一、單選題
1．直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列命題中正確的是（ ）
A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標是
B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
D．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則
4．已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知點，，若圓上存在點P（不同于點A，B）使得，則實數(shù)r的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知曲線，設(shè)曲線上任意一點與定點連線的中點為，則動點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圓直線，點在直線上運動，直線分別與圓相切于點．則下列說法正確的是（ ）
A．四邊形的面積最小值為
B．最短時，弦AB長為
C．最短時，弦AB直線方程為
D．直線AB過定點
8．已知圓：，過點的直線與軸交于點，與圓交于，兩點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知實數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項正確的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．過點作曲線的切線，則切線方程為
10．如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都是為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．的長為
11．如圖，已知點，是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧，是以BC為直徑的圓上的一段圓弧，是以O(shè)A為直徑的圓上的一段圓弧，三段圓弧構(gòu)成曲線，則（ ）

A．曲線與軸圍成的面積等于
B．與的公切線的方程為
C．所在圓與所在圓的相交弦所在直線的方程為
D．所在圓截直線所得弦的弦長為
三、填空題
12．已知直線l經(jīng)過直線和的交點，且直線l在坐標軸上的截距相等，則直線l的方程是 .
13．臺風(fēng)中心從地以每小時的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正東處，城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為 小時.
14．已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為 .
四、解答題
15．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
(1)求頂點的坐標；
(2)求直線的方程．
16．如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.
(1)證明： ;
(2)若直線 AB與平面 所成角的正弦值為 ，點 為線段 BD上一點，求點到平面 的距離.
17．已知以點A-1,2為圓心的圓與直線相切，過點的動直線與圓A相交于
(1)求圓的方程；
(2)當時，求直線的方程．
18．如圖，在四棱錐中，，，平面平面為中點．

(1)求證：平面；
(2)點在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
19．已知圓.
(1)證明：圓過定點.
(2)當時，求直線被圓截得的弦長.
(3)當時，若直線與圓交于兩點，且，其中為坐標原點，求的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】方法一：由直線的方向量求出直線斜率，然后利用點斜式可求出直線方程；方法二：由已知可得直線的一個法向量為，則設(shè)直線為，再將代入求出，從而可得直線方程.
【詳解】方法一 ∵直線的一個方向向量為，∴，
∴直線的方程為，即．
方法二 由題意知直線的一個法向量為，
∴直線的方程可設(shè)為，將點代入得，
故所求直線的方程為．
故選：B
2．B
【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．
【詳解】解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，
因為直線l過點，且與線段相交，
結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．
故選：B．
3．C
【分析】由空間點關(guān)于平面的對稱點的特點可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.
【詳解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；
對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，
，有，則或，B選項錯誤；
對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，
則直線l與平面所成的角為，C選項正確；
對于D，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，
若，則，解得，D選項錯誤.
故選：C.
4．B
【分析】先得到曲線軌跡為以0,1為圓心，2為半徑的上半圓，求出恒過定點，把半圓和直線畫出，數(shù)形結(jié)合得到有兩個相異的交點時實數(shù)k的取值范圍.
【詳解】，變形得到，
故曲線軌跡為以0,1為圓心，2為半徑的上半圓，
恒過定點，把半圓和直線畫出，如下：
當過點時，滿足兩個相異的交點，
且此時取得最小值，最小值為，
當與相切時，由0,1到直線距離等于半徑可得
，解得，
故要想曲線與直線有兩個相異的交點，
則.
故選：B
5．A
【分析】由題意可得兩圓相交，而以AB為直徑的圓的方程為，圓心距為3，由兩圓相交的性質(zhì)可得，由此求得的范圍．
【詳解】根據(jù)直徑對的圓周角為，
結(jié)合題意可得以AB為直徑的圓和圓有交點，
因為點P（不同于點A，B），顯然兩圓相切時不滿足條件，故兩圓相交．
而以AB為直徑的圓的方程為，兩個圓的圓心距為3，
故|，求得，
故選：A．
6．B
【分析】設(shè)動點坐標，找到動點坐標與曲線上點坐標的關(guān)系，通過已知解析式得出動點的軌跡方程.
【詳解】設(shè)，因為為的中點，所以，即，
又因為點在曲線上，所以，所以．
所以點的軌跡方程為即．
故選：B
7．B
【分析】A選項，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，又因切線長定理可知，當最短時，面積最??；B選項，由圓的弦長公式結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；C選項，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等；D選項，由向量積公式求定點坐標．
【詳解】對于A，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，
即，
最短時，面積最小，故當時，最短，
即，
，故A錯誤；

