2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，則，
所以，
又，
所以.
故選：C
2．已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】由復數(shù)的除法運算，代入計算，即可求解.
【詳解】，的虛部是1.
故選：A.
3．二項式的展開式中常數(shù)項是（ ）
A．1B．4C．6D．0
【答案】C
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)為，即可求出對應(yīng)展開式的常數(shù)項.
【詳解】二項式展開式的通項公式為，
令，得，所以展開式的常數(shù)項為.
故選：.
4．設(shè)，是非零向量，則“或”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若，則，所以，
若，則，所以，
故由“或”推得出“”，即充分性成立；
若，則，所以，
所以由“”推不出“或”，故必要性不成立；
所以“或”是“”的充分不必要條件.
故選：A
5．已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦型函數(shù)的值域與周期性可得解.
【詳解】由，
函數(shù)值域為，
又對任意的實數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，
則，
解得，
故選：D.
6．已知標準橢圓上P，Q兩點的切線方程分別為，，則直線PQ的斜率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】設(shè)橢圓方程為，分別聯(lián)立直線方程，根據(jù)判別式聯(lián)立求解可得，然后求出坐標可得斜率.
【詳解】設(shè)橢圓方程為，，
聯(lián)立消去得①，
則②，
聯(lián)立消去得③，
則④，
聯(lián)立②④解得，
代入①得，解得，所以，
代入③得，解得，所以，
所以.
故選：D
7．若一圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長為，利用側(cè)面展開圖條件建立與的關(guān)系式，作出圓錐軸截面圖，證明并求出線面所成角的余弦值即可.
【詳解】
作出圓錐的軸截面圖,設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長為，依題意可得，，
即，因頂點在底面的射影即底面圓圓心,故母線與底面所成的角即.
在中，.
故選：C.
8．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與雙曲線的左支交于兩點，若，則雙曲線的焦距為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用雙曲線定義、已知條件求出、，設(shè)，由余弦定理、求出可得答案.
【詳解】如圖，由于，
有4，可得，
又由，可得，設(shè)，
在中，由余弦定理有.
在中，由余弦定理有.
又由，有，
可得，解得，所以雙曲線的焦距為.
故選：B.
9．函數(shù)，若對任意，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可求解．
【詳解】因為對任意，都有成立，
所以是上的減函數(shù)，
則，解得．
故選：A．
10．已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調(diào)遞減的有序數(shù)對的個數(shù)是（ ）
A．36B．42C．72D．84
【答案】C
【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.
【詳解】若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，
則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；
若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；
若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；
若、和在上單調(diào)遞減，
則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；
綜上所述：共有個.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于恰當?shù)倪M行分類，做到不重不漏，由此即可順利得解.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．已知是圓的直徑，，是圓上兩點，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】設(shè)，分析可知點為線段靠近的三等分點，，再結(jié)合數(shù)量積的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：圓的半徑為，

