2.C [解析] ∵A(1,-1,1),B(3,1,1),P(1,0,2),∴AB=(2,2,0),AP=(0,1,1),∴AB·AP=2,|AB|=22,|AP|=2,∴AP在AB上的投影向量的長度為AB·AP|AB|=222=22,∴點P(1,0,2)到直線AB的距離為|AP|2-222=2-12=62.故選C.
3.B [解析] 設O,O1分別是AC,A1C1的中點,連接OO1,OB,O1B1,根據(jù)正三棱柱的幾何性質可知OB,OC,OO1兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),所以CB=(3,-1,0),CA1=(0,-2,2),CC1=(0,0,2).設平面A1BC的法向量為n=(x,y,z),則n·CB=3x-y=0,n·CA1=-2y+2z=0,可取n=(1,3,3).因為B1C1∥BC,B1C1?平面A1BC,BC?平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC,所以B1C1到平面A1BC的距離即為點C1到平面A1BC的距離,為n·CC1|n|=237=2217.故選B.
4.C [解析] 因為點A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),所以AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),AP=(0,-1,0),設平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則AB·n=0,AC·n=0,即-x+y=0,-x+2z=0,令x=1,得n=1,1,12,所以所求距離d=|AP·n||n|=23.故選C.
5.2 [解析] 由題可得AP=(-1,1,-1),且|a|=1,所以點P(1,2,0)到直線l的距離為|AP|2-(AP·a)2=3-1=2.
6.92 [解析] 設A(1,2,3),B(4,1,5),C(2,3,4),D(6,6,1),則AB2=14,BC2=9,AC2=3,cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=51421,∴sin∠ABC=1-cs2∠ABC=9121,則S△ABC=12AB·BCsin∠ABC=262.AB=(3,-1,2),BC=(-2,2,-1),設平面ABC的法向量為m=(x,y,z),則有m·AB=0,m·BC=0,即3x-y+2z=0,-2x+2y-z=0,令z=-4,則m=(3,1,-4).∵BD=(2,5,-4),∴點D到平面ABC的距離h=|m·BD||m|=272626,則四面體的體積V=13S△ABC·h=92.
7.A [解析] 以O為坐標原點,以DA,AB,OP的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得,B(2,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,6),M(0,0,3).取BC的中點E,連接PE,則N在PE上,且PN=2NE,則N0,43,2,所以MN=0,43,-1,所以|MN|=02+432+(-1)2=53,所以PO的中點M到△PBC的重心N的距離為53.故選A.
8.A [解析] 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,不妨設AB=d,AD=b,AA1=c,則AC1=AB+AD+AA1=d+b+c,C1E=-12c,|d|=|b|=|c|=a,d·b=0,d·c=b·c=a×a×12=12a2,所以|AC1|=|d+b+c|=d2+b2+c2+2d·b+2d·c+2c·b=5a,|C1E|=12a,C1E·AC1=-12c·(d+b+c)=-12(c·d+c·b+c·c)=-a2,所以點E到直線AC1的距離為C1E2-C1E·AC1|AC1|2=14a2--a25a2=510a.故選A.
9.A [解析] 方法一:如圖①,在圓錐底面上,設直線AB交大圓于點F,E,連接CE,DF,由AB∥CD,知四邊形CDFE為等腰梯形.取AB,CD的中點分別為M,N,連接MN,則MN⊥AB,由BM=CN,BM∥CN,知四邊形BCNM是矩形,因此四邊形ABCD為矩形.過點O作OQ⊥BC于點Q,連接OB,OC,OA,OD,則S四邊形ABCD=2S四邊形BCNM=4S△BOC=4×12OB×OC×sin∠BOC=24sin∠BOC≤24,當且僅當∠BOC=90°,即OB⊥OC時取等號,此時OQ=OB·OCOB2+OC2=3×432+42=125.如圖②,在幾何體中,連接PQ,PO,因為PO⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PO⊥BC,又OQ⊥BC,PO∩OQ=O,PO,OQ?平面POQ,所以BC⊥平面POQ,又BC?平面PBC,所以平面POQ⊥平面PBC.顯然平面POQ∩平面PBC=PQ,在平面POQ內過點O作OR⊥PQ于點R,從而OR⊥平面PBC,即OR的長為點O到平面PBC的距離.在Rt△POQ中,PO=165,PQ=PO2+OQ2=1652+1252=4,所以OR=PO·OQPQ=165×1254=4825,所以點O到平面PBC的距離是4825.故選A.
方法二:由方法一可得四邊形ABCD為矩形,連接OA,OD,則OA=3,OD=4,則矩形ABCD的面積為△AOD面積的4倍,S△AOD=12OA·OD·sin∠AOD=6sin∠AOD,當S△AOD最大時,∠AOD=90°,即AO⊥OD,此時AD=OA2+OD2=5,作OM⊥AD于點M,則OM=OA·ODAD=3×45=125,AM=OA2-OM2=9-14425=95,MD=AD-AM=5-95=165.連接OP,則PO⊥平面ABCD,以O為原點,OM,OP所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則B-125,-95,0,C-125,165,0,P0,0,165,所以BC=(0,5,0),BP=125,95,165,OB=-125,-95,0.設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則n·BC=0,n·BP=0,即5y=0,125x+95y+165z=0,令x=4,則n=(4,0,-3),所以點O到平面PBC的距離d=|OB·n||n|=-485+0+016+0+9=4825.故選A.
10.ABC [解析] 在A中,顯然EF∥平面A1ADD1,點E到平面A1ADD1的距離即為直線EF到平面A1ADD1的距離,點E到平面A1ADD1的距離為2,故A正確.在B中,以D為坐標原點,以DA,DC,DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,則A1(2,0,2),A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),∴AA1=(0,0,2),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1).設平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則AE·n=-x+2y=0,AF·n=-2x+2y+z=0,取y=1,得n=(2,1,2),∴點A1到平面AEF的距離d=|AA1·n||n|=44+1+4=43,故B正確.在C中,點A1到直線AF的距離為|AA1|2-AA1·AF|AF|2AA1·AF|AF|=4-232=423,故C正確.在D中,連接CA,GA,GE,GF,記點C與點G到平面AEF的距離分別為h1,h2,則V三棱錐C-AEF=13·S△AEF·h1=V三棱錐A-CEF=13×1×12×2=13,V三棱錐G-AEF=13·S△AEF·h2=V三棱錐A-GEF=13×2×22×2=23,∴h1≠h2,故D錯誤.故選ABC.
11.AD [解析] 以D1為坐標原點,以D1A1,D1C1,D1D的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示.因為AB=6,所以D1(0,0,0),D(0,0,6),A(6,0,6),E(6,3,0),P(t,6,6)(0

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