高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題6第2講橢圓、雙曲線、拋物線(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考點一橢圓、雙曲線、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(00)的離心率為eq \f(3,5)，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
(2)(2020·全國Ⅰ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq \f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為( )
A.eq \f(7,2) B．3 C.eq \f(5,2) D．2
【拓展訓(xùn)練】1 (1)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
(2)已知橢圓C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦點為F，點A(－2,2)為橢圓C內(nèi)一點，若橢圓C上存在一點P，使得|PA|＋|PF|＝8，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(6＋2eq \r(5)，25] B．[9,25]
C．(6＋2eq \r(5)，20] D．[3,5]
【要點提煉】
考點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．求離心率通常有兩種方法
(1)求出a，c，代入公式e＝eq \f(c,a).
(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．
2．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
【熱點突破】
【典例】2 (1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，且eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(7),4)
(2)(2020·莆田市第一聯(lián)盟體聯(lián)考)已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，M是AB的中點，則點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為( )
A.eq \f(7,2) B．4 C．7 D．8
【拓展訓(xùn)練】2 (1)已知F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，拋物線C的準(zhǔn)線與雙曲線Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則Γ的離心率e等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(21),7) D.eq \f(\r(21),3)
(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M(x0,2eq \r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0>\f(p,2)))是拋物線C上一點，圓M與線段MF相交于點A，且被直線x＝eq \f(p,2)截得的弦長為eq \r(3)|MA|，若eq \f(|MA|,|AF|)＝2，則|AF|等于( )
A.eq \f(3,2) B．1 C．2 D．3
【要點提煉】
考點三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題，經(jīng)常利用設(shè)而不求的方法，解題要點如下：
(1)設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程；
(3)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；
(4)利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；
(5)把題干中的條件轉(zhuǎn)化為含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，進(jìn)而求解即可．
【熱點突破】
【典例】3 (2020·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(00)的直線過F交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線AB的斜率為( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
專題訓(xùn)練
一、單項選擇題
1．(2020·福州模擬)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(2,3)x，則此雙曲線的離心率為( )
A.eq \f(13,4) B.eq \f(\r(13),2)
C.eq \f(\r(13),3) D.eq \f(\r(13),4)
2．(2020·全國Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
3．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M，N)，△AF1B的周長為4eq \r(3)，且直線AM與AN的斜率之積為－eq \f(2,3)，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,3)＋y2＝1
4．設(shè)F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
5．(2020·濰坊模擬)已知點P為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，直線PF1與C的一條漸近線垂直，垂足為H，若|PF1|＝4|HF1|，則該雙曲線的離心率為( )
A.eq \f(\r(15),3) B.eq \f(\r(21),3) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
二、多項選擇題
6．(2020·新高考全國Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq \r(n)
C．若mn0，則C是兩條直線
7．已知雙曲線C過點(3，eq \r(2))且漸近線為y＝±eq \f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是( )
A．C的方程為eq \f(x2,3)－y2＝1
B．C的離心率為eq \r(3)
C．曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個焦點
D．直線x－eq \r(2)y－1＝0與C有兩個公共點
8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為eq \r(3)且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點D.若|AF|＝8，則下列結(jié)論正確的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
三、填空題
9．(2019·全國Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．
10．(2020·全國Ⅰ)已知F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．
11．設(shè)雙曲線mx2＋ny2＝1的一個焦點與拋物線y＝eq \f(1,8)x2的焦點相同，離心率為2，則拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為________．
12.如圖，拋物線C1：y2＝2px和圓C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2＝eq \f(p2,4)，其中p>0，直線l經(jīng)過C1的焦點，依次交C1，C2于A，D，B，C四點，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的值為________．
四、解答題
13．(2020·全國Ⅱ)已知橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的離心率；
(2)設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|＝5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．
14．已知點F為拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且到原點的距離為2eq \r(3).
(1)求拋物線E的方程；
(2)已知點G(－1,0)，延長AF交拋物線于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切．
第2講橢圓、雙曲線、拋物線
【要點提煉】
考點一橢圓、雙曲線、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(00)的離心率為eq \f(3,5)，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
【答案】 D
【解析】橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，可得2a＋2c＝16，
橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的離心率為eq \f(3,5)，可得eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，解得a＝5，c＝3，則b＝4，所以橢圓C的方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)(2020·全國Ⅰ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq \f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為( )
A.eq \f(7,2) B．3 C.eq \f(5,2) D．2
【答案】 B
【解析】方法一由題意知a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，F(xiàn)1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，
如圖，因為|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
所以點P在以F1F2為直徑的圓上，故PF1⊥PF2，
則|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由雙曲線的定義知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面積為eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝3.
