數(shù)學(xué)
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
因為解得或.
所以，
所以.
故選：B.
2．設(shè)函數(shù)（其中為自然常數(shù)），則“”是“在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】
函數(shù)的定義域為
當(dāng)時，由，得，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以“”是“在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，
故選：A
3．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
因為，所以，
．
故選：A．
4．若函數(shù)則（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【詳解】
因為，所以.
故選：C.
5．十六?十七世紀(jì)之交，隨著天文?航海?工程?貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當(dāng)務(wù)之急.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運算而發(fā)明了對數(shù)，后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即（且），已知，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】
因為，所以，
又因為，所以，
故選：B.
6．已知函數(shù)，則（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】A
【詳解】
解：因為，
所以，解得．
故選：A.
7．函數(shù)的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
解：因為，所以，
當(dāng)時，當(dāng)或時，
即在上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減，結(jié)合圖象可知只有B符合題意.
故選：B
8．已知的部分圖象如圖所示，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【詳解】
由圖象可得，
所以，解得，
所以，
因為，所以，
所以，則.
故選：C
9．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則時，，
所以當(dāng)時，，時，，故當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取極小值，極小值為，作出函數(shù)的圖象如圖：
因為函數(shù)有兩個零點，所以函數(shù)與有兩個交點，所以當(dāng)時
函數(shù)與有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
10．已知定義在上的函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，若對于任意不等實數(shù)，，不等式恒成立，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
因為是偶函數(shù)，所以 圖像關(guān)于直線對稱，
又因為當(dāng)時，恒成立
即當(dāng)時，；時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
解得.
故選：D.
第Ⅱ卷
二、填空題：本題共5個小題，每小題5分，共25分．
11．函數(shù)的圖象恒過定點_____________.
【答案】（1,3）
【詳解】
令，可得，
所以，即圖象恒過定點（1,3）.
故答案為：（1,3）
12．已知函數(shù)，若在區(qū)間上恰有2個零點，則的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】
令，得或.
當(dāng)時，，故的取值只能是和，所以，且，解得.
故答案為：.
13．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【詳解】
解：依題意可得在上恒成立，
令，，則，
令，，即在定義域上單調(diào)遞增，
又，，所以存在使得，即，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，可得，
故實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
14．函數(shù)（其中，為自然常數(shù)）
①，使得直線為曲線的一條切線；
②，函數(shù)有且僅有一個零點；
③當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
④當(dāng)時，，使得直線與曲線沒有交點.
則上述結(jié)論正確的是________.（寫出所有正確的結(jié)論的序號）
【答案】①③④
【詳解】
解：因為，所以，，
對于①，若為曲線的一條切線，則切點為，所以，顯然符合要求，故①正確；
當(dāng)時顯然不滿足②，故②錯誤；
當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
故時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即③正確，
又，，又當(dāng)時，當(dāng)時，
此時，
則當(dāng)時，當(dāng)，使得直線與曲線沒有交點，
當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
又，，又當(dāng)時，當(dāng)時，
此時，
則當(dāng)時，當(dāng)，使得直線與曲線沒有交點，故④正確；
故答案為：①③④
15．已知集合，，，用表示集合中元素的個數(shù).①若，則___________；②若(，為常數(shù))，則___________.
【答案】 6 ．
【詳解】
①，則，6；
②，，(，為常數(shù))，設(shè)
則（），
，，
易知的最小值是3，最大值是，且上的每一個整數(shù)都能取到，
所以中含有個元素，．
故答案為：6；．
三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．已知集合：；集合（m為常數(shù)）．
(1)定義且，當(dāng)時，求；
(2)設(shè)命題，命題，若p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：因為，若，即時，即，解得；若，則，無解，所以的解集為．
故．由可得 即，解得，
故，
則．
(2)
由，即，
解得．
因為p是q成立的必要不充分條件，所以，所以或，
解得，
故m的取值范圍為．
17．已知，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
因為，，故，故
(2)
18．已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在的值域
(2)若關(guān)于x的方程有解，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而對稱軸，開口向上，∴當(dāng)時，當(dāng)時，
∴的值域是.
(2)
解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，則，
∴.
19．已知函數(shù)＝.
(1)求函數(shù)在點P（1，）處的切線方程；
(2)求函數(shù)的極值.
【答案】(1)(2)極大值18，極小值
【解析】(1)
＝，
所以k＝＝8，又因為＝2，所以.
(2)
＝＝（3x-1）（x+3），
令＝0，得x＝或x＝-3，
與隨x的變化情況如下表：
所以x＝時，取得極大值，且極大值為，
當(dāng)x＝時，取得極小值，且極小值為.
20．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的是小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)最大值為，最小值為
【解析】(1)
解：
，
所以，
令，
則，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)
解：因為，所以，
所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
21．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍：
(2)當(dāng)時，證明：在區(qū)間上有且只有兩個零點.
【解析】(1)
，
由題意得：在上恒成立，即在上恒成立，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，
所以
(2)
當(dāng)時，.
設(shè)，則
令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
又，，
故存在，使得，
當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減；
又，，，
所以在和上各有一個零點，
從而在上有且僅有兩個零點.
（-∞，-3）
-3
（-3，）
（，+∞）
+
0
-
0
+
↗
極大值
↘
極小值
↗

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