一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1—6題每個空格填對得4分，7—12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.
1.已知集合，則__________.
2.已知為虛數(shù)單位，，則__________.
3.已知，且為第二象限角，則__________.
4.已知向量，則在上的投影向量為__________.
5.已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________.
6.函數(shù)的圖像在點處的切線方程為__________.
7.中國古代數(shù)學(xué)著作主要有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《四元玉鑒》《張邱建算經(jīng)》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術(shù)》的概率為__________.
8.已知，若，則__________.
9.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，當時，，則__________.
10.在某次數(shù)學(xué)測驗中，學(xué)號為的四位同學(xué)的考試成績?yōu)?，且滿足，則這四位同學(xué)的考試成績的所有可能情況的種數(shù)為__________.
11.地震定位對地震救援具有重要意義，根據(jù)雙臺子臺陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.已知地震臺站在公路上（為直線），且，相距28，地震局以的中點為原點，直線為軸，1為單位長度建立如圖所示的平面直角坐標系.在一次地震發(fā)生后，根據(jù)兩站收到的信息，并通過計算發(fā)現(xiàn)震中在雙曲線的右支上，且，則到公路的距離為__________.
12.已知圓上任意一點的取值與無關(guān)，則實數(shù)的取值范圍是__________.
二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.
13.已知，則“”是“”的（ ）條件.
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.已知是空間兩個不同的平面，是空間兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
15.已知，存在常數(shù)，使為偶函數(shù)，則的值可能為（ ）
A. B. C. D.
16.在數(shù)列中，滿足（為正整數(shù)），則
①一定存在常數(shù)，使得都成立；
②一定存在常數(shù)，使得（為正整數(shù)）都成立
上面判斷正確的是（ ）
A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立
C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立
三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
如圖，在三棱錐中，，.
（1）證明：平面；
（2）若是棱上一點且，求二面角的大小.
18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前2024項和.
19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
2024年4月25日，第18屆北京國際汽車展覽會在中國國際展覽中心開幕，本屆展會以“新時代新汽車”為主題，在展覽會上國內(nèi)新能源車引得了國內(nèi)外車友的關(guān)注.為了解人們的買車意向，在車展現(xiàn)場隨機調(diào)查了50名男觀眾和50名女觀眾，已知男觀眾中有40人偏向燃油車，女觀眾中有20人偏向燃油車，剩余被調(diào)查的觀眾則偏向新能源車.
（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況是否有差異；
（2）現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從被調(diào)查的偏向燃油車的觀眾中抽取9人，再從這9人中隨機抽取4人，記表示這4人中女觀眾的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：.
20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
已知橢圓的一個焦點是.直線與直線關(guān)于直線對稱，且相交于橢圓的上頂點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求的值；
（3）設(shè)直線分別與橢圓另交于兩點，證明：直線過定點.
21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；
（3）記.若對任意且時，均有成立，求實數(shù)的取值范圍.
2024—2025學(xué)年上海市延安中學(xué)高三年級上學(xué)期9月質(zhì)量調(diào)研
數(shù)學(xué)試卷
2024.9
一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1—6題每個空格填對得4分，7—12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.
1.【答案】
【解析】.
2.【答案】2
【解析】.
3.【答案】
【解析】.
4.【答案】
【解析】在上的投影向量為.
5.【答案】87.5
【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，
因為，所以第75百分位數(shù)是.
6.【答案】
【解析】，
則函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，即
.
7.【答案】
【解析】將這5部書籍依次記為，
則從這5部書籍中任意抽取2部的樣本空間，共有10個樣本點，
其中抽到《周髀算經(jīng)》的樣本點為，共有4個樣本點，
所以所求概率.
8.【答案】38
【解析】令，則，
則
9.【答案】
【解析】因為，所以，
因為是奇函數(shù)，所以，
所以，所以的周期為4，
因為，所以令，可得，所以
因為，
所以.
10.【答案】15
【解析】從所給的5個成績中，任意選出4個的一個組合，
即可得到四位同學(xué)的考試成績按排列的一個可能情況，故方法有種.