方法二由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且|F1F2|＝2eq \r(1＋3)＝4.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)－\f(y\\al(2,0),3)＝1，,\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))＝2，))解得|y0|＝eq \f(3,2).
所以△PF1F2的面積為
eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)＝3.
易錯提醒求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時的常見錯誤
雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置．
【拓展訓(xùn)練】1 (1)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】 C
【解析】方法一因為以MF為直徑的圓過點(0,2)，所以點M在第一象限．
由|MF|＝xM＋eq \f(p,2)＝5，得xM＝5－eq \f(p,2)，
即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))))).
從而以MF為直徑的圓的圓心N的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(1,2)\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))))).
因為點N的橫坐標(biāo)恰好等于圓的半徑，
所以圓與y軸相切于點(0,2)，
從而2＝eq \f(1,2)eq \r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2))))，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，
所以拋物線方程為y2＝4x或y2＝16x.
方法二由已知得拋物線的焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
設(shè)點A(0,2)，點M(x0，y0)，
則eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0－2)).
由已知，得eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝0，即yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝0，
解得y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).
由|MF|＝5，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5.
又因為p>0，解得p＝2或p＝8，
所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.
(2)已知橢圓C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦點為F，點A(－2,2)為橢圓C內(nèi)一點，若橢圓C上存在一點P，使得|PA|＋|PF|＝8，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(6＋2eq \r(5)，25] B．[9,25]
C．(6＋2eq \r(5)，20] D．[3,5]
【答案】 A
【解析】橢圓C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦點F的坐標(biāo)為(2,0)．設(shè)左焦點為F′，則F′(－2,0)．
由橢圓的定義可得2eq \r(m)＝|PF|＋|PF′|，
即|PF′|＝2eq \r(m)－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2eq \r(m)＝8－2eq \r(m).
由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2eq \r(m)≤2，
解得3≤eq \r(m)≤5，所以9≤m≤25.①
又點A在橢圓內(nèi)，所以eq \f(4,m)＋eq \f(4,m－4)4)，
所以8m－164)，
解得m6＋2eq \r(5).②
由①②得6＋2eq \r(5)0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
【熱點突破】
【典例】2 (1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，且eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(7),4)
【答案】 C
【解析】 ∵eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，
設(shè)|BF2|＝x，則|AF2|＝2x，
∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，
∵eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，∴AF1⊥AF2，
在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，
解得x＝eq \f(a,3)，∴|AF2|＝eq \f(2a,3)，|AF1|＝eq \f(4a,3)，
在Rt△AF1F2中，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2＝(2c)2，
整理得eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,9)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
(2)(2020·莆田市第一聯(lián)盟體聯(lián)考)已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，M是AB的中點，則點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為( )
A.eq \f(7,2) B．4 C．7 D．8
【答案】 B
【解析】由題意可知直線y＝x－1過拋物線y2＝4x的焦點(1,0)，如圖，AA′，BB′，MM′都和準(zhǔn)線垂直，并且垂足分別是A′，B′，M′，
由圖象可知
|MM′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)，
根據(jù)拋物線的定義可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，
∴|MM′|＝eq \f(1,2)|AB|，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x，))
得x2－6x＋1＝0，
設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，
x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴|MM′|＝4.
二級結(jié)論拋物線的有關(guān)性質(zhì)：已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α為直線l的傾斜角)．
(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
【拓展訓(xùn)練】2 (1)已知F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，拋物線C的準(zhǔn)線與雙曲線Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則Γ的離心率e等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(21),7) D.eq \f(\r(21),3)
【答案】 D
【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(p,2)，
聯(lián)立拋物線的準(zhǔn)線方程與雙曲線的漸近線方程得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(p,2)，,y＝±\f(b,a)x，))解得y＝±eq \f(pb,2a)，可得|AB|＝eq \f(pb,a)，
由△ABF為等邊三角形，可得p＝eq \f(\r(3),2)·eq \f(pb,a)，
即有eq \f(b,a)＝eq \f(2,\r(3))，
則e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(4,3))＝eq \f(\r(21),3).
