一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算化簡(jiǎn).
【詳解】.
故選：A.
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式可求得，再結(jié)合集合的特征即可計(jì)算得出結(jié)果.
【詳解】解不等式可得，
又可得只有當(dāng)時(shí)，的取值分別為在集合中，
所以.
故選：C
3. 已知，則（ ）
A B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)余弦兩角和公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
所以.
故選：A
4. 已知且，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】且，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.
故選：D
5. 命題p：，，則“”是“p為真命題”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先由，求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不一定成立，而當(dāng)時(shí)，一定成立，
所以“”是“p為真命題”的必要不充分條件.
故選：B
6. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求的定義域，再判斷奇偶性，最后取特殊值判斷即可.
【詳解】的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，
其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A選項(xiàng)；
取，則，排除C、D選項(xiàng)；
故選：B.
7. 已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以.
故選:B.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的值為（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性解方程組求解可得，然后可得.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
則，即①，
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
則，即②，
聯(lián)立①②可得，所以．
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B.
C. 與的夾角余弦值為
D. 在方向上的投影向量為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量減法、平行、垂直、夾角余弦值、投影向量的計(jì)算方法驗(yàn)證即可.
【詳解】由，，則與不平行，故錯(cuò)誤；
，，則，故正確；
，，
，故正確；
，即在方向上的投影向量為，故正確.
故選：.
10. 若函數(shù)的兩條相鄰對(duì)稱軸距離為，且，則（ ）
A. B. 點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增D. 直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用題給條件求得的值，進(jìn)而求得函數(shù)的解析式，即可判斷選項(xiàng)A；整體代入法驗(yàn)證選項(xiàng)BD，利用正弦函數(shù)圖像性質(zhì)判斷選項(xiàng)C.
【詳解】∵的兩條相鄰對(duì)稱軸距離為.
∴，∴.∴.
∵，∴，又，則.
∴.∴選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：由，
可得函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)：.
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為.B正確；
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，
∴在上不遞增，C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由，.
可得對(duì)稱軸：，.∴不對(duì)稱軸.
或驗(yàn)證法把代入得，∴不是對(duì)稱軸.
∴D錯(cuò)誤；
故選：AB.
11. 已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=fx和的圖象，結(jié)合圖象，可判定A正確；再由圖象得到且，，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】如圖所示，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，
由圖象知，要使得方程有四個(gè)不同的零點(diǎn)，只需，所以A正確；
對(duì)于B中，因?yàn)椋?br>且函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
由圖象得，且，
所以，可得，則，
所以，其中，
令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以，所以B正確；
對(duì)于C中，是兩個(gè)根，
所以，即，所以，
由是的兩個(gè)根，所以，
所以，所以C不正確；
對(duì)于D中，由，可得，
令，可得函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，
所以，即，，所以D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】知識(shí)方法點(diǎn)撥：求解復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程解的個(gè)數(shù)與范圍問(wèn)題的策略：
1、先換元解“套”，令，則，再作出和的圖象；
2、由函數(shù)的圖象觀察有幾個(gè)的值滿足條件，結(jié)合的值觀察的圖象，求出每一個(gè)被對(duì)應(yīng)，將的個(gè)數(shù)匯總后，即為的根的個(gè)數(shù)，即“從外到內(nèi)”.
3、由零點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合與的圖象特點(diǎn)，從而確定的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍，即“從內(nèi)到外”，此法成為雙圖象法（換元+數(shù)形結(jié)合）.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)則______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)自變量確定代入哪段，結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>故答案為：1
13. 已知向量與的夾角為，，，則______.
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式結(jié)合數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可求解.
【詳解】由題意，向量與的夾角為，，，
所以，
所以,
故答案為：6
14. 已知函數(shù)，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)易得函數(shù)的對(duì)稱軸，再結(jié)合二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸對(duì)比即得.
【詳解】因，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
而由可知其對(duì)稱軸為直線，故，解得.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值．
【答案】（1）
（2）最大值為，最小值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在的值，可求出切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程.
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.
【小問(wèn)1詳解】
由得,又,所以函數(shù)在處的切線方程為:,即
【小問(wèn)2詳解】
由,令解得
令解得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí),最小,且最小值為,,,
故最大值為
16. 已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意列方程組算出即可；
（2）由裂項(xiàng)相消法求解即可.
小問(wèn)1詳解】
設(shè)等差數(shù)列an的公差為，則，解得，．
∴．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
∴，
∴．
17. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解；（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，再使用正弦定理求解
【小問(wèn)1詳解】
變形為：，
所以，
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋遥?br>所以
由正弦定理得：，即，
解得：
18. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用與的關(guān)系式可得，即，即可得證.
（2）由（1）可得，則，設(shè)，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，令，結(jié)合，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：由可得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，即，
則
，即，
即，即，
又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，則，
設(shè)，
則
令，得，
即，即，
又，，，
所以滿足條件的最大整數(shù)為為5.
19. 已知函數(shù).
（1）若，求的極值；
（2）若，不相等的實(shí)數(shù)滿足，求證：.
【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，則，
令，解得，
故當(dāng)時(shí)，f'x

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