初中數(shù)學(xué)4.2 由平行線截得的比例線段一課一練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32093" 【題型1 由平行線分線段成比例判斷比例式正誤】 PAGEREF _Tc32093 \h 1
\l "_Tc15854" 【題型2 平行線分線段成比例之“A”字型求值】 PAGEREF _Tc15854 \h 2
\l "_Tc4481" 【題型3 平行線分線段成比例之“X”字型求值】 PAGEREF _Tc4481 \h 3
\l "_Tc18401" 【題型4 平行線分線段成比例之“8”字型求值】 PAGEREF _Tc18401 \h 5
\l "_Tc32423" 【題型5 平行線分線段成比例之“#”字型求值】 PAGEREF _Tc32423 \h 6
\l "_Tc17690" 【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 PAGEREF _Tc17690 \h 7
\l "_Tc2079" 【題型7 多次利用平行線分線段成比例求值】 PAGEREF _Tc2079 \h 9
\l "_Tc14310" 【題型8 平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】 PAGEREF _Tc14310 \h 10
\l "_Tc19009" 【題型9 平行線分線段成比例的常用輔助線之作平行線】 PAGEREF _Tc19009 \h 11
\l "_Tc18832" 【題型10 平行線分線段成比例的常用輔助線之作垂線】 PAGEREF _Tc18832 \h 12
【知識(shí)點(diǎn) 平行線分線段成比例定理】
兩條直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．

【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．
【題型1 由平行線分線段成比例判斷比例式正誤】
【例1】（2023春·廣西梧州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（）
A．ADDB=AEACB．ADDB=BFFCC．ADDB=FCBFD．ADDB=FCBC
【變式1-1】（2023春·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）．
A．ABEF = ADDFB．DFAD = BCCEC．ADAF = BEBCD．ADDF = BCCE
【變式1-2】（2023春·湖南婁底·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知AB ∥ CD ∥ EF，AC:AE=3:5，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．BD:DF=2:3B．AB:CD=2:3
C．CD:EF=3:5D．DF:BF=2:5
【變式1-3】（2023春·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在BC邊上，過點(diǎn)D作DG//BC，交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH//AB，交AC于點(diǎn)H，DG的延長線與EH的延長線交于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（）
A．ADDB=DGBCB．GFEC=HCGHC．FHAD=GHAGD．HEAB=ECBE
【題型2 平行線分線段成比例之“A”字型求值】
【例2】（2023春·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若BC=23，則AC的長為（）
A．1B．43C．2D．3
【變式2-1】（2023春·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，則AEAC的值為（）
A．23B．32C．34D．2
【變式2-2】（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校┮阎€段a、b、c，若求作線段x，使a∶b＝c∶x，則以下作圖正確的是（）
A． B．C．D．
【變式2-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求證：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，請(qǐng)直接寫出DF的長．
【題型3 平行線分線段成比例之“X”字型求值】
【例3】（2023春·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于．
【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖：AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=16，那么CE的長為（）

A．4B．12C．163D．6
【變式3-2】（2023春·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，則DEDF的值為（）

A．47B．37C．74D．43
【變式3-3】（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點(diǎn)A，B，C，截直線l5于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線l4與l5相交于點(diǎn)O，且AB=32，BC=50，EF=8，EO=2．
(1)求DE的長；
(2)求OB的長．
【題型4 平行線分線段成比例之“8”字型求值】
【例4】（2023春·陜西西安·九年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F，AB=3，F(xiàn)D=2，則EFFB的值為（）
A．25B．38C．37D．35
【變式4-1】（2023春·上海靜安·九年級(jí)校考期中）已知ax=bc，求作x，那么下列作圖正確的是（）
A．B．
C．D．
【變式4-2】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【變式4-3】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【題型5 平行線分線段成比例之“#”字型求值】
【例5】（2023春·全國·九年級(jí)期末）如圖，直線a∥b∥c，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列線段的比與AEAC一定相等的是（）
A．CEACB．BFBDC．BFFDD．ABCD
【變式5-1】（2023春·河北保定·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝4，CE＝6，BF＝152，則BD的值是．
【變式5-2】（2023春·上海青浦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，AB:EB=3:1，DF=8，則FC= ．

【變式5-3】（2023春·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線a，b，c分別與直線m，n交于點(diǎn)A，D，B，E，C，F(xiàn)．已知直線a∥b∥c，AB=2，BC=3，則DEDF的值為（）