由上述可知，時，最短，故最小，
且最小值為，
所以，故B正確；
當最短時，則，又，所以，，
，
可設(shè)的直線方程為，
圓心到直線的距離，
解得或，
由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，
所以，
所以，
即直線的方程為，故C錯誤；
設(shè)圓上一點，，，
，，，
易知，
由于，
所以，
同理，
，
，
，即，
令，解得，
所以直線過定點為，故D錯誤．
故選：B．
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
8．D
【分析】作出線段的中點，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，由圖化簡得，只需求的范圍即可，故又轉(zhuǎn)化成求過點的弦長的范圍問題.
【詳解】

如圖，取線段的中點，連接，則，
由，
因直線經(jīng)過點，考慮臨界情況，
當線段中點與點重合時（此時），弦長最小，此時最長，
為，（但此時直線與軸平行，點不存在）；
當線段中點與點重合時，點與點重合，最短為0（此時符合題意）.
故的范圍為.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圓的弦想到取其中點，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，將所求式轉(zhuǎn)化成，而求范圍即求弦的長的范圍即可.
9．BD
【分析】由表示圓上的點到定點的距離的平方，可判定A錯誤；由表示圓上的點與點的斜率，設(shè)，結(jié)合點到直線的距離公式，列出不等式，可判定B正確；由表示圓上任意一點到直線的距離的倍，進而可判定C錯誤；根據(jù)點在圓上，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)，可判定D正確.
【詳解】由圓可化為，可得圓心，半徑為，
對于A中，由表示圓上的點到定點的距離的平方，
所以它的最大值為，所以A錯誤；
對于B中，表示圓上的點與點的斜率，設(shè)，即，
由圓心到直線的距離，解得，
所以的最大值為，所以B正確；
對于C中，由表示圓上任意一點到直線的距離的倍，
圓心到直線的距離，所以其最小值為，所以C錯誤；
對于D中，因為點滿足圓的方程，即點在圓上，
則點與圓心連線的斜率為，
根據(jù)圓的性質(zhì)，可得過點作圓的切線的斜率為，
所以切線方程為，即，所以D正確.
故選：BD.
10．AC
【分析】A、B選項考查的是空間向量基本定理的應(yīng)用，以，，為基底表示，就可以得到結(jié)論；C選項考查利用空間向量數(shù)量積求向量夾角的余弦，先用基底表示和，再求它們的數(shù)量積和模，利用可判斷C是否正確；對D選項，先用基底表示，再結(jié)合可求的長.
【詳解】
∵，故A正確.
∵.故B錯誤.
又∵，.
，；
，
.
.
∴.故C正確.
∵，∴.故D錯誤.
故選：AC.
11．BC
【分析】由題知曲線與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個四分之一圓，故此可寫出各段圓弧所在圓的方程，然后根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)判斷各選項即可.
【詳解】對于A，，，所在圓的方程分別為，，，曲線與軸圍成的圖形為一個半圓、一個矩形和兩個圓，
其面積為，故A錯誤；
對于B，設(shè)與的公切線方程為（，），則，
所以，，所以與的公切線的方程為，
即，故B正確；
對于C，由及兩式相減得，
即公共弦所在直線方程，故C正確；
對于D，所在圓的方程為，圓心為，
圓心到直線的距離為，
則所求弦長為，故D錯誤.
故選：BC.
12．或
【分析】求出給定的兩條直線交點坐標，再按直線是否過原點分類求解即可.
【詳解】由，解得，即直線過點，
當直線過原點時，直線的方程為，
當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，則，解得，方程為，
所以直線的方程為或.
故答案為：或
13．
【分析】首先根據(jù)已知條件作出圖形，圓半徑，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出BE的長，易知是直角三角形，運用勾股定理可求出的長，進而求出弦長，最后用弦長除以臺風(fēng)的移動速度即可求解.
【詳解】以城市為圓心，為半徑畫圓，如圖所示，所在直線為臺風(fēng)中心的移動軌跡，，，，過點作于點.
在中，由銳角三角函數(shù)，
得，
在中，由勾股定理，
得，
所以，
因為臺風(fēng)中心的移動速度為，
所以B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為.
故答案為：2.
14．/
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定點的軌跡方程，從而根據(jù)點到圓上動點距離最值的求解方法求解即可.
【詳解】解法1：如圖，因為，所以，故四邊形為矩形，