設(shè)的中點為，
因為，，
則，，，
設(shè)，則，即，
可知點為線段靠近的三等分點，
則，，
設(shè)向量與的夾角為，
可得，
且，所以的最小值為.
故答案為：.
12．與家庭電路不同，從發(fā)電廠到用戶端的高壓電路只有三根火線而沒有零線．實際上，發(fā)電廠通常采用三相正弦交流進行發(fā)電，三根火線的瞬時電流表達式分別為，．假設(shè)三根火線的電流分別進入用戶端并通過一根零線流出，則零線瞬時電流 ．
【答案】0
【分析】利用給定計算公式結(jié)合兩角和差的正弦公式求解即可.
【詳解】由題意得，
原式，
，
，
.
故答案為：0
13．的展開式中的系數(shù)是 . （用數(shù)字作答）
【答案】40
【分析】利用通項中的指數(shù)確定，然后可得.
【詳解】因為展開式的通項，
所以含的項為第3項，即，
所以的系數(shù)是.
故答案為：40
14．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則
【答案】
【分析】由已知可得數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求出，從而可求出，再利用可求得答案.
【詳解】因為，
所以數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，所以，
當時，
，
因為不滿足上式，
所以.
故答案為：
15．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都有且只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數(shù)，是的導數(shù).若函數(shù)圖象的對稱中心點為，且不等式對任意恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先求得，，而原不等式等價于，可以利用不等式放縮即可求解.
【詳解】，
因為圖象的對稱中心點為，所以，所以，
由，所以，
原不等式為，
因為，所以，
設(shè)，則，
當時，，當時，，
所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
所以，即，
因為，當且僅當，即時等號成立，
所以，所以其最小值為，故.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到恒成立，結(jié)合切線放縮不等式即可順利得解.
四、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（13分）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.
【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
因為，所以，
從而，
又因為，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
17．（13分）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求解面面角即可.
【詳解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，
則，
由是的中點，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
18．（14分）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)所有學生對活動方案是否支持相互獨立．
（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與 的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計概率，即得結(jié)果；
（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結(jié)果；
（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計概率，即得大小.
【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;
（Ⅲ）
【點睛】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
19．（15分）已知函數(shù)的圖象是曲線C，直線與曲線C相切于點.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值為，最小值為.
【分析】（1）利用切點在直線和曲線上，結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出，再利用導數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.
【詳解】（1）因為切點為，
所以，解得.
由，得，
因為直線與曲線C相切于點，
所以，解得，
所以，
由，得.
所以函數(shù)的解析式為：.
（2）由（1）知，，
所以，.
可得，
令，則，解得（舍），.
當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當時，取的極小值，極小值為，
又因為，
所以當時，的最大值為，最小值為.
20．（15分）已知橢圓的左頂點為，右頂點為，橢圓上不同于點的一點滿足.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線交橢圓于兩點，直線交于點，證明：點在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由左、右頂點為，先求，再設(shè)點的坐標，利用斜率公式表示條件，結(jié)合點在橢圓上求，由此可得橢圓方程.
（2）解法一（非對稱韋達）：設(shè)點的坐標及直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，化簡寫出韋達定理，然后表示出直線、的方程相除結(jié)合韋達定理化簡即可；解法二（齊次化）：設(shè)不過點的直線的方程，由題意求出的值，然后表示出直線、的斜率，設(shè)點，結(jié)合橢圓方程化簡分析即可.
【詳解】（1）如圖所示：

根據(jù)題意，，設(shè)點的坐標為，由于點在橢圓上，
所以，得，
則，
解得，所以橢圓的標準方程為.
（2）解法一（非對稱韋達）：
由題意如圖所示：

設(shè)點，可設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，得，
由根與系數(shù)的關(guān)系，，
直線的方程：，①
直線的方程：，②
①②得，
因為，
所以，解得，
因此，點在定直線上.
解法二（齊次化）：
由題意如圖所示：

設(shè)不過點的直線的方程為：，
由于直線過，所以.
設(shè)，點.
橢圓的方程轉(zhuǎn)化為，，代入直線的方程得，
，即，
即，由根與系數(shù)的關(guān)系，，
又由題意可得：，所以兩式相除得：，
即，解得，
所以點在定直線上.
21．（15分）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足 使得．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)證明見詳解
【分析】（1）先求，根據(jù)題意分析求解；
（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運算求解；
（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.
【詳解】（1）由題意可知：，
當時，則，故；
當時，則，故；
當時，則故；
當時，則，故；
綜上所述：，，，.
（2）由題意可知：，且，
因為，且，則對任意恒成立，
所以，
又因為，則，即，
可得，
反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，
當時，則；當時，則，
則，
又因為，則，
假設(shè)不成立，故，
即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.
（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，
（?。┤?，則可取，滿足 使得；
（ⅱ）若，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得；
（ⅲ）若，
定義，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
即滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得.
綜上所述：存在使得．
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
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