考生注意：
1．考試時(shí)間120分鐘
2．全卷共三道大題，總分120分
3．使用答題卡的考生，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡的指定位置
一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分)
1. 實(shí)數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了相反數(shù)的判斷，根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．
【詳解】的相反數(shù)是5．
故選：A．
2. 下列美術(shù)字中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心對(duì)稱圖形的定義：旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，根據(jù)定義即可判斷出答案．
【詳解】解：選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，熟記兩種圖形的特點(diǎn)并準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．
3. 下列計(jì)算正確是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了積的乘方、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、除，根據(jù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析，即可作答．
【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D
4. 將一個(gè)含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．
詳解】解：如圖所示，
由題意得，，，
∴，
故選：B．
5. 如圖，若幾何體是由5個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體組合而成的，則該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9·
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，根據(jù)從左面看得到的圖形是左視圖，從上面看的到的視圖是俯視圖，再根據(jù)面積的和，可得答案．
【詳解】左視圖：
俯視圖：
∴該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是：
故選：B
6. 如果關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. 且B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是負(fù)數(shù)得到，并結(jié)合分式方程的解滿足最簡(jiǎn)公分母不為，求出的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是負(fù)數(shù)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故選：．
7. 六月份，在“陽(yáng)光大課間”活動(dòng)中，某校設(shè)計(jì)了“籃球、足球、排球、羽毛球”四種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，且每名學(xué)生在一個(gè)大課間只能選擇參加一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，則甲、乙兩名學(xué)生在一個(gè)大課間參加同種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖求解即可．
【詳解】解：分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，
列樹(shù)狀圖如下：
由樹(shù)狀圖可知，共有種等可能情況，其中甲、乙兩名學(xué)生在一個(gè)大課間參加同種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的情況有種，
即甲、乙兩名學(xué)生在一個(gè)大課間參加同種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率是，
故選：C．
8. 校團(tuán)委開(kāi)展以“我愛(ài)讀書(shū)”為主題的演講比賽活動(dòng)，為獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，計(jì)劃拿出200元錢全部用于購(gòu)買單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購(gòu)買)作為獎(jiǎng)品，則購(gòu)買方案有（ ）
A. 5種B. 4種C. 3種D. 2種
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，設(shè)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個(gè)，根據(jù)題意列出方程，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即可求解．
【詳解】解：設(shè)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個(gè)，
依題意，
∴
∵，為正整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴購(gòu)買方案有4種，
故選：B．
9. 如圖，在等腰中，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查動(dòng)態(tài)問(wèn)題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)與重合時(shí)，及當(dāng)時(shí)圖象的走勢(shì)，和當(dāng)時(shí)圖象的走勢(shì)即可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)與重合時(shí)，設(shè)，由題可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴圖象為開(kāi)口向上的拋物線的一部分，
當(dāng)在下方時(shí)，設(shè)，由題可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴圖象為開(kāi)口向下的拋物線的一部分，
綜上所述：A正確，
故選：A．
10. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。?br>④關(guān)于的一元二次方程的另一個(gè)根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】解：由圖可得：，對(duì)稱軸，
，
，①錯(cuò)誤；
由圖得，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將代入可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，且，
對(duì)稱軸，
該圖象中，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關(guān)于一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個(gè)．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點(diǎn)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
二、填空題(每小題3分，滿分21分)
11. 共青團(tuán)中央發(fā)布數(shù)據(jù)顯示：截至2023年12月底，全國(guó)共有共青團(tuán)員萬(wàn)名．將萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：萬(wàn)，
故答案為：
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸正半軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在第一象限交于點(diǎn)H，畫(huà)射線，若，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H在第一象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得答案．
【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H在第一象限角平分線上；點(diǎn)H橫縱坐標(biāo)相等且為正數(shù)；
，
解得：，
故答案為：．
13. 在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
解得且，
故答案為：且．
14. 若圓錐的底面半徑是1cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為_(kāi)_____cm．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可得母線長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，
根據(jù)題意得，
解得：．
即圓錐的母線長(zhǎng)為，
∴圓錐的高cm，
故答案是：．
15. 如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)，在軸上，若點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)的縱坐標(biāo)相同以及點(diǎn)在反比例函數(shù)上得到的坐標(biāo)，進(jìn)而用代數(shù)式表達(dá)的長(zhǎng)度，然后根據(jù)列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標(biāo)相同
的縱坐標(biāo)是
在反比例函數(shù)圖象上
將代入函數(shù)中，得到
的縱坐標(biāo)為
即：
解得：
故答案為：．
16. 已知矩形紙片，，，點(diǎn)P在邊上，連接，將沿所在的直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把紙片展平，連接，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】或2
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
∴，，，
當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∵，
∴點(diǎn)在上，
根據(jù)折疊可知：，，
設(shè)，則，
∴，
，
中，根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
當(dāng)，如圖所示：
根據(jù)折疊可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
綜上分析可知：或2．
故答案為：或2，
17. 如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫(huà)板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在第一象限，．將沿x軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，稱點(diǎn)為第一個(gè)“花朵”的花心，點(diǎn)為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花朵”的花心的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，， ，，推導(dǎo)得到，滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，由此得到滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：連接，
由題意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，
∴滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則時(shí)，，
故答案為：．
三、解答題(本題共7道大題，共69分)
18. (1)計(jì)算：
(2)分解因式：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，因式分解；
（1）根據(jù)算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）先提公因式，進(jìn)而根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
19. 解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【解析】
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【詳解】利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
則x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程因式分解法,關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的方法步驟.