A．23B．32C．25D．35
【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】
【例6】（2023·四川南充·校聯(lián)考三模）如圖， DE是△ABC的中位線， F是CE的中點(diǎn)，射線DF與BE交于點(diǎn)O，與BC的延長線交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①OB=2OE；②OD=OF； ③DEBG=CFAF；④S△ADE=12S四邊形OBCF，正確的有．(填序號(hào)．)
【變式6-1】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谀┤鐖D，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于點(diǎn)N，則NM：MC等于（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【變式6-2】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，DE、NM分別是△ABC、△ADE的中位線，NM的延長線交BC于點(diǎn)F，則S△DMN：S四邊形MFCE等于（）
A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7
【變式6-3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）請(qǐng)閱讀下列材料，非完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
(1)請(qǐng)補(bǔ)充材料中剩余部分的解答過程．
(2)上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是______．（單選）
A．方程思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．分類思想 D．整體思想
(3)請(qǐng)你換一種思路求AFCF的值，直接寫出輔助線的作法即可．
【題型7 多次利用平行線分線段成比例求值】
【例7】（2023春·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，M是AD的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)P，DN∥CP．若AB=6cm，求PN的長．

【變式7-1】（2023春·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△ACG中，D、E、F分別在線段AB、AC、AG上，連接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，ADAB=13,AF=3，求AG的長．

【變式7-2】（2023春·陜西商洛·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，AF=2FD，直線BF交AC于點(diǎn)E，交CD的延長線于點(diǎn)G，若BE=4則EG的值為（）
A．8B．7C．6D．5
【變式7-3】（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，連接AD，過AD上點(diǎn)E作EF∥BD，交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥AC交BC于點(diǎn)G，已知AEED=32，BG=4．
(1)求CG的長；
(2)若CD=2，在上述條件和結(jié)論下，求EF的長．
【題型8 平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】
【例8】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，連結(jié)BG，過點(diǎn)G作GD∥AB交BC于點(diǎn)D，若△BDG的面積為1，則△ABC的面積為（）
A．6B．8C．9D．12
【變式8-1】（2023·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是中線，G是重心，過點(diǎn)G作EF//BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，若AC=18，則AF= ．
【變式8-2】（2023春·上海徐匯·九年級(jí)上海市田林第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC的中線AD、CE交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在邊AC上，GF∥BC，那么GFBC的值是．
【變式8-3】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點(diǎn)D，延長CG交AB于點(diǎn)E，P，Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為12，則PQ的長為（）
A．2B．2．5C．3D．4
【題型9 平行線分線段成比例的常用輔助線之作平行線】
【例9】（2023春·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE=3ED，DF=CF，則AG∶GF的值是．
【變式9-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)于平行線，我們有這樣的結(jié)論：如圖1，AB//CD，AD,BC交于點(diǎn)O，則AODO=BOCO．
請(qǐng)利用該結(jié)論解答下面的問題：
如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC，求AC的長．
【變式9-2】（2023春·陜西西安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AG：GD?4∶1， BD ：DC?2∶3，則 AE∶EC的值為．
【變式9-3】（2023春·廣東深圳·九年級(jí)深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P在BA的延長線上，PA=14AB，點(diǎn)D在BC邊上，PD=PC，則CDBC的值是．
【題型10 平行線分線段成比例的常用輔助線之作垂線】
【例10】（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則BFEF的值是（）
A．2?1B．2+2C．2+1D．2
【變式10-1】（2023春·廣西欽州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE,DE．
(1)比較∠BAE與∠CAD的大?。挥玫仁奖硎揪€段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(2)過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式10-2】（2023春·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，交CD于點(diǎn)F．
請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．我選擇題．
A．如圖1，若AC=BC=1，則CF的長為．
B．如圖2，若AC=4,BC=3，則DF的長為．
【變式10-3】（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）如圖，梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90°,tanC=43,AB=BC，點(diǎn)E在邊CD上，把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)M，如果EF//BC，那么DE:CE的值是．
4.2 平行線分線段成比例【十大題型】
【浙教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32093" 【題型1 由平行線分線段成比例判斷比例式正誤】 PAGEREF _Tc32093 \h 1
\l "_Tc15854" 【題型2 平行線分線段成比例之“A”字型求值】 PAGEREF _Tc15854 \h 4
\l "_Tc4481" 【題型3 平行線分線段成比例之“X”字型求值】 PAGEREF _Tc4481 \h 7
\l "_Tc18401" 【題型4 平行線分線段成比例之“8”字型求值】 PAGEREF _Tc18401 \h 9
\l "_Tc32423" 【題型5 平行線分線段成比例之“#”字型求值】 PAGEREF _Tc32423 \h 13
\l "_Tc17690" 【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 PAGEREF _Tc17690 \h 15
\l "_Tc2079" 【題型7 多次利用平行線分線段成比例求值】 PAGEREF _Tc2079 \h 21
\l "_Tc14310" 【題型8 平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】 PAGEREF _Tc14310 \h 24
\l "_Tc19009" 【題型9 平行線分線段成比例的常用輔助線之作平行線】 PAGEREF _Tc19009 \h 28
\l "_Tc18832" 【題型10 平行線分線段成比例的常用輔助線之作垂線】 PAGEREF _Tc18832 \h 33
【知識(shí)點(diǎn) 平行線分線段成比例定理】
兩條直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．

