一、單選題
1．已知全集，，則=（ ）
A． B．C．D．
2．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，則的最小值是（ ）
A．4B．8C．12D．16
4．設(shè)，為實(shí)數(shù)，甲：，乙：，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．下列表示集合和關(guān)系的Venn圖中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，，則ab的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知表示不超過x的最大整數(shù)，集合，，且，則集合B的子集個數(shù)為（ ）．
A．4B．8C．16D．32
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、單選題
11．群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個非空集合，“”是G上的一個代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對任意的a，，有；②對任意的a，b，，有；③存在，使得對任意的，有，e稱為單位元；④對任意的，存在，使，稱a與b互為逆元.則稱G關(guān)于“”新構(gòu)成一個群.則下列說法不正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．自然數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
四、填空題
12．若，則的取值范圍為 .
13．某?！疤飶竭\(yùn)動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則三項(xiàng)比賽都參加的有 人.
14．已知，且，則的最小值為 .
五、解答題
15．已知集合.
(1)求；
(2)求.
16．如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，每間虎籠的長為a（單位：）、寬為b（單位：）（a，b都為正數(shù)）.
(1)現(xiàn)有可圍長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
(2)若使每間虎籠面積為，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？最小值為多少？
17．已知關(guān)于x的不等式：.
(1)若，求該不等式的解集；
(2)設(shè)命題P：實(shí)數(shù)x滿足，其中；命題q：實(shí)數(shù)x滿足，且q是p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18．根據(jù)要求完成下列問題：
(1)已知，求出的最小值，以及取最小值x，y的值；
(2)已知a，b，c，，比較與的大小并說明理由；
(3)利用（2）的結(jié)論解決下面問題：已知m，n均為正數(shù)，且，求的最大值.
19．設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若且，則.
(1)若，試證明A中還有另外兩個元素；
(2)集合A是否為只含有兩個元素的集合，并說明理由；
(3)若A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A.
（提示：）
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)并集定義即可求解.
【詳解】，，=.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
2．B
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得出結(jié)果即可；
【詳解】命題“”的否定是.
故選：B.
3．D
【分析】由基本不等式可得答案.
【詳解】已知，則，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時“”成立，故所求最小值是16.
故選：D．
4．B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及充分條件、必要條件的概念得解.
【詳解】因?yàn)?，推不出?br>而，
所以甲是乙的必要不充分條件，
故選：B
5．A
【分析】依題意可求得集合，根據(jù)集合中的元素可判斷兩集合之間的關(guān)系.
【詳解】根據(jù)題意由可得，即；
解方程可得或，解得或或或，
即可得；
因此可得集合有交集，但沒有包含關(guān)系.
故選：A
6．D
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式可得，以為整體，解一元二次不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，，由基本不等式可得?br>即，解得或（舍去），即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故ab的取值范圍是．
故選：D．
7．D
【分析】問題轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)槊}為真命題，所以不等式的解集為.
所以：若，則不等式可化為，不等式解集不是；
若，則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知：.
綜上可知：
故選：D
8．C
【分析】由新定義及集合的概念可化簡集合，再由可知，分類討論的歸屬，從而得到集合的元素個數(shù)，由此利用子集個數(shù)公式即可求得集合的子集的個數(shù).
【詳解】由題設(shè)可知，，
又因?yàn)?，所以?br>而，
因?yàn)榈慕鉃榛?，的兩根滿足，
所以分屬方程與的根，
若是的根，是的根，則有，解得，
代入與，解得或與或，
故；
若是的根，是的根，則有，解得，
代入與，解得或與或，
故；
所以不管如何歸屬方程與，集合總是有4個元素，
故由子集個數(shù)公式可得集合的子集的個數(shù)為.
故選：C
9．BCD
【分析】根據(jù)數(shù)集的定義以及子集的概念即可得到結(jié)果.
【詳解】對于A，是整數(shù)集，所以，故A錯誤；
對于B，是自然數(shù)集，所以，故B正確；
對于C，是的一個子集，所以，故C正確；
對于D，，這樣的實(shí)數(shù)不存在，所以，故D正確；
故選：BCD.
10．BD
【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質(zhì)，結(jié)合作差法比較大小即得.
【詳解】對于A，由，得，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：BD
11．D
【分析】反例判斷A，B，C是否滿足④，對于D，對所有的，設(shè)，求出，依次看是否滿足要求.
