一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，則（ ）
A.B.C.3D.4
4.已知a，且，則的最小值為（ ）
A.4B.6C.D.8
5.命題，，則“”是“p為真命題”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6.函數(shù)的圖象大致為（ ）
A.B.
C.D.
7.已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，，且，（ ）
A.B.C.D.
8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的值為（ ）
A.B.3C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9.已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.B.
C.與的夾角余弦值為D.在方向上的投影向量為
10.若函數(shù)，的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸距離為，且，則（ ）
A.B.點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心
C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸
11.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數(shù)，則______.
13.已知向量與的夾角為，，，則______.
14.已知函數(shù)，若，，則______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15.（13分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.
16.（15分）
已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項(xiàng)和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
17.（15分）
的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，，求c.
18.（17分）
已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù)n.
19.（17分）
已知函數(shù).
（1）若，求的極值；
（2）若，不相等的實(shí)數(shù)m，n滿足，求證：.
新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)2024—2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考
數(shù)學(xué)參考答案
1..故選：A.
2.解不等式可得，
又可得只有當(dāng)時(shí)，的取值分別為，2，5在集合中，所以.故選：
3.因?yàn)?，?br>所以.所以.
故選：A
4.，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)，時(shí)，的最小值為8.故選：D
5.因?yàn)椋?，所以，得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不一定成立，而當(dāng)時(shí)，一定成立，所以“”是“為真命題”的必要不充分條件.
故選：B
6.，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，當(dāng)時(shí)，，排除D.當(dāng)趨于時(shí)，趨于，排除C，經(jīng)檢驗(yàn)B符合題意.故選：B.
7.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以，.
故選：B.
8.因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，聯(lián)立①②可得，所以.故選：D.
9.由，，，則與不平行，故A錯(cuò)誤；
，，則，故B正確；
，，，
，，故C正確；
，即在方向上的投影向量為，故D正確.故選：BCD.
10.的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸距離為.
，..
，，又，則.
.選項(xiàng)A正確：
選項(xiàng)B：由，可得函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，。當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)中心為.B正確；
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，在上不遞增，C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由，.可得對(duì)稱(chēng)軸：，.不是對(duì)稱(chēng)軸.或驗(yàn)證法把代入得，不是對(duì)稱(chēng)軸.錯(cuò)誤；
故選：AB.
11.【詳解】如圖所示，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)
和的圖象，
由圖象知，要使得方程有四個(gè)不同的零點(diǎn)，只需，所以A正確；
對(duì)于B中，因?yàn)?，，?br>且函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
由圖象得，且，，
所以，可得，則，
所以，其中，
令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以，所以B正確；
對(duì)于C中，，是的兩個(gè)根，
所以，即，所以，
由，是的兩個(gè)根，所以，
所以，所以C不正確；
對(duì)于D中，由，可得，
令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，，所以D正確.
故選：ABD.
12.因?yàn)?，，所?
故答案為：1
13.由題意，向量與的夾角為，，，
所以，所以，
故答案為：6
14.因，，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，
而由可知其對(duì)稱(chēng)軸為直線，故，解得.
故答案為：.
15.（1）由得，（1分）又，（3分）
所以函數(shù)在處的切線方程為：，即（6分）
（2）由，令，解得或（7分）
令，解得，（8分）
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（10分）
所以當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為，（11分）
因?yàn)?，，故最大值為?3分）
16.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，（2分）
解得，.（6分）
.（8分）
（2）由（1）知，，，（11分）
.（15分）
17.（1）變形為：，
所以，（4分）因?yàn)?，所以，?分）
（2）因?yàn)椋?，所以?0分）
由正弦定理得：，即，（12分）
解得：（15分）
18.（1）證明：由可得，
當(dāng)時(shí)，，解得，（1分）
當(dāng)時(shí)，，即，（2分）
則（3分）
，即，（5分）
即，即，（8分）
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列.（9分）
（2）由（1）得，則，（10分）
設(shè)，則
（13分）
令，得，即，即（15分）
又，，，所以滿足條件的最大整數(shù)為n為5.（17分）
19.【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）依題意，，則，（1分）
令，解得，（2分）
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（4分）
故函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值；（6分）
（2）令，則，（8分）
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以，
所以在上單調(diào)遞增，（11分）
，即，
因?yàn)椋?，?2分）
要證，即證，只需證，
即，即，（13分）
令函數(shù)，
則，（14分）
令，則，
所以為上的增函數(shù)，（15分）
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（16分）
所以對(duì)任意，都有，從而原命題得證.（17分）
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
C
A
D
B
B
B
D
BCD
題號(hào)
10
11
答案
AB
ABD

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