【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．
【題型1 由平行線分線段成比例判斷比例式正誤】
【例1】（2023春·廣西梧州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（）
A．ADDB=AEACB．ADDB=BFFCC．ADDB=FCBFD．ADDB=FCBC
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，在兩組平行線里面，通過ADDB=AEEC，AEEC=BFFC，逐項(xiàng)判斷，得出結(jié)論．
【詳解】∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC.
∵EF//AB，
∴AEEC=BFFC，
∴ADDB=AEEC=BFFC，
∴ADDB=BFFC.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段，準(zhǔn)確列出比例式，推理論證．
【變式1-1】（2023春·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）．
A．ABEF = ADDFB．DFAD = BCCEC．ADAF = BEBCD．ADDF = BCCE
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF = BCCE，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．
【變式1-2】（2023春·湖南婁底·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知AB ∥ CD ∥ EF，AC:AE=3:5，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．BD:DF=2:3B．AB:CD=2:3
C．CD:EF=3:5D．DF:BF=2:5
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【詳解】解：∵AC:AE=3:5，
∵AC:EC=3:2,CE:EA=2:5
∵AB ∥ CD ∥ EF，，
∴BD:DF=AC:EC=3:2，故A錯(cuò)誤；
DF:BF=CE:EA=2:5，故D正確；
根據(jù)平行線分線段成比例定理無法判定B，C，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，正確理解平行線分線段成比例定理是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在BC邊上，過點(diǎn)D作DG//BC，交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH//AB，交AC于點(diǎn)H，DG的延長線與EH的延長線交于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（）
A．ADDB=DGBCB．GFEC=HCGHC．FHAD=GHAGD．HEAB=ECBE
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：∵DG//BC，
∴ADAB=DGBC，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵DG//BC，
∴GFEC=GHHC，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵EH//AB，
∴FHAD=GHAG，故C選項(xiàng)正確；
∵EH//AB，
∴HEAB=ECBC，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的比，解題的關(guān)鍵是熟知平行線分線段成比例的性質(zhì)．
【題型2 平行線分線段成比例之“A”字型求值】
【例2】（2023春·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若BC=23，則AC的長為（）
A．1B．43C．2D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得ACBC=AEDE=3，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，
由題意，知CE∥BD ，AEAD=3 ，
∴ACBC=AEDE=3 ，
又BC=23，
∴AC=2 ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，求出ACBC=3，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，則AEAC的值為（）
A．23B．32C．34D．2
【答案】A
【分析】先求出AB，由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果．
【詳解】∵AD=6，DB=3，
∴AB=AD+DB=9，
∵DE∥BC，
∴AEAC=ADAB=69=23；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校┮阎€段a、b、c，若求作線段x，使a∶b＝c∶x，則以下作圖正確的是（）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，逐項(xiàng)分析即可
【詳解】A.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:b=x:c，故該選項(xiàng)不符合題意；
B.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:x=b:c，故該選項(xiàng)不符合題意；
C.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:c=x:b，故該選項(xiàng)不符合題意；
D.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:c=b:x，即a:b=c:x，故該選項(xiàng)符合題意；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求證：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，請(qǐng)直接寫出DF的長．
【答案】（1）見詳解；（2）203．
【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理，由EF∥CD得到AF：FD=AE：EC，由DE∥BC得到AE：EC=AD：DB，再進(jìn)行等量代換即可求解；
（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得到AD=20，根據(jù)（1）結(jié)論得到AF：FD=2:1，即可求出DF．
【詳解】解：（1）證明：∵EF∥CD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DE∥BC，
∴AE：EC=AD：DB，
∴AF：FD＝AD：DB；
（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，
∴AD=AB×23=30×23=20，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD=2:1，
∴DF=AD×13=20×13=203
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟知平行線分線段成比例定理“兩直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題關(guān)鍵．
【題型3 平行線分線段成比例之“X”字型求值】
【例3】（2023春·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于．
【答案】34
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵AB//CD//EF，
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF,
∵AG=4,GD=2,DF=8,
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF=4+28=34,
故答案為：34.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖：AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=16，那么CE的長為（）