從所給的5個成績中，任意選出3個的一個組合，
即可得到四位同學(xué)的考試成績按排列的一個可能，故方法有種.
綜上可得，滿足的這四位同學(xué)的考試成績的所有可能情況共有種.
11.【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意得，，則，解得，
由雙曲線的定義得，
又，
即，
三角形的面積，
設(shè)到公路的距離為，則，得，
即到公路的距離為.
12.【答案】
【解析】設(shè)，
故可以看作點到直線
與直線距離之和的5倍，
的取值與無關(guān)，
這個距離之和與點在圓上的位置無關(guān)，
如圖所示：可知直線平移時，
點與直線的距離之和均為的距離，
即此時圓在兩直線內(nèi)部，
當直線與圓相切時
化簡得，
解得或（舍去），
.
二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.
13.【答案】B
【解析】，則“”是“”的必要非充分條件，
故選B.
14.【答案】C
【解析】對于A，可相交，故錯誤；
對于B，兩直線可異面，也可以相交，故錯誤；
對于C，正確；
對于D，兩平面可相交，故錯誤；
故選C.
15.【答案】B
【解析】由于函數(shù)，存在常數(shù)，
為偶函數(shù)，
則：，
由于函數(shù)為偶函數(shù)，
故：，
所以：，
當時.
故選：B.
16.【答案】B
【解析】數(shù)列滿足：，
①不妨設(shè)，則，若存在常數(shù)，使得，
應(yīng)有，顯然成立，故①正確
②取，顯然滿足，
但對，②為假命題；
故選B.
三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17.【答案】（1）見解析；（2）
【解析】（1）證明：連接，因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，則，所以，
因為平面，
所以平面.
（2）易知為的中點，所以，
由（1）可知，兩兩垂直，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，因為，所以為正三角形，
所以，
因為，所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，
又平面的一個法向量為，
所以，
即二面角的大小為.
18.【答案】（1）；（2）1012
【解析】（1）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，
可得，即，即有，
解得，
則.
（2），
可得，
數(shù)列的前2024項和為.
19.【答案】（1）有差異；（2）見解析
【解析】（1）由題意可得列聯(lián)表：
零假設(shè)：男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況沒有差異，
則
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗可知，零假設(shè)不成立，
所以可以認為男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況有差異.
（2）因為抽取的9人中有名男觀眾，名女觀眾，
所以的可能取值為，
則，
，
所以的分布列為：
則.
20.【答案】（1）（2）；（3）直線過定點
【解析】（1）不妨設(shè)橢圓的標準方程為，
因為直線與軸相交于點，
所以橢圓的上頂點為，
即，
因為橢圓的一個焦點是，
所以，
則
故橢圓的標準方程為.
（2）不妨設(shè)點是直線上任意異于的一點，
點是點關(guān)于直線的對稱點，
此時，
解得，
因為，
所以，
解得，
代入直線中，
解得，
因為點在直線上，
所以，
即
所以，
因為，
所以.
（3）證明：不妨設(shè)，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達定理得，
所以，
同理得，
由（2）知，
所以，
此時直線的方程為，
整理得，
則對任意的，總經(jīng)過點.
故直線過定點.
21.【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【解析】（1）當時，，滿足為偶函數(shù)；
當時，，且為非奇非偶函數(shù).
（2）函數(shù)在處有極值，
可得，解得，
所以
當時，遞減；當或時，遞增，
可得在處取得極小值，且為在處取得極大值，且為，
的方程有3個不同的實根，等價為，
即有的取值范圍是.
（3）在遞減，可得時，，
，即為，
即
即為對
任意且時恒成立.
所以在遞減；在遞增.
當在恒成立時，可得，即在恒成立，則.
當在恒成立時，可得，即在
恒成立，則.
綜上可得的取值范圍是.偏向燃油車
偏向新能源車
男觀眾
女觀眾
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
偏向燃油車
偏向新能源車
總計
男觀眾
40
10
50
女觀眾
20
30
50
總計
60
40
100
0
1
2
3

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