(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M(x0,2eq \r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0>\f(p,2)))是拋物線C上一點，圓M與線段MF相交于點A，且被直線x＝eq \f(p,2)截得的弦長為eq \r(3)|MA|，若eq \f(|MA|,|AF|)＝2，則|AF|等于( )
A.eq \f(3,2) B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】如圖所示，由題意知，|MF|＝x0＋eq \f(p,2).
∵圓M與線段MF相交于點A，且被直線x＝eq \f(p,2)截得的弦長為eq \r(3)|MA|，
∴|MA|＝2|DM|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2))).
∵eq \f(|MA|,|AF|)＝2，∴|MF|＝eq \f(3,2)|MA|，
∴x0＝p.
又∵點M(x0,2eq \r(2))在拋物線上，∴2p2＝8，
又∵p>0，∴p＝2.
∴|MA|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))＝2，∴|AF|＝1.
【要點提煉】
考點三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題，經(jīng)常利用設(shè)而不求的方法，解題要點如下：
(1)設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程；
(3)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；
(4)利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；
(5)把題干中的條件轉(zhuǎn)化為含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，進(jìn)而求解即可．
【熱點突破】
【典例】3 (2020·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(00.
由已知可得B(5,0)，直線BP的方程為y＝－eq \f(1,yQ)(x－5)，
所以|BP|＝y(tǒng)Peq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因為|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.
將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直線BP的方程得yQ＝2或8，
所以點P，Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．
所以|P1Q1|＝eq \r(10)，直線P1Q1的方程為y＝eq \f(1,3)x，
點A(－5,0)到直線P1Q1的距離為eq \f(\r(10),2)，
故△AP1Q1的面積為eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2)；
|P2Q2|＝eq \r(130)，直線P2Q2的方程為y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，
點A到直線P2Q2的距離為eq \f(\r(130),26)，
故△AP2Q2的面積為eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
綜上，△APQ的面積為eq \f(5,2).
規(guī)律方法解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的注意點
(1)注意使用圓錐曲線的定義．
(2)引入?yún)?shù)，注意構(gòu)建直線與圓錐曲線的方程組．
(3)注意用好圓錐曲線的幾何性質(zhì)．
(4)注意幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化．
【拓展訓(xùn)練】3 (1)(2019·全國Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
【答案】 B
【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點)，則sin θ＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝eq \f(?2m?2＋?3m?2－?3m?2,2×2m·3m)＝eq \f(1,3)，因為cs 2θ＝1－2sin2θ，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)設(shè)F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為k(k>0)的直線過F交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線AB的斜率為( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
【答案】 D
【解析】假設(shè)A在第一象限，如圖，
過A，B分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為D，E，
過A作EB的垂線，垂足為C，則四邊形ADEC為矩形，
由拋物線定義可知|AD|＝|AF|，
|BE|＝|BF|，
又∵|FA|＝3|FB|，
∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B為CE 的三等分點，
設(shè)|BF|＝m，則|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，
即|AC|＝eq \r(|AB|2－|BC|2)＝eq \r(16m2－4m2)＝2eq \r(3)m，
則tan∠ABC＝eq \f(|AC|,|BC|)＝eq \f(2\r(3)m,2m)＝eq \r(3)，
即直線AB的斜率k＝eq \r(3).
專題訓(xùn)練
一、單項選擇題
1．(2020·福州模擬)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(2,3)x，則此雙曲線的離心率為( )
A.eq \f(13,4) B.eq \f(\r(13),2)
C.eq \f(\r(13),3) D.eq \f(\r(13),4)
【答案】 C
【解析】因為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(2,3)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(2,3)，所以雙曲線的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(13),3).
2．(2020·全國Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】 C
【解析】設(shè)A(x，y)，由拋物線的定義知，點A到準(zhǔn)線的距離為12，即x＋eq \f(p,2)＝12.
又因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，即x＝9，
所以9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.