A．4B．12C．163D．6
【答案】A
【分析】利用平行線分線段成比例定理求解即可．
【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF=31，
∴CE=14BC=4．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．
【變式3-2】（2023春·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，則DEDF的值為（）

A．47B．37C．74D．43
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到ABBC=DEEF=43，根據(jù)合比性質(zhì)即得．
【詳解】∵l1∥l2∥l3，
∴ ABBC=DEEF=43，
∴ DEDF=47．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，合比性質(zhì)．
【變式3-3】（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點(diǎn)A，B，C，截直線l5于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線l4與l5相交于點(diǎn)O，且AB=32，BC=50，EF=8，EO=2．
(1)求DE的長；
(2)求OB的長．
【答案】(1)245
(2)524
【分析】（1）由l1∥l2∥l3，推出DEEF=ABCB，即可求解；
（2）由BE∥AD，推出OBAB=OEDE，即可求解．
【詳解】（1）解：∵l1∥l2∥l3，
∴DEEF=ABCB，
∴DE8=3250，
∴DE=245；
（2）解：∵BE∥AD，
∴OBAB=OEDE，
∴OB32=2245，
∴OB=524．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．
【題型4 平行線分線段成比例之“8”字型求值】
【例4】（2023春·陜西西安·九年級(jí)高新一中校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F，AB=3，F(xiàn)D=2，則EFFB的值為（）
A．25B．38C．37D．35
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得AD∥BC，AD=BC，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊證得AF=AB=3，BC=5，再根據(jù)平行線分線段成比例和比例性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，又FD=2，
∴BC=AD=AF+FD=5，
∵AD∥BC，
∴EFBE=AFBC=35，
∴EFFB=38，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定、平行線分線段成比例定理、比例性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·上海靜安·九年級(jí)?？计谥校┮阎猘x=bc，求作x，那么下列作圖正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合題意，依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】∵ax=bc，
∴ab=cx或ac=bx．
A．作出的為ab=a+xb+c，故不符合題意；
B．該情況無法作圖，故不符合題意；
C．作出的為ab=cx，故符合題意；
D．作出的為ax=cb，故不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，第四比例線段的作法．熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【答案】C
【分析】根據(jù)l1∥l2，可得△AFG∽△BFD，進(jìn)而得出AGBD＝AFBF＝25，AEEC＝AGCD，求出AG＝25BD，CD＝15BD，再求出AGCD即可．
【詳解】解：∵l1∥l2，
∴△AFG∽△BFD
∴AGBD＝AFBF，
∵AF：BF＝2：5，
∴AGBD＝25，
即AG＝25BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝15BD，
∴AGCD＝25BD15BD＝21，
∵l1∥l2，
∴△AGE∽△CDE，
∴AEEC＝AGCD＝21，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可證得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，兩式相加即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AC//EF，
∴ EFAC=BFBC，
∵EF//DB，
∴ EFBD=CFBC，
∴ EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，即rp+rq=1，
∴ 1p+1q=1r．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，通過平行線分線段成比例定理得出線段的比是解題的關(guān)鍵．
【題型5 平行線分線段成比例之“#”字型求值】
【例5】（2023春·全國·九年級(jí)期末）如圖，直線a∥b∥c，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列線段的比與AEAC一定相等的是（）
A．CEACB．BFBDC．BFFDD．ABCD
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可得到BFBD=AEAC.
【詳解】解：∵a∥b∥c，
∴BFFD=AEEC，
∴BFBD=AEAC；
故選擇：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·河北保定·九年級(jí)校考期末）如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝4，CE＝6，BF＝152，則BD的值是．
【答案】3
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵a∥b∥c，
∴ACAE=BDBF，即44+6=BD152，
解得：BD=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·上海青浦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，AB:EB=3:1，DF=8，則FC= ．

【答案】4
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：∵AB:EB=3:1
∴AE:EB=2:1
∵AD∥BC∥EF，AE:EB=2:1，DF=8，
∴ DFFC=AEBE=2，
∴FC=4,
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理和比例的基本性質(zhì)．
【變式5-3】（2023春·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線a，b，c分別與直線m，n交于點(diǎn)A，D，B，E，C，F(xiàn)．已知直線a∥b∥c，AB=2，BC=3，則DEDF的值為（）

