
1.向量在平面幾何中的應用
平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.
設a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ為實數(shù).
(1)證明線段平行或點共線問題,包括相似問題,常用共線向量定理:a∥b ?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.(2)證明垂直問題,常用數(shù)量積的運算性質:a⊥b ?a·b=0?x1x2+y1y2=0.(3)求夾角問題,利用夾角公式:
2.平面向量與其他數(shù)學知識的交匯
平面向量作為一種運算工具,經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結合.當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時,由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數(shù)的關系式.在此基礎上,可以求解有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉化為代數(shù)運算,其轉化途徑主要有兩種:一是利用平面向量平行或垂直的充要條件;二是利用向量數(shù)量積的公式和性質.
題組一 走出誤區(qū)1.判斷下列命題是否正確 (正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四邊形
答案:(1)√ (2)× (3)×
B.梯形D.平行四邊形
ABCD 為(A.菱形C.矩形答案:D
3.(教材改編題)已知一個物體在大小為 6 N 的力 F 的作用下產(chǎn)生的位移 s 的大小為 100 m,且 F 與 s 的夾角為 60°,則力 F 所做的功 W=________J.
考點一 向量與平面幾何
解析:如圖 5-4-2,以 A 為坐標原點,分別以 AB,AC所在直線為 x 軸、y 軸建立平面直角坐標系,則 B(4,0),
【題后反思】平面幾何問題的向量解法
(1)坐標法:把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校唾x予了有關點與向量具體的坐標,這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算,從而使問題得到解決.
(2)基向量法:適當選取一組基底,構造向量之間的聯(lián)系,利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解.
考點二 向量在解析幾何中的應用
【題后反思】向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,推導出曲線上點的坐標之間的關系,從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用:利用 a⊥b?a·b=0(a,b 為非零向量),a∥b?a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問題,特別地,向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題常常是比較優(yōu)越的方法.
A.(8,24)C.[5,21]
B.[8,24]D.(5,21)
考點三 平面向量在物理中的應用
[例 3](1)一物體在力F1=(3,-4),F(xiàn)2=(2,-5),F(xiàn)3=(3,1)的共同作用下從點 A(1,1)移動到點 B(0,5).在這個過程中三個力的合力所做的功等于________.
解析:因為 F1=(3,-4),F(xiàn)2=(2,-5),F(xiàn)3=(3,1),
即三個力的合力所做的功為-40.
②求 F2 與 F3 的夾角.
【題后反思】向量在物理中的應用
(1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量幾何
化,借助于向量求和的平行四邊形法則求解.
(2)用向量方法解決物理問題的步驟
①把物理問題中的相關量用向量表示;
②轉化為向量問題的模型,通過向量運算使問題解決;③結果還原為物理問題.
一條寬為 km 的河,水流速度為 2 km/h,在河兩岸有兩個碼頭 A,B,已知 AB= km,船在水中最大航速為 4 km/h.問怎樣安排航行速度可使該船從 A 碼頭最快到達B 碼頭?用時多少?
同理 PA ⊥BC,PC⊥AB,所以 P 為△ABC 的垂心.
的基本性質可知 AP 平分∠BAC,所以點 P的
軌跡一定通過△ABC 的內心.
(4)已知 A,B,C 是平面上不共線的三點,若動點 P
動點 P 的軌跡一定通過△ABC 的(
【反思感悟】三角形各心的概念介紹
1.若 P 為△ABC 所在平面內一點.
答案:垂心;重心;外心
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