3．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M，N)，△AF1B的周長為4eq \r(3)，且直線AM與AN的斜率之積為－eq \f(2,3)，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,3)＋y2＝1
【答案】 C
【解析】由△AF1B的周長為4eq \r(3)，
可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(3)，
解得a＝eq \r(3)，則Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，0))，N(eq \r(3)，0)．
設(shè)點A(x0，y0)(x0≠±eq \r(3))，
由直線AM與AN的斜率之積為－eq \f(2,3)，
可得eq \f(y0,x0＋\r(3))·eq \f(y0,x0－\r(3))＝－eq \f(2,3)，
即yeq \\al(2,0)＝－eq \f(2,3)(xeq \\al(2,0)－3)，①
又eq \f(x\\al(2,0),3)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),3)))，②
由①②解得b2＝2.
所以C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
4．設(shè)F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
【答案】 A
【解析】如圖，由題意，知以O(shè)F為直徑的圓的方程為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))2＋y2＝eq \f(c2,4)，①
將x2＋y2＝a2記為②式，
①－②得x＝eq \f(a2,c)，則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的公共弦所在直線的方程為
x＝eq \f(a2,c)，
所以|PQ|＝2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2).
由|PQ|＝|OF|，得2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2)＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，
即e4－4e2＋4＝0，解得e＝eq \r(2).
5．(2020·濰坊模擬)已知點P為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，直線PF1與C的一條漸近線垂直，垂足為H，若|PF1|＝4|HF1|，則該雙曲線的離心率為( )
A.eq \f(\r(15),3) B.eq \f(\r(21),3) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
【答案】 C
【解析】如圖，取PF1的中點M，連接MF2.由條件可知
|HF1|＝eq \f(1,4)|PF1|＝eq \f(1,2)|MF1|，
∵O是F1F2的中點，
∴OH∥MF2，
又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，
∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|＝2a＋2c，
∴|HF1|＝eq \f(a＋c,2)，
直線PF1的方程是y＝eq \f(a,b)(x＋c)，
即ax－by＋ac＝0，
原點到直線PF1的距離|OH|＝eq \f(|ac|,\r(a2＋b2))＝a，
∴在△OHF1中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)))2＝c2，
整理為3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，
解得e＝eq \f(5,3)或e＝－1(舍)．
二、多項選擇題
6．(2020·新高考全國Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq \r(n)
C．若mn0，則C是兩條直線
【答案】 ACD
【解析】對于A，當(dāng)m>n>0時，有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程化為eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確．
對于B，當(dāng)m＝n>0時，方程化為x2＋y2＝eq \f(1,n)，表示半徑為eq \r(\f(1,n))的圓，故B錯誤．
對于C，當(dāng)m>0，n0時，方程化為y＝±eq \r(\f(1,n))，表示兩條平行于x軸的直線，故D正確．
7．已知雙曲線C過點(3，eq \r(2))且漸近線為y＝±eq \f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是( )
A．C的方程為eq \f(x2,3)－y2＝1
B．C的離心率為eq \r(3)
C．曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個焦點
D．直線x－eq \r(2)y－1＝0與C有兩個公共點
【答案】 AC
【解析】因為漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),3)x，所以可設(shè)雙曲線方程為eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝λ，代入點(3，eq \r(2))，得λ＝eq \f(1,3)，所以雙曲線方程為eq \f(x2,3)－y2＝1，選項A正確；該雙曲線的離心率為eq \f(2\r(3),3)，選項B不正確；雙曲線的焦點為(±2,0)，曲線y＝ex－2－1經(jīng)過雙曲線的焦點(2,0)，選項C正確；把x＝eq \r(2)y＋1代入雙曲線方程，得y2－2eq \r(2)y＋2＝0，解得y＝eq \r(2)，故直線x－eq \r(2)y－1＝0與曲線C只有一個公共點，選項D不正確．
8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為eq \r(3)且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點D.若|AF|＝8，則下列結(jié)論正確的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
【答案】 ABC
【解析】如圖所示，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為E，M，連接EF.拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點P，則|PF|＝p，由于直線l的斜率為eq \r(3)，則其傾斜角為60°.又AE∥x軸，∴∠EAF＝60°，由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，則△AEF為等邊三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，則∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正確；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F為線段AD的中點，則eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故B正確；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(拋物線定義)，故C正確；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D錯誤．
三、填空題
9．(2019·全國Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．
【答案】 (3，eq \r(15))
【解析】不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，根據(jù)題意可知c＝eq \r(36－20)＝4.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
設(shè)M(x，y)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝?x＋4?2＋y2＝64，,x>0，,y>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))
所以M的坐標(biāo)為(3，eq \r(15))．
10．(2020·全國Ⅰ)已知F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．
【答案】 2
【解析】如圖，A(a,0)．
由BF⊥x軸且AB的斜率為3，
知點B在第一象限，且Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
則kAB＝eq \f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
11．設(shè)雙曲線mx2＋ny2＝1的一個焦點與拋物線y＝eq \f(1,8)x2的焦點相同，離心率為2，則拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為________．
【答案】 eq \r(3)
【解析】 ∵拋物線x2＝8y的焦點為(0,2)，
∴mx2＋ny2＝1的一個焦點為(0,2)，
∴焦點在y軸上，
∴a2＝eq \f(1,n)，b2＝－eq \f(1,m)，c＝2.