A．23B．32C．25D．35
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：∵a∥b∥c，
∴ABAC=DEDF，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=AB+BC=5，
∴DEDF=25，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握：兩條直線被第一組平行線所截的線段成比例．
【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】
【例6】（2023·四川南充·校聯(lián)考三模）如圖， DE是△ABC的中位線， F是CE的中點(diǎn)，射線DF與BE交于點(diǎn)O，與BC的延長線交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①OB=2OE；②OD=OF； ③DEBG=CFAF；④S△ADE=12S四邊形OBCF，正確的有．(填序號(hào)．)
【答案】②③
【分析】由題意可知，DE=12BC,DE//BC,DE=GC，根據(jù)平行截線求相關(guān)線段的長或比值可判斷①；由題意得出OG=3OD與FD=FG聯(lián)立可得2OF=2OD，由此可判斷②；由平行截線求相關(guān)線段的長或比值及等量代換可判斷③；連接BF．設(shè)S△ODE=1，根據(jù)面積可判斷④．
【詳解】解：∵ DE是△ABC的中位線，
∴DE//BC,DE=12BC
∴∠EDF=∠CGF
∵ F是CE的中點(diǎn)，
∴EF=CF
又∵∠EFD=∠CFG
∴△DEF?△GCF
∴DE=CG,DF=FG
①∵DE//BC
∴ OEOB=DEGB=13，
∴OB=3OE．
∴①錯(cuò)誤
②∵DE//BG
∴ODOG=13
∴ OG=3OD
又∵FD=FG，
∴由兩式相減，得OF=2OD?OF
∴2OF=2OD．
∴OF=OD．
∴②正確
③∵DE//BG,DE=12BC,DE=CG
∴ DEBG=13
∵AE=CE,CF=EF
∴CFAF=13
∴DEBG=CFAF
∴③正確
④連接BF．設(shè)S△ODE=1，可得其他三角形面積如圖
∴S△ADE=47S四邊形OBCF，∴④錯(cuò)誤
故答案為：②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行截線求相關(guān)線段的長或比值、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)校考期末）如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于點(diǎn)N，則NM：MC等于（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【答案】B
【詳解】∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵M(jìn)是DE的中
∴DM=ME=14BC，
∴MNNC=DMBC=14，
∴MNMC=13
【變式6-2】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，DE、NM分別是△ABC、△ADE的中位線，NM的延長線交BC于點(diǎn)F，則S△DMN：S四邊形MFCE等于（）
A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7
【答案】B
【分析】過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝12PG，根據(jù)三角形和平行四邊形的面積即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，
∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，
∴AG＝PG，
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，
∴DM＝ME＝12DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，
∴NMAG＝DNAD＝12，
∴NM＝12AG＝12PG，
∵DM＝ME，
∴S△DMN：S四邊形MFCE＝12DM?NHEM?PG＝12DM?NH2DM?NM＝1：4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理及平行線分線段成比例定理．本題關(guān)鍵是找準(zhǔn)比例關(guān)系求解．
【變式6-3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）請(qǐng)閱讀下列材料，非完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
(1)請(qǐng)補(bǔ)充材料中剩余部分的解答過程．
(2)上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是______．（單選）
A．方程思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．分類思想 D．整體思想
(3)請(qǐng)你換一種思路求AFCF的值，直接寫出輔助線的作法即可．
【答案】(1)見解析
(2)B
(3)見解析
【分析】（1）通過過點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到FHCH=BDCD與AEAD=AFAH，根據(jù)AE:AD=1:5即可得到AF:FH=1:4，進(jìn)一步即可求出答案；Ｄ
（2）由上述解題過程即可得到求AFCF的值轉(zhuǎn)化為了求AFFH與FHCH的值，通過轉(zhuǎn)化即可求出答案，即可判斷出答案；
（3）通過過點(diǎn)D作DM∥AC交BE于點(diǎn)M，根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，進(jìn)一步得到BDBC=12，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到DMCM=BDBC與AEED=AFDM，根據(jù)AEAD=15，即可得到AEED=14，進(jìn)一步即可求出答案．
【詳解】（1）∴AEAD=AFAH，
∵AE:AD=1:5，
∴AF:AH=1:5，
∴AF:FH=1:4，
∵FH=CH，
∴AFCF=18
（2）上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想
故選B
（3）解：如圖，過點(diǎn)D作DM∥AC交BF于點(diǎn)M．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC=12BC，
∴BDBC=12，
∵DM∥AC，
∴DMCF=BDBC=12，
∵AF∥DM，
∴AEDE=AFDM，
∵AEAD=15，
∴AEED=14，
∴AFDM=14，
∴AFCF=18

【點(diǎn)睛】本題考查利用輔助平行線求線段的比，作出輔助線，利用平行線分線段成比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．
【題型7 多次利用平行線分線段成比例求值】
【例7】（2023春·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，M是AD的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)P，DN∥CP．若AB=6cm，求PN的長．

