1.點到直線的距離
如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點,P是直線l外一點,設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=
= .
2.點到平面的距離
如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此PQ=AP·n|n|= = .
題組一 常識題
1.[教材改編] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=A1A=4,M為BC1的中點,N為A1B1的中點,則MN= .
2.[教材改編] 已知正方形ABCD的邊長為4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分別是AB,AD的中點,則點C到平面GEF的距離為 .
3.[教材改編] 如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則平面A1BD與平面B1CD1之間的距離為 .
題組二 常錯題
◆索引:點到直線的距離公式記錯;點到平面的距離公式忽略絕對值出錯.
4.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為正方形A1ABB1的中心,E為棱BC的中點,則點O到直線A1E的距離為 .
5.已知平面α的一個法向量為n=(-2,-2,1),點A(x,3,0)在平面α內(nèi),點P(-2,1,4)到平面α的距離為103,則x= .
點到直線、直線與直線間的距離
例1 (1)[2023·溫州三模] 四面體OABC滿足∠AOB=∠BOC=∠COA
=90°,OA=1,OB=2,OC=3,點D在棱OC上,且OC=3OD,點G為△ABC的重心,則點G到直線AD的距離為( )
A.22B.12C.33D.13
(2)定義:兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AC與BC1之間的距離是( )
A.22B.33C.12D.13
總結(jié)反思
(1)求點到直線的距離常用以下兩種方法:
①幾何法:求點A到直線l的距離,就是求從點A向直線l所作的垂線段的長度,往往在直角三角形中利用勾股定理求解.
②向量法:點A到直線l的距離d=|PA|2-|PA·n|2(其中A為直線l外一點,P為直線l上的任一點,n為與l的方向向量平行的單位向量).
(2)直線與直線間的距離有以下兩種情況:
①兩平行直線間的距離,此時其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離都相等,所以直線與直線的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.
②兩異面直線間的距離,有兩種方法:
幾何法:求公垂線段的長度.
向量法:在兩直線上各取一點構(gòu)成一個向量AB,u為在兩直線的公垂線方向上的單位向量,則兩異面直線間的距離為|AB·u|.
變式題 如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則面對角線AD1上的動點P到直線A1C1的距離的最小值為 .
點到平面的距離
例2 (1)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,CA=2CC1=2BC=2,則直線BC到平面AB1C1的距離為( )
A.3
B.32
C.62
D.64
(2)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,那么點P到平面ABC的距離為 .
總結(jié)反思
點到平面的距離的求法:
(1)幾何法:①作出點到平面的垂線段,在直角三角形中,求這條垂線段的長度.
②把待求的點到平面的距離看作三棱錐的高,利用三棱錐的等體積轉(zhuǎn)換法求解.
(2)向量法:點A到平面α的距離d=|BA·n||n|(其中B是平面α內(nèi)一點,n是平面α的一個法向量).
變式題1 如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,點E是棱AB的中點,則點E到平面ACD1的距離為( )
A.1B.23
C.43D.2
變式題2 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=AC=CC1=4,D為AB1的中點,CB1交BC1于點E.
(1)證明:CB1⊥C1D;
(2)求點E到平面B1C1D的距離.


立體幾何中的探索性問題
例3 如圖①是直角梯形ABCD,AB∥CD,∠D=90°,四邊形ABCE是邊長為2的菱形,并且∠BCE=60°,以BE為折痕將△BCE折起,使點C到達C1的位置,得到四棱錐C1-ABED,如圖②,且AC1=6.
(1)求證:平面BC1E⊥平面ABED.
(2)在棱DC1上是否存在點P,使得點P到平面ABC1的距離為155?若存在,求出直線EP 與平面ABC1所成角的正弦值;若不存在,請說明理由.
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總結(jié)反思
存在性問題的解題策略
借助于空間直角坐標(biāo)系,把幾何對象上動態(tài)點的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示,將幾何對象坐標(biāo)化,根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組.若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解,則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置;若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無解,則表示滿足題設(shè)要求的幾何對象不存在.
變式題 [2023·福建寧德模擬] 如圖①,在平行四邊形ABCD中,AE⊥DC,AD=4,AB=3,∠ADE=60°,將△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到如圖②所示的幾何體.
(1)若M為BD的中點,求四棱錐M-ABCE的體積VM-ABCE.
(2)在棱DB上(不含端點)是否存在一點M,使得平面MAC與平面ABCE夾角的余弦值為235?若存在,求出DMDB的值;若不存在,請說明理由.


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