20. 為提高學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某校舉行了“愛(ài)護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析．
【收集數(shù)據(jù)】隨機(jī)抽取部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)組成一個(gè)樣本．
【整理數(shù)據(jù)】將學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)分成四組進(jìn)行整理．
(滿分分，所有競(jìng)賽成績(jī)均不低于分)如下表：
【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)競(jìng)賽成績(jī)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空：______，______；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，組對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是______；
（4）若競(jìng)賽成績(jī)分以上(含分)為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)該校參加競(jìng)賽的名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．
【答案】（1），；
（2）補(bǔ)圖見(jiàn)解析； （3）；
（4）．
【解析】
【分析】（）根據(jù)組人數(shù)及其百分比求出抽取的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而可求出的值；
（）根據(jù)（）中的值補(bǔ)圖即可；
（）用乘以組人數(shù)的占比即可求解；
（）用乘以分以上(含分)的人數(shù)占比即可求解；
本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)表，樣本估計(jì)總體，看懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：抽取的學(xué)生人數(shù)為人，
∴，
∴，
故答案為：，；
【小問(wèn)2詳解】
解：補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
【小問(wèn)3詳解】
解：，
故答案為：；
【小問(wèn)4詳解】
解：，
答：估計(jì)該校參加競(jìng)賽的名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)大約是人．
21. 如圖，內(nèi)接于，為的直徑，于點(diǎn)D，將沿所在的直線翻折，得到，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，由折疊的性質(zhì)得，，再證明，推出，據(jù)此即可證明是的切線；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面積公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，
∵，
∴，
∵沿直線翻折得到，
∴，，
∵是的半徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于點(diǎn)C，
又∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與扇形面積公式，折疊的性質(zhì)，解直角三角形．充分運(yùn)用圓的性質(zhì)，綜合三角函數(shù)相關(guān)概念，求得線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
22. 領(lǐng)航無(wú)人機(jī)表演團(tuán)隊(duì)進(jìn)行無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練，甲無(wú)人機(jī)以a米/秒的速度從地面起飛，乙無(wú)人機(jī)從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無(wú)人機(jī)同時(shí)勻速上升，6秒時(shí)甲無(wú)人機(jī)到達(dá)訓(xùn)練計(jì)劃指定的高度停止上升開(kāi)始表演，完成表演動(dòng)作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當(dāng)甲、乙無(wú)人機(jī)按照訓(xùn)練計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)到達(dá)距離地面的高度為96米時(shí)，進(jìn)行了時(shí)長(zhǎng)為t秒的聯(lián)合表演，表演完成后以相同的速度大小同時(shí)返回地面．甲、乙兩架無(wú)人機(jī)所在的位置距離地面的高度y(米)與無(wú)人機(jī)飛行的時(shí)間x(秒)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：
（1） ______米/秒， ______秒；
（2）求線段所在直線的函數(shù)解析式；
（3）兩架無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練到多少秒時(shí)，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫(xiě)出答案即可)
【答案】（1）8，20
（2）；
（3）2秒或10秒或16秒．
【解析】
【分析】本題主要考查求一次函數(shù)應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形計(jì)算即可求解；
（2）先求得甲無(wú)人機(jī)單獨(dú)表演所用時(shí)間為秒，得到，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）利用待定系數(shù)法分別求得線段、線段、線段所在直線的函數(shù)解析式，再分三種情況討論，列式計(jì)算即可求解
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得甲無(wú)人機(jī)的速度為米/秒，
，
故答案為：8，20；
【小問(wèn)2詳解】
解：由圖象知，，
∵甲無(wú)人機(jī)的速度為8米/秒，
甲無(wú)人機(jī)勻速?gòu)?米到96米所用時(shí)間為秒，
甲無(wú)人機(jī)單獨(dú)表演所用時(shí)間為秒，
∴秒，
∴，
設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，
將，代入得，
解得，
∴線段所在直線的函數(shù)解析式為；
【小問(wèn)3詳解】
解：由題意，，
同理線段所在直線的函數(shù)解析式為，
線段所在直線的函數(shù)解析式為，
線段所在直線的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，由題意得，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，由題意得，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，由題意得，
解得或（舍去），
綜上，兩架無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練到2秒或10秒或16秒時(shí)，它們距離地面的高度差為12米．
23. 綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）【觀察感知】如圖2，通過(guò)觀察，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）【問(wèn)題解決】如圖3，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的面積；
（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點(diǎn)，則______；
（4）【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．
【答案】（1）
（2）10 （3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的方法證明，進(jìn)而證明，求得，則，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，證明，設(shè)，則，代入比例式，得出，進(jìn)而即可求解；
（4）當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別解直角三角形，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

，
，
，
，
，
又且
，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
設(shè)，則，
解得：
∴；
【小問(wèn)4詳解】
解：如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵
∴，設(shè)，則，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵
∴
∵
∴
設(shè)，則，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
24. 綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分三種情況分別畫(huà)出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；
（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；
∵，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴,
∴，
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖：∵軸，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵設(shè)，則,
∴，
∴，解得：（負(fù)值舍去），
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【小問(wèn)4詳解】
解： ∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線，
如圖：將線段向右平移單位得到,
∴四邊形是平行四邊形，
∴,即,
作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則
∴,
∵，
∴的最小值為．
故答案為．
組別
成績(jī)(/分)
人數(shù)(人)

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