝23+21+19++3+1＝144；
故答案為：9，144．
22．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn)，連接BE．若BE＝BC，CD＝2，則BD＝ 1+172 ．
【答案】1+172．
【解答】解：連接CE，過E作EF⊥BC于F，如圖：
設(shè)BD＝x，則BC＝BD+CD＝x+2，
∵∠ACB＝90°，E為AD中點(diǎn)，
∴CE＝AE＝DE=12AD，
∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，
∴∠CED＝2∠CAD，
∵BE＝BC，
∴∠ECD＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠EDC，
∵∠ECD＝∠BCE，
∴△ECD∽△BCE，
∴CEBC=CDCE，∠CED＝∠CBE，
∴CE2＝CD?BC＝2（x+2）＝2x+4，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD，
∴∠CAB＝∠CED，
∴∠CAB＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°＝∠BFE，
∴△ABC∽△BEF，
∴ACBF=BCEF，
∵CE＝DE，EF⊥BC，
∴CF＝DF=12CD＝1，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴AC＝2EF，
∴2EFx+1=x+2EF，
∴2EF2＝（x+1）（x+2），
∵EF2＝CE2﹣CF2，
∴(x+1)(x+2)2=（2x+4）﹣12，
解得x=1+172或x=1?172（小于0，舍去），
∴BD=1+172．
故答案為：1+172．
23．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣1圖象上三點(diǎn)．若0＜x1＜1，x2＞4，則y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）；若對(duì)于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，則m的取值范圍是 ?12＜m＜1 ．
【答案】＞，?12＜m＜1．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣1圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，開口向下，
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）離對(duì)稱軸直線的水平距離近，
∴y1＞y2；
∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，
∴x1＜x2＜x3，
∵對(duì)于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，B（x2，y2）離對(duì)稱軸最近，
∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|，
∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，且2m+5＞4，
解得?12＜m＜1，
故答案為：＞，?12＜m＜1．
二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）
24．（8分）推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興．某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡(luò)銷售，在水果收獲的季節(jié)，該合作社用17500元從農(nóng)戶處購進(jìn)A，B兩種水果共1500kg進(jìn)行銷售，其中A種水果收購單價(jià)10元/kg，B種水果收購單價(jià)15元/kg．
（1）求A，B兩種水果各購進(jìn)多少千克；
（2）已知A種水果運(yùn)輸和倉儲(chǔ)過程中質(zhì)量損失4%，若合作社計(jì)劃A種水果至少要獲得20%的利潤(rùn)，不計(jì)其他費(fèi)用，求A種水果的最低銷售單價(jià)．
【答案】（1）A種水果購進(jìn)1000千克，B種水果購進(jìn)500千克；
（2）A種水果的最低銷售單價(jià)為12.5元/千克．
【解答】解：（1）設(shè)A種水果購進(jìn)x千克，B種水果購進(jìn)y千克，
根據(jù)題意得：x+y=150010x+15y=17500，
解得：x=1000y=500．
答：A種水果購進(jìn)1000千克，B種水果購進(jìn)500千克；
（2）設(shè)A種水果的銷售單價(jià)為m元/千克，
根據(jù)題意得：1000×（1﹣4%）m﹣10×1000≥10×1000×20%，
解得：m≥12.5，
∴m的最小值為12.5．
答：A種水果的最低銷售單價(jià)為12.5元/千克．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為C，D是拋物線第四象限上一點(diǎn)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD的值；
（3）延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)AD＝DE時(shí)，將△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．將拋物線L平移得到拋物線L′，使得點(diǎn)A′，B′都落在拋物線L′上．試判斷拋物線L′與L是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）AB＝4；
（2）tan∠ABD的值為103；
（3）拋物線L′與L交于定點(diǎn)（3，0）．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴a（x﹣3）（x+1）＝0，
∵a＞0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，過D作DM∥y軸交x軸于M，DN∥x軸交AC于N，如圖：
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴C（1，﹣4），
由A（﹣1，0），C（1，﹣4）得直線AC解析式為y＝﹣2x﹣2，
設(shè) D（n，n2﹣2n﹣3），（0＜n＜3），
在y＝﹣2x﹣2中，令y＝n2﹣2n﹣3得x=?n2+2n+12，
∴N（?n2+2n+12，n2﹣2n﹣3），
∴DN＝n??n2+2n+12=n2?12，
∴S△ACD=12DN?|yA﹣yC|=12×n2?12×4＝n2﹣1；
∵△ACD的面積與△ABD的面積相等，
而S△ABD=12AB?|yD|=12×4×（﹣n2+2n+3）＝﹣2n2+4n+6，