【答案】PN=2cm
【分析】證明BD=DC，結(jié)合DN∥CM，可得BN=NP，AP=PN，從而可得答案．
【詳解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵DN∥CM，
∴BNPN=BDDC=1，
∴BN=NP，
∵點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，DN∥CM，
∴APPN=AMMD=1，
∴AP=PN，
∴PN=13AB，
∵AB=6cm，
∴PN=13AB=13×6=2cm．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例的應(yīng)用，熟記平行線分線段成比例并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△ACG中，D、E、F分別在線段AB、AC、AG上，連接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，ADAB=13,AF=3，求AG的長．

【答案】9
【分析】由DE∥BC,EF∥CG可得ADAB=AEAC,AFAG=AEAC,從而可得ADAB=AEAC,再由ADAB=13,AF=3可得結(jié)果．
【詳解】解:∵DE∥BC,EF∥CG,
∴ADAB=AEAC,AFAG=AEAC,
∴ADAB=AFAG,
∵ADAB=13,AF=3
∴AG=9
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．
【變式7-2】（2023春·陜西商洛·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，AF=2FD，直線BF交AC于點(diǎn)E，交CD的延長線于點(diǎn)G，若BE=4則EG的值為（）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【分析】由AF=2DF可以假設(shè)DF=k，得到AF=2k，AD=3k（k是正整數(shù)），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，然后根據(jù)平行線分線段成比例來求解．
【詳解】解：∵AF=2DF，
∴設(shè)DF=k，
則AF=2k，AD=3k（k是正整數(shù)）．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，
∴AEEC=AFBC=2k3k=23，
∴BEEG=AEEC=23．
∵BE=4，
∴4EG=23，
∴EG=6．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例．理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，連接AD，過AD上點(diǎn)E作EF∥BD，交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥AC交BC于點(diǎn)G，已知AEED=32，BG=4．
(1)求CG的長；
(2)若CD=2，在上述條件和結(jié)論下，求EF的長．
【答案】(1)6
(2)245
【分析】（1）由EF∥BD，推出AFFB=AEED=32，由FG//AC，推出BGCG=BFAF=23，可得結(jié)論．
（2）由EF∥BD，推出EFBD=AFAB，可得結(jié)論．
【詳解】（1）∵EF∥BD，
∴AFFB=AEED=32，
∵FG∥AC，
∴BGCG=BFAF=23，
∵BG=4，
∴CG=32BG=32×4=6．
（2）∵CD=2，CG=6，
∴DG=CG?CD=4，
∵BG=4，
∴BD=BG+DG=8，
∵AFBF=32，
∴AFAB=35，
∵EF∥BD，
∴EFBD=AFAB，
∴EF8=35，
∴EF=245．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握這個(gè)定理是關(guān)鍵．
【題型8 平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】
【例8】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，連結(jié)BG，過點(diǎn)G作GD∥AB交BC于點(diǎn)D，若△BDG的面積為1，則△ABC的面積為（）
A．6B．8C．9D．12
【答案】C
【分析】連接CG并延長交AB于E，如圖，利用三角形重心性質(zhì)得到CG＝2EG，則利用平行線分線段成比例得到CDBD=CGEG=2，再根據(jù)三角形面積公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，則S△BCG＝3，接著求出S△BEG＝32，從而得到S△BCE＝92，然后利用CE為中線得到S△ABC．
【詳解】解：連接CG并延長交AB于E，如圖，
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴CG＝2EG，
∵DG∥AB，
∴CDBD=CGEG=2，
∴S△GDC＝2S△BDG＝2，
∴S△BCG＝1+2＝3，
而EG＝12CG，
∴S△BEG＝12S△BCG＝32，
∴S△BCE＝32+3＝92，
∵CE為中線，
∴S△ABC＝2S△BCE＝2×92＝9．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了平行線分線段成比例定理和三角形面積公式．
【變式8-1】（2023·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是中線，G是重心，過點(diǎn)G作EF//BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，若AC=18，則AF= ．
【答案】12
【分析】如圖，運(yùn)用平行線分線段成比例定理列出比例式：AFAC=AGAD=2DG3DG=23，根據(jù)AC=18，求出AF即可解決問題．
【詳解】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，
∴AFAC=AGAD=2DG3DG=23，
∵AC=18，
∴AF=12．
故答案為12．
【點(diǎn)睛】該題主要考查了三角形重心的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·上海徐匯·九年級(jí)上海市田林第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC的中線AD、CE交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在邊AC上，GF∥BC，那么GFBC的值是．
【答案】13
【分析】根據(jù)三角形的重心和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵△ABC的中線AD、CE交于點(diǎn)G，
∴G是△ABC的重心，
∴AGGD=21，
∵GF∥BC，
∴GFDC=AGAD＝23，
∵DC＝12BC，
∴GFBC=13，
故答案為：13
【點(diǎn)睛】此題考查三角形重心問題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心得出比例關(guān)系．