設(shè)的中點為S，連接，則，
所以，
又為直角三角形，所以，故①，
設(shè)，則由①可得，
整理得：，
從而點S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內(nèi)部，所以，
因為，所以 ；
解法2：如圖，因為,所以，
故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，
所以，從而，
故Q點的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內(nèi)，所以.
故答案為： .
15．(1)
(2)．
【分析】（1）由邊上的高所在直線的斜率可求直線的斜率，已知點，由點斜式方程可得直線方程，又點也在邊的中線上，聯(lián)立方程組求解交點的坐標即可；
（2）設(shè)點，則中點在已知中線上，又點在已知邊的高線上，則聯(lián)立方程組可得，再由兩點式可得直線的方程.
【詳解】（1）因為邊上的高所在直線方程為，
設(shè)線的斜率為，則，解得，
又因為直線過點，
則直線的方程為,，
又邊上的中線所在直線方程為，且該直線過點，
所以聯(lián)立，
解得的坐標為．
（2）設(shè)，因為邊上的中線所在直線方程為，
所以的中點在直線上，
且邊上的高所在直線過頂點，
所以，解得，即的坐標為．
由（1）知，由兩點式方程得，
化簡得.
即直線的方程為．
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）因為，因此只需證明平面，只需證明（由題可證），，由勾股定理易證.
（2）建立空間直角坐標系，先由直線 AB與平面 所成角的正弦值為 ，求出，再證明平面，由此得點M到平面 的距離等價于點到平面 的距離，再由點到平面的距離公式求解即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，所以,
因為為直四棱柱，
所以,
因為，平面，
所以平面，
因為，所以平面，
因為平面，所以
（2）由（1）及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系
因為，.設(shè)，
所以
所以,
設(shè)平面的一個法向量為
則，
令，則，所以
設(shè)直線 AB與平面 所成的角為，
則，
解得，所以
所以點到平面 的距離為
因為，所以
因為不在平面，所以平面，
因為M在線段上，所以點M到平面 的距離等價于點到平面 的距離，為
故點M到平面 的距離.
17．(1)
(2)或
【分析】(1)由題意知點到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標準方程可求得圓的方程；
(2) 過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程
【詳解】（1）易知A-1,2到直線的距離為圓A半徑r，
所以，
則圓A方程為
（2）過A做,由垂徑定理可知，且，
在中由勾股定理易知
當動直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，
經(jīng)檢驗圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，
顯然合題意，
當動直線斜率存在時，過點，設(shè)方程為：，
由A-1,2到距離為知得，
代入解之可得，
所以或為所求方程．
18．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直；
（2）先應(yīng)用空間向量法計算線面角得出參數(shù)，再計算二面角即可.
【詳解】（1）由題意：，同理，
又．而，即
又平面平面，平面平面平面，
平面平面，又，且面面平面．
（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
，
設(shè)，有，
取面的一個法向量，
則，
故．
令n=x,y,z是平面的一個法向量，則，即
令，有，則
故平面與平面夾角的余弦值為．
19．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）對式子變形為，由于與無關(guān)，列方程求解即可得定點；
（2）求出圓心到直線距離，再結(jié)合垂徑定理求解弦長即可；
（3）聯(lián)立直線與圓的方程，韋達定理，利用數(shù)量積的坐標運算列不等式，求解即可.
【詳解】（1）由，
得，
令，得，解得，
所以圓過定點，且定點的坐標為.
（2）當時，圓的標準方程為，
則圓的圓心到直線的距離，
所以直線被圓截得的弦長為.
（3）將代入，得.
則恒成立，
設(shè)，則，
所以
，整理得，則，
所以的取值范圍是.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
B
A
B
B
D
BD
AC
題號
11









答案
BC









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