根據(jù)雙曲線三個參數(shù)的關(guān)系得到4＝a2＋b2＝eq \f(1,n)－eq \f(1,m)，
又離心率為2，即eq \f(4,\f(1,n))＝4，
解得n＝1，m＝－eq \f(1,3)，
∴此雙曲線的方程為y2－eq \f(x2,3)＝1，
則雙曲線的一條漸近線方程為x－eq \r(3)y＝0，
則拋物線的焦點(0,2)到雙曲線的一條漸近線的距離為
d＝eq \f(|2\r(3)|,\r(1＋3))＝eq \r(3).
12.如圖，拋物線C1：y2＝2px和圓C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2＝eq \f(p2,4)，其中p>0，直線l經(jīng)過C1的焦點，依次交C1，C2于A，D，B，C四點，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的值為________．
【答案】 eq \f(p2,4)
【解析】易知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝|AB|·|CD|，圓C2的圓心即為拋物線C1的焦點F，當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝eq \f(p,2)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，\f(p,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－\f(p,2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－p))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(p,2)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(p,2)·eq \f(p,2)＝eq \f(p2,4)；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋eq \f(p,2)－eq \f(p,2)＝x1，同理|CD|＝x2，設(shè)l的方程為y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))可得k2x2－(pk2＋2p)x＋eq \f(k2p2,4)＝0，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝eq \f(p2,4).綜上，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(p2,4).
四、解答題
13．(2020·全國Ⅱ)已知橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的離心率；
(2)設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|＝5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】解 (1)由已知可設(shè)C2的方程為y2＝4cx，
其中c＝eq \r(a2－b2).
不妨設(shè)A，C在第一象限，
由題設(shè)得A，B的縱坐標(biāo)分別為eq \f(b2,a)，－eq \f(b2,a)；
C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，
故|AB|＝eq \f(2b2,a)，|CD|＝4c.
由|CD|＝eq \f(4,3)|AB|得4c＝eq \f(8b2,3a)，
即3×eq \f(c,a)＝2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2，
解得eq \f(c,a)＝－2(舍去)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
所以C1的離心率為eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，故C1：eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.
設(shè)M(x0，y0)，則eq \f(x\\al(2,0),4c2)＋eq \f(y\\al(2,0),3c2)＝1，yeq \\al(2,0)＝4cx0，
故eq \f(x\\al(2,0),4c2)＋eq \f(4x0,3c)＝1.①
由于C2的準(zhǔn)線為x＝－c，
所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，
代入①得eq \f(?5－c?2,4c2)＋eq \f(4?5－c?,3c)＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.
所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1，
C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x.
14．已知點F為拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且到原點的距離為2eq \r(3).
(1)求拋物線E的方程；
(2)已知點G(－1,0)，延長AF交拋物線于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切．
【解析】(1)解由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝4p，,\r(4＋m2)＝2\r(3)，))解得p＝2，
所以拋物線E的方程為y2＝4x.
(2)證明設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.
因為點A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上，
所以m＝±2eq \r(2)，由拋物線的對稱性，不妨取A(2,2eq \r(2))．
由A(2,2eq \r(2))，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y＝2eq \r(2)(x－1)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)?x－1?，,y2＝4x，))得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝eq \f(1,2)，從而Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2))).
所以直線GB的方程為2eq \r(2)x＋3y＋2eq \r(2)＝0，
易知直線GA的方程為2eq \r(2)x－3y＋2eq \r(2)＝0，
從而r＝eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝eq \f(4\r(2),\r(17)).
因為點F到直線GB的距離d＝eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝eq \f(4\r(2),\r(17))＝r，所以以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切．

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