【變式8-3】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點(diǎn)D，延長CG交AB于點(diǎn)E，P，Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為12，則PQ的長為（）
A．2B．2．5C．3D．4
【答案】A
【分析】連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點(diǎn)F，連接ED、PQ，由題意易得ED∥BC，ED=12BC，PQ∥ED，PQ=13ED，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點(diǎn)F，連接ED、PQ，如圖所示：
∵G是△ABC的重心，延長BG交AC于點(diǎn)D，延長CG交AB于點(diǎn)E，
∴AE=BE，AD=DC，
∴ED∥BC，ED=12BC，
又∵P,Q分別是△BCE和△BCD的重心，
∴EPPF=DQQF=2，
∴PQ∥ED，PQ=13ED，
∴PQ=13×12BC=16BC，
∵BC=12
∴PQ=2
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．
【題型9 平行線分線段成比例的常用輔助線之作平行線】
【例9】（2023春·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE=3ED，DF=CF，則AG∶GF的值是．
【答案】6:5
【分析】作FN∥AD，交AB與N，設(shè)DE=a，則AE=3a，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．
【詳解】解：如圖所示，作FN∥AD，交AB與N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵FN∥AD，
∴四邊形ANFD是平行四邊形，
∵∠D=90°，
∴四邊形ANFD是矩形，
設(shè)DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=32a，
∴FM=52a，
∵AE∥FM，
∴AGGF=AEFM=3a52a=65，
故答案為：6:5．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．
【變式9-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)于平行線，我們有這樣的結(jié)論：如圖1，AB//CD，AD,BC交于點(diǎn)O，則AODO=BOCO．
請(qǐng)利用該結(jié)論解答下面的問題：
如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC，求AC的長．
【答案】3
【分析】過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到BDDC＝ADDE，由已知代入求出DE的長，證明△ACE為等腰三角形即可．
【詳解】解：過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長線于E，
則BDDC＝ADDE，又BD＝2DC，
∴ADDE=2
∵AD＝2，
∴DE＝1，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，
∴∠ACE＝∠E＝75°，
∴AC＝AE＝AD + DE =3．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，恰當(dāng)作輔助線，正確運(yùn)用定理找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，列出比例式求值是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023春·陜西西安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AG：GD?4∶1， BD ：DC?2∶3，則 AE∶EC的值為．
【答案】8:5
【分析】過點(diǎn)D作DF∥CA交BE于F，如圖，利用平行線分線段成比例定理，由DF∥CE得到DFCE=BDBC=25，則CE=52DF，由DF∥AE得到DFAE=DGAG=DFAE=14，則AE=4DF，然后計(jì)算AEEC的值．
【詳解】過點(diǎn)D作DF∥CA交BE于F，如圖，
∵DF∥CE，
∴DFCE=BDBC，
而BD：DC=2：3，
∴DFCE=25，則CE=52DF，
∵DF∥AE，
∴DFAE=DGAG，
∵AG：GD=4：1，
∴DFAE=14，則AE=4DF，
∴AEEC=4DF52DF=85．
故答案為85．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.
【變式9-3】（2023春·廣東深圳·九年級(jí)深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P在BA的延長線上，PA=14AB，點(diǎn)D在BC邊上，PD=PC，則CDBC的值是．
【答案】34
【分析】過點(diǎn)P作PE//AC交DC延長線于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可證PB=PE，再證△PCE≌△PDB，可得BD=CE，再利用平行線分線段成比例得PAAB=CEBC，結(jié)合線段的等量關(guān)系及比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】如圖：過點(diǎn)P作PE//AC交DC延長線于點(diǎn)E，
∵AB=AC∴∠B=∠ACB
∵AC//PE∴∠ACB=∠E∴∠B=∠E∴PB=PE∵PC=PD∴∠PDC=∠PCD∴∠BPD=∠EPC
∴在△PCE和△PDB中
PC=PD∠EPC=∠BPDPE=PB
∴△PCE≌△PDB
∴BD=CE
∵AC//PE∴PAAB=CEBC
∵PA=14AB
∴CEBC=14
∴BDBC=14
∴CDBC=34
故答案為：34．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，列出比例式．
【題型10 平行線分線段成比例的常用輔助線之作垂線】
【例10】（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則BFEF的值是（）
A．2?1B．2+2C．2+1D．2
【答案】C
【詳解】解：作FG⊥AB于點(diǎn)G，
由AE∥FG，得BFEF=BGGA，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ACB的平分線，
∴FG=CF，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
BF=BFFG=CF
∴Rt△BGF≌Rt△BCF，
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=2BC，
∴BFEF=BGGA=BC2BC?BC=12?1=2+1．
故選：C．
【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1、平行線分線段成比例，2、全等三角形及角平分線