∴n2﹣1＝﹣2n2+4n+6，
解得n＝﹣1（舍去）或n=73，
∴D（73，?209），
∴BM＝3?73=23，DM=209，
∴tan∠ABD=DMBM=20923=103；
∴tan∠ABD的值為103；
（3）拋物線L′與L交于定點(diǎn)，理由如下：
過D作DM⊥x軸于M，如圖：
設(shè)D（m，am2﹣2am﹣3a），則AM＝m+1，DM＝﹣am2+2am+3a，
∵AD＝DE，
∴EM＝AM＝m+1，
將△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，相當(dāng)于將△ADB向右平移（m+1）個(gè)單位，再向上平移|m2﹣2am﹣3a|個(gè)單位，
又A（﹣1，0），B（3，0），
∴A'（m，﹣am2+2am+3a），B'（m+4，﹣am2+2am+3a），
設(shè)拋物線L'解析式為y＝ax2+bx+c（a＞0），
∵點(diǎn)A′，B'都落在拋物線L′上，
∴?am2+2am+3a=am2+bm+c?am2+2am+3a=a(m+4)2+b(m+4)+c
解得：b=?2am?4ac=6am+3a，
∴拋物線L'解析式為y＝ax2+（﹣2am﹣4a）x+6am+3a，
由ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+（﹣2am﹣4a）x+6am+3a得：
（m+1）x＝3m+3，
解得：x＝3，
∴拋物線L′與L交于定點(diǎn)（3，0）．
26．（12分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究BDCE的值．
【深入探究】
（2）如圖2，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在△ABC的中線BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)．
【拓展延伸】
（3）在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C，D，E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）BDCE=35；
（2）CF=7039；
（3）C，D，E三點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，直角三角形CDE的面積為4或16或12或4813．
【解答】解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE=32+42=5，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC 即∠CAE＝∠BAD，
∵ADAB=AEAC=1，
∴△ADB∽△AEC，
∴BDCE=ABAC，
∵AB＝3，AC＝5，
∴BDCE=35；
（2）連接CE，延長(zhǎng)BM交CE于點(diǎn)Q，連接AQ交EF于P，延長(zhǎng)EF交BC于N，如圖：
同（1）得△ADB∽△AEC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BM是中線，
∴BM＝AM＝CM=12AC=52，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵∠ABD+∠MBC＝90°，
∴∠ACE+∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM，
又AM＝CM，
∴△BAM≌△QCM（AAS），
∴BM＝QM，
∴四邊形ABCQ是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°
∴四邊形ABCQ矩形，
∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN，
∴EQ=AE2?AQ2=52?42=3，
∴EQ＝CQ，
∴PQ是△CEN的中位線，
∴PQ=12CN，
設(shè)PQ＝x，則CN＝2x，AP＝4﹣x，
∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3，
∴△EQP≌△ADP（AAS），
∴EP＝AP＝4﹣x，
∵EP2＝PQ2+EQ2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，
解得：x=78，
∴AP＝4﹣x=258，CN＝2x=74，
∵PQ∥CN，
∴△APF∽△CNF，
∴APCN=AFCF，
∴AP+CNCN=AF+CFCF=ACCF，
∵AC＝5，
∴258+7474=5CF，
∴CF=7039；
（3）C，D，E三點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，理由如下：
①當(dāng)AD在AC上時(shí)，DE⊥AC，此時(shí)△CDE是直角三角形，如圖，
∴S△CDE=12CD?DE=12×（5﹣3）×4＝4；
②當(dāng)AD在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE⊥AC，此時(shí)△CDE是直角三角形，如圖，
∴S△CDE=12CD?DE=12×（5+3）×4＝16；
③當(dāng)DE⊥EC時(shí)，△CDE是直角三角形，過點(diǎn)A作AQ⊥EC于點(diǎn)Q，如圖，
∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，
∴四邊形ADEQ是矩形，
∴AD＝EQ＝3，AQ＝DE＝4，
∵AE＝AC＝5，
∴EQ＝CQ=12CE，
∴12CE＝3，
∴CE＝6，
∴S△CDE=12AQ?CE=12×4×6＝12；
④當(dāng)DC⊥EC時(shí)，△CDE是直角三角形，過點(diǎn)A作AQ⊥EC于點(diǎn)Q，交DE于點(diǎn)N，如圖，
∵DC⊥EC，AQ⊥EC，
∴AQ∥DC，
∵AC＝CE，AQ⊥EC，
∴EQ＝CQ，
∴NQ是△CDE的中位線，
∴ND＝NE=12DE＝2，CD＝2NQ，
∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°，
∴∠DAN＝∠QEN，
∴tan∠DAN＝tan∠QEN，
∴DNAD=NQEQ，
∴NQEQ=23，
∴NQ=23EQ，
∵NQ2+EQ2＝NE2，
∴（23EQ）2+EQ2＝22，
解得EQ=61313，
∴CE＝2EQ=121313，NQ=23EQ=41313，
∴CD＝2NQ=81313，
∴S△CDE=12CD?CE=12×81313×121313=4813．
綜上所述，直角三角形CDE的面積為4或16或12或4813．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/6/18 8:17:36；用戶：大胖001；郵箱：15981837291；學(xué)號(hào)：22699691游園線路
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