【詳解】A：由且，使，但，不存在，使，故A錯誤；
B：由且，都有，但，不存在，使，故B錯誤；
C：由且，使，但，不存在，使，故C錯誤；
D：對所有的，可設(shè)，
則，
①滿足加法結(jié)合律，即，有；
②，使得，有；
③，設(shè)，使，正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D，對所有的，，求出.
12．
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合不等式性質(zhì)求范圍即可.
【詳解】因?yàn)?所以,
又因?yàn)?所以.
故答案為：.
13．2
【分析】根據(jù)容斥原理可分析出3項(xiàng)都參加的人數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)是參加100米的同學(xué)，是參加400米的同學(xué)，是參加1500米的同學(xué)，
，
則，
且，
則，
所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，
故答案為：2.
14．2
【分析】先由題意得且，接著將代入整理得，再根據(jù)基本不等式中常數(shù)“1”的妙用方法即可計算求解.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以且，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以的最小值為2.
故答案為：2.
15．(1)；
(2)；；
或.
【分析】（1）由交集以及并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，先求，，再由交集的運(yùn)算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，.
（2）由題意可得或，或，
則，
，
或.
16．(1)每間虎籠的長設(shè)計為、寬設(shè)計為時，可使每間虎籠面積最大，面積最大為.
(2)每間虎籠的長設(shè)計為、寬設(shè)計為時，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長最小，最小值為48m.
【分析】（1）先由題意得，，每間虎籠面積為，再利用基本不等式即可求出面積S的最大值以及此時的值.
（2）先由題意得，鋼筋網(wǎng)總長為，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此時的值.
【詳解】（1）由題得即，，
設(shè)每間虎籠面積為S，則，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以即，
所以每間虎籠的長、寬時，可使每間虎籠面積最大，面積最大為.
（2）由題意可得，
設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以每間虎籠的長設(shè)計為、寬設(shè)計為時，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長最小，最小值為48m.
17．(1)
(2)
【分析】（1）將代入進(jìn)去求不等式即可；
（2）根據(jù)題意可得是的真子集，再根據(jù)取值范圍求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，不等式為，
因式分解為，
所以解集為；
（2）命題P：實(shí)數(shù)x滿足，
因式分解為，因?yàn)椋?br>所以解集為，
命題q：實(shí)數(shù)x滿足，則解集為或，
因?yàn)閝是p的必要不充分條件，得是的真子集，
所以或，解得或，
又，所以，
所以a的取值范圍為.
18．(1)的最小值為24，此時；
(2)，理由見解析；
(3)的最大值為5.
【分析】（1）根據(jù)基本不等式“1”的妙用方法去計算即可求解；
（2）兩式作差，根據(jù)差值情況即可比較；
（3）由（2）得，由該不等式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以的最小值為24，此時.
（2），理由如下：
因?yàn)?br>，
所以
（3）由（2）可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最大值為5.
19．(1)證明見解析；
(2)不是，理由見解析；
(3)
【分析】（1）根據(jù)集合的性質(zhì)代入3計算可得集合中還含有兩個元素；
（2）根據(jù)集合中元素的互異性，易證明集合中至少含有三個元素；
（3）利用（2）中的結(jié)論可知集合中的元素個數(shù)需為3的倍數(shù)，再由元素個數(shù)不超過8個以及所有元素的積可確定A中的元素個數(shù)必為6個，再由所有元素的和為即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：根據(jù)題意若，則，
若，則，
若，則，
因此可得集合，
即可知集合中除了含有3之外，還含有兩個元素.
（2）由且，可得，
由可得，
由可得，且，易知方程均無解；
所以；
即可得集合中至少含有3個元素，
所以集合A不可能為只含有兩個元素的集合.
（3）由（2）可知，若，則，
易知集合中的元素個數(shù)需為3的倍數(shù)，
若A中元素個數(shù)不超過8個，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，
由可知集合A中不可能只有3個元素，則集合A中的元素個數(shù)必為6個；
因此6個元素的積必為1，不妨取，解得或(舍)；
可知，
又所有元素的和為，不妨設(shè)，
根據(jù)提供解析式可解得或或,
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)集合A中的元素性質(zhì)，證明得出集合A中的元素個數(shù)必是3的倍數(shù)，再由元素個數(shù)以及所有元素的和及其積的性質(zhì)計算即可得出集合A.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
A
D
D
C
BCD
BD
題號
11









答案
D









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