【變式10-1】（2023春·廣西欽州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE,DE．
(1)比較∠BAE與∠CAD的大??；用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(2)過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)∠BAE=∠CAD，BE+MD=BM，理由見解析
(2)NE=ND，理由見解析
【分析】（1）證明△AEB≌△ADC，得到CD=BE，即可得到結(jié)論BE+MD=BM；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，交BC于點(diǎn)H，可證BE=BH，再證MN∥EH，得到DNNE=DMMH=1，即可得到NE=ND．
【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)得，AD=AE,∠DAE=∠BAC=α，
∴∠DAC=∠BAE=α?∠DAB，
又∵AB=AC，
∴△AEB≌△ADC，
∴CD=BE，
∵CD+MD=BM，
∴BE+MD=BM；
（2）NE=ND，理由如下：
過點(diǎn)E作EH⊥AB，交BC于點(diǎn)H，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABE=∠ABC，
∵EH⊥AB，
∴∠BEH=∠BHE，
∴BE=BH，
∴CD=BH，
∴MD=MH，
∵M(jìn)N⊥AB，EH⊥AB，
∴MN∥EH，
∴DNNE=DMMH=1，
∴NE=ND．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作EH⊥AB證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2023春·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，交CD于點(diǎn)F．
請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．我選擇題．
A．如圖1，若AC=BC=1，則CF的長為．
B．如圖2，若AC=4,BC=3，則DF的長為．
【答案】見解析
【分析】選擇A題，過點(diǎn)F作FG⊥AC，垂足為G，設(shè)FG=FD=CG=x，利用△AFD≌△AFG，得到AD=AG，計(jì)算即可．
選擇B題，過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，設(shè)CE=EM=x，利用勾股定理，求得AB，根據(jù)三角形的面積求得CD，繼而求得AD，根據(jù)DF∥EM，計(jì)算即可．
【詳解】選擇A題，
如圖1，過點(diǎn)F作FG⊥AC，垂足為G，
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，AC=BC=1，
∴∠FCG=∠GFC=45°，AB=2，AD=DB=22，
∴CG=FG，
∵AE平分∠BAC，
∴FG=FD，
設(shè)FG=FD=CG=x，
∵AF=AF，
∴△AFD≌△AFG，
∴AD=AG，
∵AC=BC=1，
∴AG=1-x，
∴22=1-x，
解得x=1-22，
∴CF=2x=2?1，
故答案為：2?1．
選擇B題，過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=32+42=5，
∴12×3×4=12×5×CD，
解得CD=125，
∴AD=42?(125)2=42?(125)2=165，
∵AE平分∠BAC，
∴EC=EM，
∵AE=AE，
∴△AEC≌△AEM，
∴AC=AM=4，MB=AB-AM=5-4=1,
設(shè)CE=EM=y，
則EB=3-y，
在直角三角形EMB中，
(3?y)2=1+y2，
解得y=43，
∵DF∥EM，
∴DFEM=ADAM，
∴DF43=1654，
解得DF=1615，
故答案為：1615．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）如圖，梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90°,tanC=43,AB=BC，點(diǎn)E在邊CD上，把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)M，如果EF//BC，那么DE:CE的值是．
【答案】34
【分析】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，設(shè)EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行線分線段成比例可求DE：CE的值．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，
∵旋轉(zhuǎn)，
∴BF＝BE，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°，
∵EF∥BC
∴∠BEF＝∠EBC＝45°
∵EH⊥BC
∴∠EBC＝∠BEH＝45°，
∴BH＝EH，
∵tanC=43=EHHC，
∴設(shè)EH＝4a，HC＝3a，
∴BH＝4a，
∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC
∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC
∴四邊形ABGD是平行四邊形
∴AB＝DG＝7a，
∵EH∥DG
∴ECCD=EHDG=47，
∴DECE=34，
故答案為：34．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
利用輔助平行線求線段的比
三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個(gè)定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個(gè)定理加以解決．
舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交AC于點(diǎn)F．
求AFCF的值．
下面是該題的部分解題過程：
解：如圖2，過點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC．
∵DH∥BF，
∴FHCH=BDCD，
∴CH=FH．
∵EF∥DH，
…

利用輔助平行線求線段的比
三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個(gè)定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個(gè)定理加以解決．
舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交AC于點(diǎn)F．
求AFCF的值．
下面是該題的部分解題過程：
解：如圖2，過點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC．
∵DH∥BF，
∴FHCH=BDCD，
∴CH=FH．
∵EF∥DH，
…

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