一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列結論正確的是( )
A. 底面是正方形的棱錐是正四棱錐
B. 繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐
C. 有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺
D. 棱臺的所有側棱所在直線必交于一點
2.設a,b,c是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結論正確的是( )
A. (a?b)c=(b?c)aB. |a?b|≤a?b
C. (a?b)c?(b?c)a與b垂直D. ||a|?|b||≤|a?b|
3.下列概率模型，其中屬于古典概型的是( )
A. 在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都是整數的所有點中任取一點
B. 某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)
C. 某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講
D. 一只使用中的燈泡壽命長短
4.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′=2，則原平面圖形的周長為( )
A. 4 2+4
B. 4 6+4
C. 8 2
D. 8
5.下列命題中是真命題的有( )
A. 一組數據2，1，4，3，5，3的平均數、眾數、中位數相同
B. 有A、B、C三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調查，如果抽取的A個體數為9，則樣本容量為30
C. 若甲組數據的方差為5，乙組數據為5，6，9，10，5，則這兩組數據中較穩(wěn)定的是甲
D. 一組數1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位數為4
6.甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事件A=“甲擊中靶”，事件B=“乙擊中靶”，事件E=“靶未被擊中”，事件F=“靶被擊中”，事件G=“恰一人擊中靶”，對下列關系式(A?表示A的對立事件，B?表示B的對立事件)：①E=A?B?，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=A?B+AB?，⑥P(F)=1?P(E)，⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正確的關系式的個數是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.祖暅，又名祖暅之，是我國南北朝時期的數學家、天文學家祖沖之的兒子.他在《級術》中提出“冪勢既同，則積不容異”的結論，其中“冪”是面積.“勢”是高，意思就是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任一平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等(如圖①).這一原理主要應用于計算一些復雜幾何體的體積，若某藝術品如圖②所示，高為40cm，底面為邊長20cm的正三角形挖去以底邊為直徑的圓(如圖③)，則該藝術品的體積為( )
A. (1000 3?10003π)cm3B. (2000 3?20003π)cm3
C. (2000 33?20009π)cm3D. (1000 33?10009π)cm3
8.如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，若點E，F分別滿足AE=23AB,AF=23AC，平面EB1C1F將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為V1和V2，則V1：V2=( )
A. 19：8
B. 2：1
C. 17：10
D. 16：11
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數z=3+4i，則( )
A. z的共軛復數是3?4i
B. z2對應的點在第二象限
C. z?=iz
D. 若復數z0滿足|z0?z|=1，則|z0|的最大值是6
10.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列說法中正確的是( )
A. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B. 如果m?α，α/?/β，那么m//β
C. 如果α∩β=l，m/?/α，那么m/?/l
D. 如果m⊥n，m⊥α，n/?/β，那么α⊥β
11.已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，O為△ABC的重心，csA=15，AO=2，則( )
A. AO=14AB+14ACB. AB?AC≤3
C. △ABC的面積的最大值為3 6D. a的最小值為2 5
12.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，E在棱A1B1上運動(不含端點)，則( )
A. 側面AA1D1D中不存在直線與DE垂直
B. 平面A1DE與平面ABCD所成二面角為π4
C. E運動到A1B1的中點時，A1C上存在點P，使BC/?/平面AEP
D. P為A1C中點時，三棱錐E?PBC1體積不變
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.福利彩票“雙色球”中紅色球由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數表(下表是隨機數表的第一行和第二行)選取6個紅色球，選取方法是從隨機數表中第1行的第6列和第7列數字開始，由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第3個紅色球的編號為______．
14.已知e1，e2為平面內向量的一組基底，a=2e1+λe2，b=e1+(λ+1)e2，若a//b，則λ= ______．
15.已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC= 2，若球O的體積為4π3，則SA= ______．
16.如圖所示，某旅游景區(qū)的B，C景點相距2km，測得觀光塔AD的塔底D在景點B的北偏東45°，在景點C的北偏西60°方向上，在景點B處測得塔頂A的仰角為45°，現有游客甲從景點B沿直線去往景點C，則沿途中觀察塔頂A的最大仰角的正切值為______.(塔頂大小和游客身高忽略不計)
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知關于x的方程3x2?2ax+a=0，a∈R．
(1)當a=1時，在復數范圍內求方程的解；
(2)已知復數z=2a+i，若方程3x2?2ax+a=0有虛根，求z的模的取值范圍．
18.(本小題12分)
已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a?b+cc=ba+b?c．
(1)求A；
(2)若b?c= 33a，證明：△ABC是直角三角形．
19.(本小題12分)
為了促進電影市場快速回暖，各地紛紛出臺各種優(yōu)惠措施.某影院為回饋顧客，擬通過抽球兌獎的方式對觀影卡充值滿200元的顧客進行減免，規(guī)定每人在裝有4個白球、2個紅球的抽獎箱中一次抽取兩個球.已知抽出1個白球減20元，抽出1個紅球減40元．
(1)求某顧客所獲得的減免金額為40元的概率；
(2)若某顧客去影院充值并參與抽獎，求其減免金額低于80元的概率．
20.(本小題12分)
樹人中學男女學生比例約為2：3，某數學興趣社團為了解該校學生課外體育鍛煉情況(鍛煉時間長短(單位：小時))，采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生m人，女生n人進行調查.記男生樣本為x1，x2，…，xm，樣本平均數、方差分別為x?,s12；女生樣本為y1，y2，…，yn，樣本平均數、方差分別為y?,s22；總樣本平均數、方差分別為w?,s2．

(1)該興趣社團通過分析給出以上兩個統(tǒng)計圖，假設兩個統(tǒng)計圖中每個組內的數據均勻分布，根據兩圖信息分別估計男生樣本、女生樣本的平均數；
(2)已知男生樣本方差s12=5.5，女生樣本方差s22=5.7，請結合(2)問的結果計算總樣本方差s2的估計值．
21.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=4，AD=6．
(1)設G，H分別為PB，AC的中點，求證：GH/?/平面PAD；
(2)求證：PA⊥平面PCD；
(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．
22.(本小題12分)
如圖，已知△ABC是邊長為2的正三角形，點P1、P2、P3是BC邊的四等分點．
(1)求AB?AP1+AP1?AC的值；
(2)若P為線段AP3上的動點，求PA?PC的最小值，并指出當PA?PC取最小值時點P的位置．
答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.B
8.A
9.ABD
10.AB
11.BC
12.BCD
13.05
14.?2
15.1
16. 2
17.解：(1)當a=1時，關于x的方程3x2?2ax+a=0，a∈R，即3x2?2x+1=0，
它的判別式Δ=?8，
利用求根公式可得x=2±2 2i6，即x=13+ 23i 或x=13? 23i．
(2)∵方程3x2?2ax+a=0有虛根，∴Δ=4a2?12a

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